Диссертация (1150827), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда связь векторов электрического поляи электрической индукции имеет вид: ==.⊥ + 2 ()(1.6)Таким образом неоднородность распределения ориентации директора содержится также в полевом члене суммы (1.1).Обратим внимание, что свободная энергия (1.1), будет в равновесии достигать минимум по отношению к изменениям состояния при постоянной температуре и постоянных потенциалах проводников [53]. Вследствие этого вкладвнешнего поля в свободную энергию будет браться в виде (1.4), (1.5), то естьсо знаком минус.171.3Поверхностная энергия сцепления жидкого кристалла с подложкойТретье слагаемое в уравнении (1.1) - это поверхностная энергия сцепленияжидкого кристалла с подложками.
Важной отличительной чертой жидкокристаллической фазы от обычной жидкой является анизотропия поверхностнойэнергии на границе ЖК-подложка: энергия имеет различную величину в случае параллельной и перпендикулярной ориентации ЖК молекул к подложке.В общем виде эта энергия представима в виде:⊥ ∑︁ (n( ),n0() ),=2 =1,2(1.7)где n( ) ( = 1,2, величины с индексами 1 и 2 относятся к нижней и верхнейграням ячейки соответственно) – векторы директора на границах, векторыn0() описывают оси легкого ориентирования, а – это скалярные функцииот двух единичных векторов.
Эти функции принимают минимальное значение при n( ) = n0() . Для малых отклонений директора от осей легкогоориентирования можно использовать квадратичную аппроксимацию по этойвеличине (n( ) − n0() ):^ (n( ) − n0() ), (n( ),n0() ) = (n( ) − n0() )(1.8)^ положительные симметричные матрицы 2×2.где Наиболее часто используемый вид для потенциала поверхностной энергии – это потенциал Рапини-Популара [54]. Поверхностная энергия приметвид:)︁⊥ ∑︁ (︁ 20()20()= sin (( ) − ) + sin (( ) − ) ,2 =1,2(1.9)18где , – энергии сцепления, положительные величины, в нормальныхусловиях являются постоянными для данного ЖК и полиимидов, с помощьюкоторых обрабатываются подложки ЖК-ячейки, 0() и 0() – полярный иазимутальный угол, определяющие направление осей легкого ориентирования на верхней ( = 2) и нижней ( = 1) подложках, аналогично углы ( )и ( ) определяют положение директора на верхней и нижней подложках.В дальнейшем будем использовать Гауссово приближение для потенциала Рапини. В этом случае вклад поверхностной энергии будет представленследующим образом:)︁⊥ ∑︁ (︁ 0() 20() 2= (( ) − ) + (( ) − ) .2 =1,2(1.10)Также для описания сцепления в жидкокристаллических ячейках, применяется В-потенциал, предложенный Беляковым В.А.
[55]:(︂(︂)︂(︂)︂)︂0()0()⊥ ∑︁112 ( ) − 2 ( ) − =− cos−+ cos−.2 =1,22222(1.11)Показано, что B-потенциал лучше описывает поверхностное сцепление в первых зонах клина Гранжана-Кано [56].Для большого количества практических случаев поверхностная энергиявелика по сравнению с объемной и задает определенное фиксированное направление директора на поверхности подложки. Такое сцепление называютжестким. В этом случае вместо минимизации суммы объемной и поверхностной энергии достаточно минимизировать лишь первое слагаемое с учетомзаданных граничных условий для директора.19Глава 2Метод прямой минимизации свободнойэнергии жидкокристаллической ячейкиВ данной главе рассматривается эффект Фредерикса в ячейках ХЖК иНЖК: под действием внешнего поля изменяется распределение директора вобъеме жидкокристаллической ячейки.
Эффект может носить как пороговыйхарактер: изменение ориентации молекул начинает происходить только призначении поля, превышающем некоторое критическое значение или ,так и беспороговый: при любой величине внешнего поля начинает происходить переориентация молекул ЖК. В работе [35] показано, что в зависимостиот параметров системы эффект Фредериска может быть фазовым переходомпервого или второго рода.Также в этой главе рассматривается равновесная структура ЖК на основе континуальной модели. Получены профили директора при различныхзначениях внешнего электрического поля и зависимости емкости ячейки отзначений внешнего электрического поля.202.1Энергия жидкокристаллической ячейки в сферических координатахРассмотрим ячейку ХЖК, которая представляет собой две плоскопарал√лельные пластины площадью ⊥ на расстоянии , ⊥ ≫ .
Пространствомежду пластинами заполнено жидким кристаллом. ЖК ориентирован такимобразом, что ось спирали перпендикулярна плоскостям пластин. Ячейка помещается во внешнее электрическое E или магнитное H поле, направленноевдоль оси спирали.zLyxРисунок 2.1: Схематичный вид рассматриваемой ячейки холестерического жидкогокристалла.Введем декартову систему координат, как и ранее, так, чтобы ось такжебыла направлена вдоль оси спирали. Будем считать, что жидкий кристаллзаключен между плоскостями = 0 и = . В равновесном состоянии ХЖКдиректор n(r) направлен перпендикулярно оси спирали (т.е.
в нашей системекоординат n ⊥ ). Для дальнейших вычислений удобно записать вектор n всферических координатах:n() = (sin cos , sin sin , cos ),(2.1)21где полярный угол и азимутальный угол являются функциями , = ()и = (). Угол отсчитывается от оси , угол — от оси .Тогда выражение (1.3) принимает вид:∫︁⊥ ˜2 (,′ ,′ ) = = 22 0 +22 0∫︁⊥ 2= 22 0 +[()(′ )2 + ()(′ )2 − 2()′ ], (2.2)22 0где() = 11 sin2 + 33 cos2 ,(2.3)() = sin2 (22 sin2 + 33 cos2 ),(2.4)() = 0 22 sin2 .(2.5)Вклад магнитного поля (1.4) примет вид⊥ = −2∫︁ 2 cos2 .(2.6)0В случае электрического поля (1.5) этот вклад будет иметь вид:⊥ =2∫︁0⊥˜ () = −2∫︁02.4(⊥ + cos2 )(2.7)Для дальнейших расчетов и сравнения с экспериментальными даннымиудобно выразить вклад для электрического поля через напряжение ,приложенное к верхней и нижней поверхностям жидкого кристалла:∫︁=∫︁ () = 0(⊥ + cos2 )−1 .(2.8)0Так как div D() = 0, в этом уравнении -компонента вектора D не зависитот и может быть вынесена за знак интеграла.
Таким образом, полевой вклад22записывается в виде [4] = −⊥ 2∫︀8 (⊥ + cos2 )−1 .(2.9)0Минимизируя свободную энергию (1.1), можно получить конфигурациюдиректора для различных по конструкции ячеек.2.1.1Емкость жидкокристаллической ячейкиЗная конфигурацию директора в объеме, несложно рассчитать емкостьплоского конденсатора, которым является рассматриваемая ячейка. Пусть – поверхностная плотность заряда на положительной обкладке, тогда заряд на ней = ⊥ .
Напряженность поля внутри конденсатора () =√4/ () (это справедливо, так как ⊥ ≫ и краевыми эффектами можно пренебречь). Для напряжения с учетом (1.6) и выражения для тензорадиэлектрической проницаемости имеем:∫︁ = 404=⊥∫︁0.⊥ + cos2 (2.10)В результате электрическая емкость конденсатора равна= =⊥∫︀4 (⊥ + cos2 )−1 .(2.11)02.2Конфигурация директораКак правило конфигурацию вектора директора n определяют, решая систему уравнений Эйлера-Лагранжа [3]. Сложности в решении уравненийЭйлера-Лагранжа возникают, если в системе имеется фазовый переход первого рода.
В этом случае в уравнениях Эйлера-Лагранжа возникают точ-23ки бифуркаций. В нашей системе переход является непрерывным (второгорода), однако учет неоднородности электрического поля приводит к тому,что эти уравнения становятся интегро-дифференциальными. Поэтому вместочисленного решения уравнений Эйлера-Лагранжа мы воспользуемся широкоприменяемым подходом, основанным на прямой минимизации функционаласвободной энергии [35]. Обратим внимание, что решая уравнения ЭйлераЛагранжа, мы получаем экстремумы, и требуется дополнительный анализдля определения минимумов энергии, а в случае прямой минимизации этогоне требуется.Далее мы будем рассматривать два типа ячеек: 90∘ -твист ячейку с киральным ЖК с планарной ориентацией директора на поверхностях и ячейку с нематическим ЖК с гомеопланарной ориентацией. Выше приведеныформулы для расчета свободной энергии кирального жидкого кристалла, заключенного между двумя проводящими плоскостями, на которые подаетсяразличное напряжение, но они также верны и для обычного нематическогокристалла (необходимо в уравнениях (2.2), (2.5) положить 0 = 0).2.2.1Планарная твист-ячейкаВ планарной твист-ячейке при отсутствии внешних воздействий директорнаправлен параллельно поверхности подложки (n перпендикулярен направлению оси ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
