Диссертация (1150634), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Используя модельДруде, мы получаем. Верхнее семейство кривых на Рисунке 4 соответствуетвысокочастотным, локализованным M модам, нижнее - L модам, иными словамисемейство кривых, выходящих из единицы, соответствует высокочастотным,локализованным M модам, исходящие из нуля кривые – L-моды.28pl1,00,80,60,40,20,00,20,40,6acosh(R12/2R0)1.0pl0.80.60.40.20.00.20.40.60.8acosh(R12/2R0)Рисунок 4 - Зависимость собственных частот плазмонных колебаниймультипольности n=0 и n=1 в зазоре между наночастицами от расстояниямежду центрами частиц; R12 – расстояние между центрами, R0 – радиуснаночастицы,  – частота локализованного плазмона, pl – плазменнаячастота Друде.При   0 ,    / R - относительное расстояние между частицами.

Длянахождения поля в зазоре между наночастицами, создаваемого L-модой,29воспользуемся асимптотическим разложением, для которого соответствующиесобственные функции потенциала имеют вид [5]: mL 112(ch ( )  cos( ))sh((L  ) ) PLm1 (cos ) cos(m )a2и mL 1112(ch ( )  cos( )) sin((L  ) )e ( L 1/ 2) PLm1 (cos ) cos(m )a2вне сферы и внутри сферы, соответственно.Рассмотрим качественно эффект усиления поля парой наночастиц.Однородное внешнее поле наиболее эффективно усиливается первой L –модой(L=1), для которой m=0.

Выделяя главный член ряда (2.6), получаем0E max  eL e L E dVLV,( L   ( ))  (e L ) 2 dVVFE max 8 R0103   ( )  2 R0 / E.(2.17)Горячая точка многократно усиливает люминесценцию и Рамановское рассеяниеIR4F.0IRЗдесь F- коэффициент усиления поля, IR – интенсивность Рамановского рассеяния.Переписав (2.17) с использованием длин волн вместо частот, получим:FE max 8 R03 E012 2 R0 /   2 pl2    2.(2.18)Из формулы (2.18) видно, что фактор усиления зависит от длины волны и отрасстояния между частицами.

Система из двух частиц способна усиливать внешнее30поле в сотни раз (видно, исходя из малости Δ/R), что и объясняет эффектгигантского усиления Рамановского рассеяния.Пример 4: ПолушариеВ случае полушария, базисные функции не ортогональны, и мы не можем получитьсобственные числа аналитически. Тем не менее, путем применения граничныхусловий можно прийти к системе алгебраических уравнений для коэффициентовразложения потенциала в ряд по полиномам Лежандра [21-23]. Например, когдавнешнее электрическое поле направлено нормально или параллельно границераздела, удобно выбрать потенциал в следующем виде:rnBn Pn  cos  ,nn 1 a  r ,   aE0 (2.17a)rnCn Pn1  cos  cos .nan 1||  r , ,   aE0|| (2.17b)Электрическое поле может быть найдено из соотношений E , r    ||    , гдекоэффициенты Bn , Cn могут быть найдены, используя граничные условия, как этобыло показано в работах [21-23].

Зная пространственное распределениепотенциала, найти дипольный момент не представляет трудностей, более детальноэто показано в статье [A3].31Рисунок5- Линейный спектрпоглощениясеребрянойполусферынадиэлектрической подложке. Падающая световая волна поляризована в плоскостиповерхности подложки. Данные о диэлектрической проницаемости серебра быливзяты из работы [82].Коэффициенты Bn(1) , Cn(1) в уравнениях (2.17) могут быть найдены используяграничные условия на потенциал и электрическое поле. Стоит отметить что Bn(1) , Cn(1)пропорциональны компонентам тензора линейной поляризации αxx и αzz,соответственно.

Разработанная теория позволяет найти поляризуемость полусферыв зависимости от частоты и материальных параметров. Далее, в качестве примера,приведены расчеты для серебряной полусферы с радиусом 10 нм, размещенной настеклянной подложке и покрытой оболочкой TiO2. В рамках электростатическогоприближения, поляризуемость можно нормировать на радиус полсферы. Мыиспользуем данные Johnson-Christy [81] для серебра и предполагаем, чтопоказатели преломления TiO2 оболочки и стеклянной подложки не зависят отчастоты и равны 2.29 и 1.5 соответственно. Для наглядности мы рассматриваемвзаимодействие полусферы с падающей волной, поляризованной вдоль оси хлабораторной системы координат (см. Рисунок 5).32Рисунок 6 - Металлическая полусфера (с комплексной диэлектрическойпроницаемостью 1) радиуса a расположена на границе двух диэлектриков спостоянными 3 и 4 и покрыта оболочкой толщиной h с диэлектрическойпроницаемостью 2.На рисунке 7 показано распределение интенсивности электрического полявнутри полусферы, полученное из уравнений (2.17).

Можно увидеть значительныйградиент интенсивности на границе полусферы/подложки (острый край, см.Рисунок 6), что обеспечивает высокое значение интенсивности второй гармоники.Стоит отметить, что гиперполяризуемость полусферы значительно выше, чемсферы того же объема. На длине волны плазмонного резонанса 448 нм,интенсивность локального поля в "горячей точке" составляет около 3000E0, и1000E0 в центре полусферы, соответственно (Рисунок 7a). Стоит отметить, чтостоль высокое значение фактора локального поля получается, потому что мысчитаем край полусферы «идеально острым».

В действительности острота краяопределяется технологией изготовления. Для того, чтобы избежать завышениязначения локального поля, далее мы моделируем полусферу с закругленнымикраями, см. Рисунок 8, а также пункт 3.5.33Рисунок 7 - Карта а) нормированной интенсивности света |E/E0|2 и b) - её градиентдля серебряной полусферы для X-поляризованной падающей волны на ППР длиневолны 448 нм.

Можно заметить, что при ППР локальная напряженность поля иградиент интенсивности у края составляет около 3000 раз и 15000 выше, чем востальной части полушария. Расчет проводился с использованием модели,описанной в разделе 2, с использованием данных Johnson-Christy [81] серебра, ε2 =ε3 = 1 и диэлектрическая проницаемость подложки ε4 = 2.25 (см.

Рисунок 6) [А3].Крайне важно, что диэлектрическая оболочка меняет положение и величинуППР. На Рисунке 8a представлена мнимая часть линейной поляризуемости Im{αxx}в зависимости от толщины оболочки TiO2 и длины волны. Можно заметить, чтоувеличение толщины оболочки ведет к сдвигу в сторону более длинных волн иусилению ППР. Для более толстых оболочек спектральное положение ППРвыходит на насыщение, данный эффект связан с локализацией электромагнитнойэнергии в TiO2 оболочке.34Рисунок 8 - а) Нормализованная мнимая часть линейной поляризуемости αxxсеребряной полусферы радиуса 10 нм в зависимости от толщины TiO 2 оболочки идлины волны.

Врезка: зависимость от длины волны мнимой части линейнойполяризуемости для серебряной полусферы без покрытия; b) спектральнаязависимость нормированной линейной поляризуемости Im{αxx} серебрянойполусферы без покрытия с радиусом 10 нм и радиусами закругления края от 0.05до 0.6 нм (сплошные линии разных цветов). Красная пунктирная линия показываетIm{αxx} для серебряной сферы того же объема размещенной на стекляннойподложке [А3].Спектр Im{αxx} (см вставку на Рисунок 8 а) показывает наличие двух резонансов ввидимой области спектра для серебряной полусферы с радиусом 10 нм безпокрытия. Резонанс на большей длине волны (448 нм), соответствуетколлективному колебанию электронов проводимости в полусфере (т.е.

ППР), в товремя как группа менее интенсивных резонансов на более коротких волнах имеет"электростатический" характер и связана с "горячей точкой" на остром краюполусферы. Эти "электростатические" резонансы также перемещаются в сторонудлинных волн при увеличении толщины оболочки.Форма и сила "электростатических" резонансов сильно зависят от остротыкрая (Рисунок 8b). В частности, скругление края полусферы приводит к синему35смещению и уменьшению силы "электростатических" резонансов, которыеобращаются в нуль, когда полусфера переходит в сферу того же объема, лежащуюна поверхности. Наоборот, так как ППР связан с колебаниями всех электронов вобъёменаночастицы,тоскруглениекраёвприводиткнебольшомукоротковолновому сдвигу ППР.Поляризуемость полусферы также остается почти такой же, когда радиусскругления возрастает от 0.05 нм до 0.6 нм.

Кроме того, на Рисунке 8b можновидеть, что форма и сила резонанса существенно не меняются, когда полусферапревращается в сферу того же объема.С точки зрения численных расчетов предложенный метод много лучше дляполусферы, чем метод конечных элементов. Причина этого в том, что особенность,связанная с острым краем полушария, существенно усложняет численное решение.Например, метод конечных элементов, реализованный в пакете COMSOL,позволяет получить решение за несколько часов, однако применяя подходизложенный выше, мы можем получить решение за несколько минут, решаяматричную задачу в среде MATLAB.2.2Приближение эффективной средыОптические свойства металлических наночастиц, внедренных в прозрачнуюматрицу, являются предметом экспериментальных и теоретических исследований.Интерес связан с возможностью управления диэлектрической функцией иоптическими свойствами этих композитных сред за счет концентрации и геометрииметаллических включений.

Когда концентрация включений достаточно низкая, вкачестве модели эффективной среды может быть использовано приближениеМаксвелла Гарнетта (МГ) [83,84]. Этот подход основан на представленииполяризуемостикомпозитныхсредввидесуммыполяризуемостейневзаимодействующих между собой наночастиц. Данный подход подразумевает36слабые вклады квадрупольного и более высоких взаимодействий между частицами.Дипольное взаимодействие между отдельными наночастицами позволяет получитьпервую поправку для формулы Максвелла Гарнетта как вириальное разложение поконцентрации [85,86].

Димеры из наночастиц имеют большое значение в этомконтексте, поскольку в первом приближении взаимодействия наночастиц являетсяприближение двух тел, см. следующий параграф.2.2.1Композит со сферическими частицамиЭффективная диэлектрическая проницаемость зависит от среднего локальногополя. Это среднее поле в общем случае не равно макроскопическому полю,входящему в макроскопических уравнения Максвелла. Ниже мы приводим анализусредненного электрического поля в ансамбле металлических наночастиц.Рисунок 9- Схемапроницаемостью СМН.Металлическиечастицы сдиэлектрическойи поляризуемостью α внутри диэлектрической матрицы сдиэлектрической проницаемостью .  - эффективная диэлектрическаяпроницаемость композита, E0 - внешнее электрическое поле.Следуя подходу Кирквуда [86], мы рассмотрим ансамбль N одинаковыхсферических частиц, внедренных в диэлектрическую матрицу.

Величина37индуцированного дипольного момента i-й частицы определяется внешним полемE0 и ее взаимодействием с другими частицами ансамбля:pi   E0   G  ri , rj  p j , (2.18)j iгде - поляризуемостьчастиц, G  ri , rj  - диадная функция Грина, описывающаядипольное взаимодействие между i и j частицами. В квазистатическомприближении функция Грина выглядит какG  ri , rj   I  3rij  rij4 0 rij 3, (2.19)где rij  ri  ri - расстояние между центрами частиц, а обозначаеттензорноепроизведение.Решение уравнения (2.18) может быть представлено в виде разложения в ряд постепеням поляризуемости:pi      2 G  ri , rj    3 G  ri , rj  G  rj , rk   E0 .

Характеристики

Список файлов диссертации