Автореферат (1149978), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Неизвестная функция β(r) , входящая в решение (6),(7),определяется из интегрального уравненияa (r )  q(r )    ( ) g1w (r ,  )d , r  a,(9)0ядро которого имеет видg1w (r ,  )  kgw (r ,  )    J 0 (t ) J 0 (rt )0tdt.t(10)10Исследован частный случай решения (6)-(10), когда параметр k обращается в нуль. Вслучае нагрузки, равномерно распределенной по круговой области, из аналитическогорешения (7) при χ=0 получены известные формулы С.П.Тимошенко, Дж. Гудьера длякомпонент тензора напряжений и вектора перемещений на границе полупространства. Врезультате вычисления входящих в соотношения (6),(8) несобственных интеграловвыражения для перемещений в точках упругого полупространства при q=const записанычерез специальные функции.В третьей главе приведена компактная форма точного решения осесимметричнойсмешанной задачи теории упругости о деформации изотропного полупространства поддействием сосредоточенной силы в случае, когда в точках граничной поверхностинормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряженияотсутствуют, на бесконечности напряжения обращаются в нуль.Для перехода в решении (4) от распределенной нагрузки к сосредоточенной силе Ррассмотрен случай, когда к упругому полупространству приложена нагрузка постояннойPинтенсивности q(r )  q0 в круговой области радиуса  .

Тогда q0  lim, и для  0  2трансформанты  (t ) , согласно (5), (4), имеемP trJ(rt)drlim (t1 ) 10t1    0  2 0 0 0 (t )  lim  rJ 0 (rt ) J 0 (rt1 )dr  dt1.0(11)P. Подставляя выражение для трансформанты в2формулы (4), получаем аналитическое решение задачи о сосредоточенной силе,приложенной к изотропному полупространству с упруго закрепленной границей. В работепоказано, что в случае незакрепленной поверхности (χ=0) полученные формулы длякомпонент тензора напряжений и вектора перемещения совпадают с известным решениемзадачи Буссинеска.Решение задачи о сосредоточенной силе в случае χ ≠ 0 преобразовано ккомпактному виду путем вычисления входящих в него несобственных интегралов черезспециальные функции.

В результате получены формулы для компонент вектораперемещений и тензора напряжений в точках граничной плоскости z  0 :Решив уравнение (11), найдем  (t ) u (r ,0) (1   )(1  2 ) P  1  1 (r )  Y1 (r ),2E 2w(r ,0) (1   2 ) P  1  0 (r )  Y0 (r ) , E2r z (r ,0)  r (r ,0) P2P  1  0 (r )  Y0 (r ) , 2  r 2 1  0 (r )  Y0 (r )  (1  2 ) P 2rr 2 1  1 (r )  Y1 (r ) , 211  (r ,0) P2 1  0 (r )  Y0 (r )  (1  2 ) P 22rr 1  1 (r )  Y1 (r ) , 2 rz (r,0)  0 .(12)Здесь  m (r ) – функции Струве, Ym (r ) – функции Неймана, m  0;1Для подтверждения правильности соотношений (12) из них при   0 полученорешение задачи Буссинеска в точках граничной плоскости.Для представления в компактной форме решения задачи о сосредоточенной силе вточках (r,z) введены обозначения для сходящихся несобственных интеграловdt, m  0,1(13)Rm (r , z )   e tz J m (rt )t0и далее вычислены интегралыtz e J 0 (rt )0tz e J1 (rt )0tdt1  R0 (r , z ) ;t tz e J 0 (rt )0tdtz R1 (r , z ) ;trtz e J1 (rt )0t 2 dtz 3    2 R0 (r , z ) ;t t 2 dtz   z  3  2 R1 (r , z ) .t r(14)Здесь ρ=(r2+z2)1/2.

С учетом равенств (4), (13), (14) формулы для компонент вектораперемещений и тензора напряжений в произвольных точках изотропногополупространства с упруго закрепленной границей принимают вид  z(1   ) P  rzu (r , z )  R1 (r , z )  , 3  (1  2  z ) 2E  rw(r , z ) (1   ) P  z2 2  z  2(1   )   ( z  2  2) R0 (r , z )2E  z (r , z )   r (r , z ) P  3z 3  z 2   2 (1  z )(1  R0 (r , z ))  3  2 2  ,P 1  2  z  3zr 2  P  1 22 2 1    5   3 (r  z ) 2  r      2  z (  z )1 (z  1) R0 (r , z )  (1  2  z ) R1 (r , z )2rr ,,12  (r , z ) P(1  2 )  z1 z  P  z (   z ) 3  2 1    2 r    2  r 21 R0 (r , z )  (1  2  z ) R1 (r , z ) ,r rz (r , z )  rPz  (  z) 3rz  2 R1 (r , z )  . 5    3 2 r   (15)Для подтверждения достоверности решения (15) оно было получено двумяспособами.

Точное аналитическое решение задачи в форме (15) по сравнению сформулами (4) обладает рядом преимуществ, а именно: объем предварительныхисследований перед его численной реализацией значительно меньше, так как оносодержит только два интеграла. Причем оба интеграла R 0 (r , z ), R1 (r , z ) достаточно быстросходятся, что существенно уменьшает время компьютерных расчетов и позволяетисследовать напряженно-деформированное состояние упругого полупространства призначительном удалении от точки приложения сосредоточенной силы и практически влюбом диапазоне изменения параметра χ.На рис. 2-4 представлены графики распределения нормальных напряжений  z вплоскостях, параллельных граничной поверхности.

Сосредоточенная сила полагаласьравной P  1MH , все величины, имеющие размерность длины, задавались в метрах.Рис.2.  z , z  0Рис.3.  z , z  0.1Рис.4.  z , z  1Рис.3-4 показывают, что при увеличении r монотонно убывающие кривыеr и напряжения становятся растягивающими. Приприближении плоскости z  const к границе полупространства координаты точекпересечения уменьшаются, а максимум растягивающих напряжений увеличивается,перемещаясь к оси z . Из рис.2 видно, что в граничной плоскости z  0 напряжения  zположительны и монотонно уменьшаются с ростом r .На рис.

5-12 приведены изолинии напряжений в упругом полупространстве при χ =0.1; 1(м-1), ν =0.25.Рис.7-8 показывают, что область сжимающих напряжений  rрасполагается между областями растягивающих напряжений, прилегающими к осям r, z .Из анализа рисунков 5-12 следует, что в упругом полупространстве с ростом  размеры z   z (r ) пересекают ось13областей растягивающих напряжений увеличиваются. Расчеты показывают также, что вокрестности сосредоточенной силы максимальные значения нормальногоРис. 5. Изолинии z (r, z)  const ,   0.1Рис. 6. Изолинии z (r, z)  const ,   1Рис. 7.

Изолинии r (r, z)  const ,   0.1Рис.8. Изолинии r (r, z)  const ,   1Рис.9. Изолинии  (r , z )  const ,   0.1Рис.10. Изолинии  (r , z )  const ,   114Рис.11. Изолинии rz (r, z)  const ,   0.1Рис.12. Изолинии rz (r, z)  const ,   1напряжения  z в несколько раз больше, чем касательного τrz, и на порядок большеабсолютных значений напряжений   , r .С ростом координаты r и параметра χ время расчета компонент напряженийувеличивается.

Уравнения (15) позволили впервые построить изолинии напряжений вобласти {r > 0.3, z >0.3} в диапазоне изменения параметра χ от нуля до 10м-1.В четвертой главе исследована осесимметричная задача о действии равномернораспределенной нагрузки на изотропное полупространство при упругом закрепленииграницы вне области приложения внешних усилий.Численная реализация аналитического решения задачи с граничными условиями (3)начинается с исследования интегрального уравнения (9), которое представляет собойнеоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Его решение может бытьосуществлено методом последовательных приближенийa [0] (r )  q(r ) ,  [ j 1] (r )  q(r )    [ j ] ( ) g1w (r ,  )d , j  0(16)0Показано, что в случае равномерно распределенной нагрузки интегральный операторуравнения (9) сжимающий.Распределение напряжения σz(r) на границе упругого полупространства.

Прирешении задач строительной и горной механики большой практический интереспредставляет расчет нормального напряжения σz(r,0) на границе полупространства. Дляидентификации варианта q(r )  q0 , k  0 функции  (r ) ,  z (r,0) , u (r ,0) , w(r ,0) отмеченыверхним индексом « e ». Формула (7) для σz(r,0) и интегральное уравнение (9)преобразованы к виду1 ze (r ,0)     e (1 )1 (1 , r )d1 , r  1 ,(17)0 e (1 )  1  01  e ( )g1w (1 ,  )d , ξ1<1,~где“волна”надбезразмернымивеличинамиr  r /a,ee~ z (r ,0)   z / q0 опущена, функция  (1 , r ) определяется равенством2  dt (1 , r )  K  1     J 0 (1t ) J 0 (rt ).r  r t0 Здесь K  1  – полный эллиптический интеграл первого рода.r (18)~ e (r )  βe(r)/q0,(19)15Из рис. 13 видно, что при упругом закреплении границы (   0) максимумнапряжения достигается на контуре круговой области приложения нагрузки r  1 . Сростом параметра  от 0.2 до 1.8 максимум  z увеличивается.

При удалении от областиприложения нагрузки абсолютные значения функции  z (r,0) монотонно убывают.Рис.13. Распределение напряжения σz в области упругого закрепления границыКак показывает рис.13, при меньших значениях параметра  убывание кривыхпроисходит медленнее. Поэтому при увеличении r график  z , соответствующийзначению   1.8 , пересекает кривые, построенные для   1 (в точке r1  2.1 ) и для  0.2 (в точке r2  3.6 ).

Из рисунка видно, что при r  r1 напряжения  z увеличиваютсяс ростом параметра  . Если же r  r1 , то закономерность о зависимости напряжения отпараметра  усложняется.Распределение перемещений на границе упругого полупространства. Расчётперемещений по формулам (7) связан с преодолением значительных вычислительныхтрудностей, так как выражения для g u ( , r ) , g w ( , r ) содержат несобственные интегралыот знакопеременных подынтегральных функций.При численных исследованияхформулы для перемещений на границе преобразовывались к виду(1   )(1  2 ) e ( )1 ( , r )d ,E0au e (r ,0)  2(1   2 )e0  ( )2 ( , r )d ,E(20)aw e (r ,0)  где функции 1 ( , r ) ,  2 ( , r ) определяются соотношениями1 ( , r )     J 0 (t ) J 1 (rt )0dt1  1    r    ,  ,t   r  0    r  1   K  dt2  r  r     r  2 ( , r )     J 0 (t ) J 0 (rt ),, 1  r     r t0 K       ( 21)16функция  e (r ) находится из решения интегрального уравненияa (r )  q0    e ( ) g1w ( , r )d , r  a .e0На рис.

Характеристики

Список файлов диссертации