Диссертация (1149874), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Последниевыполняются, если в этой части плоскости отсутствует наведённый ток. Таким образом, имеемсистему 2  ˆbˆEkAB k , x  0, x  x 2 x xy 0 x(1.3.8)ˆbx  0. x  k x   0,Отметим, что поверхностный ток в направлении, перпендикулярном проводам, равен нулю длявсех x .Подставляя выражения (1.3.4) и (1.3.7) в (1.3.8), получим парные интегральные уравненияследующего вида:31ik  xik x  G  k0 , k x  ˆbxk x  k x  e x dk x  Fi  k0 , k x  e x , x  0, ˆbik x xx  0,   xk x  k x  e dk x  0,(1.3.9)где 2 2k y 0 2 (1.3.10) k0 nv  k x 1  i   k0 k y 0  .k0Решение системы (1.3.9) будем проводить методом Винера-Хопфа-Фока [128–131]. Стоитотметить, что подобные задачи о дифракции плоской монохроматической волны на краюполубесконечной металлической и анизотропно проводящей плоскости рассматривалисьранее [124,125,130].

Однако отличительной чертой данного исследования является анализдифрагированного поля пучка заряженных частиц и, особенно, возбуждаемых такимисточником поверхностных волн.Из первого уравнения системы (1.3.9) вытекает, что, согласно теореме о вычетах, мыможем представить неизвестную функцию в виде1 Fi  k0 , k x  U   k x G  k0 , k x  ˆbxk x  k x  ,(1.3.11)2i  k x  k x  i 0  U   k x G  k0 , k x  1k y 0где U   k x  — регулярная и не имеющая нулей в верхней полуплоскости ( Im k x  0 ) функция.Слагаемое i0 в знаменателе выражения (1.3.11) фиксирует взаимное расположение контураинтегрирования и полюса k x  k x в комплексной плоскости k x .

Из второго уравнения (1.3.9)видно, что, в свою очередь, функция ˆbxkx  k x  является регулярной в нижней полуплоскостиIm k x  0 .Далее необходимо провести факторизацию функции G , такую, чтобы на вещественнойоси выполнялось равенство(1.3.12)G  k0 , kx   G  k0 , kx  G  k0 , k x  ,где G  k0 , k x  — это функции, которые являются регулярными и не имеют нулей,соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях на плоскости комплексной переменнойk x . Такая факторизация позволяет перегруппировать множители в (1.3.11) следующим образом:F  k , k  U   k x G  k0 , k x  ˆbxk x  k x   k x  k x  i 0  i 0 x.2iU   k x  G  k0 , k x (1.3.13)Выражение справа от знака равенства является регулярным в верхней полуплоскости Im k x  0 ,выражение слева — в нижней Im k x  0 , а на вещественной оси они совпадают.

Из этогоследует, что эти выражения совпадают и регулярны во всей комплексной области (т.е. являютсяцелой функцией), в силу единственности аналитического продолжения.Положим, что функция (1.3.13) яляется константой (далее будет показано, что именно притаком выборе выполняется условие на ребре ([131]). Чтобы найти эту константу, положимk x  k x в правой части выражения (1.3.13), а затем получим искомую функцию G  k0 , k x  . Врезультате получаем321 Fi  k0 , k x 1ˆbxk x  k x  .2i G  k0 , k x  G  k0 , k x   k x  k x  i 0(1.3.14)Чтобы провести факторизацию (1.3.12) функции G , необходимо чтобы она быларегулярна и не имела нулей на вещественной оси Im k x  0 .

То, что это требованиевыполняется, было показано в предыдущем разделе (см. Рис. 1.3.; полюса kx  kxp являютсянулями функции G  k0 , k x  , точки ветвления возникают за счёт за счёт радикала k y 0 ). Чтобывоспользоваться стандартными интегральными формулами факторизации, необходимо, чтобыфакторизуемая функция стремилась к единице на бесконечности. Для этого введём врассмотрение вспомогательную функцию G , определяемую следующим образом: 2 2G  k0 , k x  k0 nv  k x2 G  k0 , k x  ,ik0G  k0 , k x   1 ik0ik02.k y 0  k02nv2  k x2(1.3.15)(1.3.16)Нетрудно убедиться, чтоlim G  k0 , k x   1 .(1.3.17)k x Факторизующие функции G , G ( GG  G ) находятся по известным формулам [131]G  k0 , k x   exp  g   k0 , k x  ,g   k0 , k x  (1.3.18) i 0ln G  k0 , w 1dw,2i  i 0 w  k x(1.3.19)Функции G  k0 , k x  регулярны и не имеют нулей в верхней и нижней полуплоскостях,соответственно.

Разность квадратов,факторизуется тривиальным образом:k n2 20 vстоящаясомножителемввыражении k x2   k0nv  k x  k0nv  k x  .(1.3.15),(1.3.20)Таким образом, результат факторизации функции G(k0 , k x ) мы можем записать так:G  k0 , k x   ei  4   k0 nv  k x  G  k0 , k x  ,(1.3.21)где  задана выражением (1.2.18).Отметим, что функции G  k0 , k x  не могут иметь нулей и особенностей на комплекснойплоскости k x , отличных от тех, что содержит функция G  k0 , k x  .

Из проведённого ранееанализа известно, что функция G  k0 , k x  имеет нули в точках kx  kxp (1.2.21), которыепереходят в точки k x   k0 в случае отсутствия поглощения (   0 , nv  1 ). Таким, образом, извыражений (1.3.21) можно заключить, что вспомогательные функции G  k0 , k x  в случаемалогопоглощения~ k xp  k xв k0nv  k x  .проводах(1 ) ведутсебявблизиточекk x  nv k0какВ результате, функции G  k0 , k x  имеют лишь по одному нулю на33комплексной плоскости k x в соответствующих полуплоскостях (нижней для G  k0 , k x  иверхней для G  k0 , k x  ).Результаты факторизации могут быть представлены в более наглядном виде длянекоторых частных случаев. Например, если поглощение в проводах отсутствует (   0 ), тоинтегралы в выражениях (1.3.19) могут быть преобразованы к следующему виду [129] sin   sin  1g   k0 , k x   ln1  sin 2 где для положительных частотtdt,sin t(1.3.22)  i Arsh k x  2  1 k0 ,  arccosЗдесь   1(1.3.23) 1  .21 2 обозначает Лоренц-фактор.В случае, когда     0 , то есть сетка представляет собой анизотропную идеальнопроводящую в одном направлении полуплоскость, то выражения для факторизующих функций,согласно (1.3.10), принимают тривиальный вид:k n  kx(1.3.24)G  k0 , k x   0 v,ik00  k xгде 0  1  2 nv2  .

Выражение (1.3.24) можно также получить из (1.3.22), (1.3.18) и (1.3.21)при помощи предельного перехода   0 .Получив факторизацию функции G  k0 , k x  , мы можем найти неизвестную функциюˆbxkx  k x  из (1.3.14):Fi  k0 , k x k1ˆbxk x  k x   0.2  k0 nv  k x  G  k0 , k x   k0 nv  k x  G  k0 , k x   k x  k x  i 0(1.3.25)Плотность поверхностного тока I xbkx , наводимую полем всего пучка, можно записать в видеI xbk x 1k0 ˆ xk  kx  dkx .bx(1.3.26)Остается проверить выполнимость условия на ребре, которое физически означает, чтопоток энергии через окружающую ребро цилиндрическую поверхность стремится к нулю пристремлении к нулю радиуса цилиндра.

Для этого определим особенность, которую имеет ток I xbна ребре сетки. В силу свойств используемого Фурье преобразования (1.2.5), поведениефункции при x  0 зависит от поведения Фурье-образа функции на бесконечности в нижнейполуплоскости по сопряжённой к x переменной k x (то есть при k x   , Im k x  0 ). Извыражения (1.3.22) можно определить, что G  k0 , k x   1 в заданной области (если   0 ).Тогда Фурье образ поверхностного тока I xbkxведет себя как линейная функция: I xbk x2 , а сам поверхностный ток вблизи ребраx (при x  0 ).

Таким образом, поверхностная34плотность тока на ребре зануляется, а поверхностная плотность заряда, согласно законусохранения, конечна, вследствие чего ребро является неизлучающим.Отдельно стоит отметить поведение тока, возникающее на крае идеально анизотропнопроводящей полуплоскости (     0 ).

В этом случае, из (1.3.24) и (1.3.21), мы получаем, чтоG  k0 , k x  1k x при k x   , Im k x  0 . Тогда, I xbkxk x3 2 и I xbx при x  0 , чтосовпадает с поведением поверхностного тока на идеально проводящей полуплоскости [131]. Вэтом случае ребро также является неизлучающим.Для дальнейшего рассмотрения задачи выпишем вектор Герца, описывающий наведённоеполе: bxk0  k0   eik0 z 2cik a ik bkxe x 0 y0 0dkx k y 0  k0nv  k x  G  k0 , k x  ik  x ik  yi  k0   eik0 z 2ce x y0 k y 0  k0nv  k x  G  k0 , k x  k x  k x  i 0 dk x ik a ik b(1.3.27)ik  x ik  ykxe x 0 y0 0e x y0dk x k y 0G  k0 , k x   k y 0G  k0 , k x  k x  k x  i0 dk x .1.3.2.

Асимптотическое исследование поляПроанализируем особенности, которые имеет внутренний интеграл по k x выражения(1.3.27). Функция G регулярна и не имеет нулей в нижней полуплоскости k x , а в верхнейимеет те же особенности и нули, что и функция G . В верхней полуплоскости функция G имеетпростой ноль k x  k xp (1.2.21), который является полюсом подынтегрального выражения(1.3.27), и точку ветвления k x  ik00 (1.2.20).

Симметричная точка ветвления k x  ik00появляется в подынтегральном выражении (1.3.27) за счёт наличия радикала k y 0 . Кроме того, вверхней полуплоскости содержится полюс в точке k x  k x  i0 (см. Рис. 1.9.).Произведём замену k x  k00 sh  и оценим внутренний интеграл в выражении (1.3.27) вволновой зоне k0 R1 ( R  x2  y 2 ) при помощи метода перевала. Он может быть записан ввидеik  x ik  ye x y0 k y0  k0  k x  G  k0 , k x  k x  k x  dk x       exp ik0 R    d ,     1,k0 1  0 sh   G  k0 , k00 sh   k00 sh   k x       i 0 y ch    0 x sh   R .(1.3.28)(1.3.29)Здесь мы пренебрегли поглощением в вакууме и смещением второго полюса с вещественнойоси, зафиксировав правила обхода особенностей контуром интегрирования.Так как фазовая функция     в данном случае совпадает с точностью до постоянногослагаемого с фазовой функцией (1.2.25) интеграла, оцениваемого в предыдущем разделе35(1.2.23), мы можем использовать полученные ранее результаты для нахождения контуранаискорейшего спуска.

Точка перевала задаётся формулойx(1.3.30) s  i arctg ,yа контур наискорейшего спуска CSD является прямой, проходящей через эту точкупараллельно оси абсцисс (Рис. 1.10.). На комплексной плоскости  отсутствуют точкиветвления, однако присутствуют два полюса, расположенные в верхней «полосе»:k p1  Arsh x ,k0  0(1.3.31)k xp p 2  Arsh.k0  0Рис. 1.9. Расположение особенностей подынтегрального выражения (1.3.27) длявектора Герца наведённого поля на комплексной плоскости k x . Краснымисплошными линиями обозначены разрезы, выходящие из точек ветвленияk x  ik00 , точками отмечена полюса k xp и k x  i 0 , зелёная штрихованная линияпоказывает прохождение контура интегрирования. Римские цифры — номераквадрантов комплексной плоскости.Как и в предыдущем разделе, оценка интеграла, идущего по контуру наискорейшегоспуска CSD , даётся экспоненциально убывающим выражением. Однако в случае, когдакоордината точки наблюдения x  0 (то есть проекция точки наблюдения на плоскость y  0находится на плоскости сетки), при трансформации исходного контура к контурунаискорейшего спуска захватываются два полюса  p1 и  p 2 .

Строго говоря, второй из нихзахватывается, если Im s  Im  p 2 (т.е. при выполнении неравенства x  x p , где x p задаётсявыражением (1.2.31) при b0  0 ). Однако если поглощение в проводах отсутствует (   0 ), тоIm  p 2  0 , и оба полюса захватываются при любом положительном x . Если xy , то можносчитать, что этот полюс всегда даёт вклад в оценку интеграла (1.3.28) в волновой зоне при36условии малости поглощения в проводах (  1 ).

Характеристики

Список файлов диссертации