Диссертация (1149874), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Однако, как и ранее, мы будем рассматриватьэтот вклад для произвольных x  0 и y даже вне волновой зоны.Рис. 1.10. Расположение особенностей подынтегрального выражения для вектораГерца наведённого поля, исходного контура интегрирования и контуранаискорейшего спуска CSD на комплексной плоскости  . Римскими цифрамиуказаносоответствиеучастковкомплекснойплоскостиквадрантамнакомплексной плоскости k x .Вклады соответствующих полюсов  xp   xp1   xp2   x в декартовой системекоординат имеют вид xp1  xp2ik0  k0   eik0 z   k0  cckxe k2y0kxeik x  x  a0 ik y 0  y b0 k x2  k02 G  k0 , k x dk x ,(1)ik x a0 ik y 0b0 ik0 x  z   k0 y xk xpdk k  k  k   k  k  G  k , k  G  k ,xk  ,y0 x0xxp 0 x 0 0(1.3.32)(1.3.33)которые справедливы только в области x  0 . При вычислении вклада полюса (1.3.33) мывоспользовались тем, что k x  k xp является простым нулём функции G  k0 , k x  , а значит, вокрестности этой точки её можно представить в видеG  k0 , k x   k x  k xpG  k0 , k x k x.(1.3.34)k x  k xpБолее того, так как точки k xp и k0 близки,G  k0 , k x k xk x  k xpG  k0 , k x k x O  ,(1.3.35)k x  k0а значит, пользуясь связью (1.3.21), можно представить производную, необходимую длявычисления вклада полюса, как37G  k0 , k x k x ei  4 G  k0 , k0  .(1.3.36)k x  k xpТакже мы пренебрегли отличием k xp от k0 при вычислении радикалов k y 0k x k xp.Мнимая часть полюса k x  k x  i0 и поглощение в вакууме вводились для определениявзаимного расположения особенностей и контура интегрирования, поэтому в выражениях(1.3.32) и (1.3.33) мы ими пренебрегаем всюду.

Естественно, мы будем учитывать правилаобхода особенностей, полученные при помощи введения этой мнимой части.Подынтегральные выражения (1.3.32) и (1.3.33) имеют полюса kx  kxp и точкиветвления k x  ik00 . Помимо этого, в выражении (1.3.32) имеются дополнительные полюса вточках ветвления (Рис. 1.11). Дальнейший анализ выражений (1.3.32) и (1.3.33) зависит от знакавеличины a0 .Рис.

1.11. Расположение особенностей подынтегральных выражений (1.3.32) и(1.3.33), а также контуров интегрирования (начального — зелёная штриховая линия;трансформированного в верхнюю полуплоскость — синяя штрихпунктирная линия,и в нижнюю — оранжевая пунктирная линия) с соответствующим «захватом»полюсов.1.3.3. Поверхностная«ниже» ребраволнадляпроизвольногопучка,движущегосяРассмотрим такой случай, когда проекция пучка на плоскость y  0 приходится не наобласть, содержащую проволочную структуру, а на её продолжение, то есть когда a0  0(траектория пучка лежит «ниже» ребра экрана, Рис.

1.8).Если a0  0 , то экспоненты в подынтегральных выражениях (1.3.32) и (1.3.33) убывают вверхней полуплоскости k x (так как рассматривается только область x  0 ). В таком случае,исходные контуры обоих интегралов можно трансформировать к контуру   с выделениемсоответствующих полюсов.Введём для удобства новые обозначения:38 xp1,2f1,2  k0 , k x  dk x ,(1.3.37)где f1,2  k0 , kx  берутся из выражений (1.3.32) и (1.3.33). Тогда после трансформации контураинтегрирования, идущего по вещественной оси, к контуру   , получим xp1,2a0 0f1,2  k0 , k x  dk x  2i Res  f1,2  k0 , k x   .(1.3.38)k xpВычеты в точке k x  kxp равны по модулю (с точностью до малой  в амплитудноммножителе; далее мы будем сохранять малость  лишь в фазовом множителе), но имеютразные знаки, а значит, скомпенсируют друг друга, в конечном счёте.

Интегрирование функцииf1 , пренебрегая поглощением в проводах (   0 ), можно преобразовать к виду:f1  k0 , k x  dk x 2k02  k0   eizk0 cdk xk0  0 kx2  k02 k xakxe x  0  k 2   2 k 2  k 2 2 x0 0  0(1.3.39)  sin k 2  k 2 2 y  b22 2coskkybx0 00x0 00 ,222k0k x  k0  0откуда видно, что вклад от этого интеграла быстро убывает с расстоянием вдоль проводов.Рис. 1.12. Распространение поверхностной волны, возбуждаемой пучком,движущимся «ниже» ребра полубесконечной сетки ( a0  0 ).

Сиреневым пунктиромобозначена линия, при перемещении вдоль которой поверхностная волна не меняетсвоей формы. Стрелками на этой линии обозначено направление плотности потокаизлучаемой энергии.Результат интегрирования f 2 по контуру   представляет собой волну следующего вида:it Sex  2 Re  d e0 2 Re  dk00 dk x f 2  k0 , k x    k0   e(1)ik0  x    k0 y xk xpG  k0 , k0  dk x kkxeik x a0 ik y 0b02y0 kx k02(1.3.40)dk xG  k0 , k x .Она убывает с увеличением расстояния от сетки и слабо затухает вдоль проводов внаправлении «от заряда» за счёт наличия их конечной проводимости. Если же рассматривать39идеальные проводники (   0 ), то волна (1.3.40) не меняется при перемещении точкинаблюдения вдоль линий x    const .

Таким образом, выражение (1.3.40) описываетраспространение поверхностной волны, возбуждаемой пучком заряженных частиц,движущимся вдоль ребра полубесконечной сетки из проводов, в случае a0  0 (Рис. 1.8).Схематично линия, вдоль которой сосредоточена поверхностная волна, изображена наРис. 1.12. Видно, что эта волна «начинает» распространяться от ребра сетки. При этом в силукомплексности пути интегрирования   , поле (1.3.40) убывает с увеличением расстояний a0 иb0 от пучка до края сетки.Существенными компонентами поля такой волны являютсяik  x   k0 y2 E ySe   H zSe  2 i sgn y  k0   k0   e 0 Se    Se   Re  dk0 G  , k0  1  Ez    H y   0  dk xkxe(1)xk xpik x a0 ik y 0b0k y 0 k x2  k02 G  , k x (1.3.41).Компоненты E xSe и H xSe пропорциональны квадрату малого параметра2 . Таким образом,плотность потока энергии поверхностной волны (1.2.35) в данном случае направлена вдольпроводов от границы.1.3.4. Поверхностные волны для произвольного пучка, движущегося«выше» ребраРассмотрим теперь случай, когда проекция пучка на плоскость y  0 приходится на область,занятую периодической структурой, то есть когда a0  0 (траектория пучка лежит «выше» краяэкрана, Рис.

1.8). Если a0  0 , то контур интегрирования в (1.3.32) можно трансформировать вверхнюю (   ) или нижнюю (  ) полуплоскость в зависимости от величины x . В результате,захватывается либо полюс k xp , либо kxp , и результат интегрирования можно представить ввиде xp1a0 0   x  a0    f1  k0 , k x  dk x  2i Res  f1  k0 , k x    k xp (1.3.42)   x  a0    f1  k0 , k x  dk x  2i Res  f1  k0 , k x    . k xp Нетрудно показать, что интеграл по контуру  в выражении (1.3.42), как и интеграл поконтуру   (1.3.39) убывает с расстоянием вдоль проводов даже при отсутствии в нихпоглощения.Суммарный вклад вычетов даётся выражением Six  2i  x  a0  Res  f1  k0 , k x    2i   x  a0  Res  f1  k0 , k x   , k xpk xp40(1.3.43) k0  x  a0y  b0  kexpik0i0     Si x  2 sgn  x  a0  Re dk0 , (1.3.44)k00где i     x  a0 .

Это выражение, с точностью до смещения вдоль оси x , совпадает свыражением для поверхностных волн в случае движения пучка заряженных частиц надбесконечной сеткой из проводов (1.2.33), рассмотренной в предыдущем разделе, а, значит,обладает всеми соответствующими свойствами. Компоненты электромагнитного поля,описываемого вектором Герца (1.3.43), в случае отсутствия поглощения в проводах задаютсявыражениями, аналогичными (1.2.34): E ySi  H zSi  Si   sgn  x  a0   Si   Ez  H y i sgn y  k0  k0   e 2 Re  1 0(1.3.45)(1)ik0 i k0 yb  x  a0 k xpdk0 . Таким образом, вклады полюсов kx  kxp в (1.3.32) представляют собой поверхностные волны,бегущие вдоль проводов в направлении от пучка.

Величина поля этих поверхностных волн неизменяется (в случае отсутствия поглощения в проводах), если точка наблюдения перемещаетсявдоль линий i  const . Стоит отметить, что (1.3.43) справедливо только для x  0 , поэтомусоответствующие поверхностные волны, бегущие в направлении отрицательных значенийx  a0 , существуют лишь в области 0  x  a0 . Схематично распространение данныхповерхностных волн представлено на Рис. 1.13 голубой штрихпунктирной линией.Рис. 1.13 Распространение поверхностных волн, возбуждаемых пучком,движущимся «выше» ребра полубесконечной сетки ( a0  0 ).

При перемещениивдоль пунктирных линий поверхностные волны не меняются.В интеграле (1.3.33), когда a0  0 , контур интегрирования необходимо трансформироватьк контуру  для любых x  0 , захватывая полюс kx  kxp : xp2a0 0 f2  k0 , k x     Sex f2  k0 , k x  dk x  2i Reskxp41  Srx .(1.3.46)Слагаемое  Sex , представляемое интегралом по контуру   , описывается выражением (1.3.40). также описывает поверхностную волну,в котором необходимо заменить   на  .

Поле  Sexкоторая распространяется вдоль проводов от границы сетки, сильно убывая с увеличениемрасстояний a0 и b0 . Схематично распространение такой волны отображено на Рис. 1.13тонкой сиреневой пунктирной линией. Компоненты поля также даются выражениями,эквивалентными (1.3.41)Вклад полюса Srxтакже представляет собой поверхностную волну, котораяраспространяется вдоль проводов от границы, но является отражённой (поверхностная волна(1.3.44) достигает границы и отражается от неё). Выражение для неё имеет вид Srx  2 Re0 k   x  a0  y  b0    k0   exp i 0 r  k0      dk0 ,k0G  k0 , k0  G  k0 , k0 (1.3.47)где r      x  a0  . Данная волна, сохраняет свою форму (в случае отсутствия поглощения впроводах) при перемещении точки наблюдения вдоль линииr  const . Схематичнораспространение данной поверхностной волны приведено на Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации