Диссертация (1149874), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Величина отвечает за учёт толщины проводов и расстояния между ними. Если k0a  0 , при том, чтоa r0  const , то   0 . Равенство нулю параметра  соответствует отсутствую потерь за счётконечной проводимости проводов. Анизотропно проводящая плоскость с идеальнойпроводимостью вдоль проводов и бесконечным сопротивлением в поперечном направлениисоответствует случаю, когда оба параметра равны нулю.Подставляя результат (1.2.17), полученный для плотности поверхностного тока, ввыражение (1.2.13), запишем Фурье-образ вектора Герца наведённого поля в виде bx   k0   eik0 z kkxeik x x ik y 0  y b0 dk x .(1.2.19) k 2 n 2  k 2 1  i  k k  k k y0  0 vxy0 00 y0 Выражение (1.2.19) описывает полное наведённое планарной структурой поле (в рамкахрассматриваемой нами модели).c1.2.2. Асимптотическое исследование поляПроанализируем особенности, которые имеет подынтегральное выражение в (1.2.19) накомплексной плоскости k x .

Радикал k y 0 образует две точки ветвления k x  ik00  i0 c ,где0  1 2  .(1.2.20)Учитывая, что на вещественной оси обязательно Im k y 0  0 , целесообразно распространить этотребование и на всю комплексную плоскость. Это означает, что разрезы проводятся там, гдеIm k y 0  0 , то есть они совпадают с частями мнимой оси, идущими на бесконечность отсоответствующих точек ветвления (сплошные красные линии на Рис. 1.3.).

Тогда«верхнем» листе Римановой поверхности мнимая часть радикала будет большесоответствии с правилом фиксации.Другими особенностями подынтегрального выражения (1.2.19) являютсяkx  kxp (нули квадратной скобки в знаменателе (1.2.19)), которые в случаепоглощения в проводах ( приближений:на всемнуля, вполюсамалости   ), можно найти при помощи метода последовательных 1  O  2 ,k xp  k0  ik xp20(1.2.21)1  k    .

Таким образом, эти полюса находятся вблизи точек k   k . Онигде k xpx00 смещены с вещественной оси так, как показано на Рис. 1.3. Это смещение определяет обходособенностей контуром интегрирования в случае, если поглощение в проводах отсутствует.Заметим, что аналогичное взаимное расположение контура интегрирования и полюсов можнополучить, даже если изначально положить   0 , однако учитывать исчезающе малоепоглощение в вакууме ( nv  1  i0sgn  ).Иные особенности, помимо двух точек ветвления ik00 и двух полюсов  k xp , накомплексной плоскости k x в подынтегральном выражении (1.2.19) отсутствуют.Рис. 1.3.

Расположение особенностей подынтегрального выражения для вектораГерца наведённого поля на комплексной плоскости k x . Красными сплошнымилиниями обозначены разрезы, выходящие из точек ветвления k x  ik00 , зелёнаяштрихованная линия показывает прохождение исходного контура интегрирования.Римскими цифрами обозначены номера квадрантов комплексной плоскости.Проведём приближенный аналитический расчёт интеграла (1.2.19) в волновой зонеk0 Rt1 ( Rt  x 2   y  b0  ). Для удобства произведём замену переменной интегрирования с2помощью гиперболического синусаk x  k00 sh  ,(1.2.22)что позволяет избавиться от точек ветвления.

Обозначим функцию, стоящую в фазе экспонентыподынтегрального выражения (1.2.19), как k0 Rt     , тогда интеграл (1.2.19) в новыхобозначениях принимает видbx i0  k0   eik0 z      exp ik0 Rt     d ,(1.2.23)где  sh .(1.2.24)1  k00 ch    i0 ch  «Верхний лист» Римановой поверхности, содержащий контур интегрирования по k x перейдёт в1  02 sh 2 полосу  2  Im    2 на комплексной плоскости  . При этом квадранты комплексной21плоскости k x перейдут в участки комплексной плоскости  так, как обозначено на Рис.

1.4.Контур интегрирования в новых координатах будет проходить по вещественной оси (Рис. 1.4). Точки ветвления k x  ik00 перейдут в точки    i 2 , которые уже не будутявляться точками ветвления на плоскости  . Полюса kx  kxp перейдут в полюса    p .Рис. 1.4. Расположение особенностей подынтегрального выражения для вектораГерца наведённого поля, исходного контура интегрирования и контуранаискорейшего спуска CSD на комплексной плоскости  . Римскими цифрамиуказаносоответствиеучастковкомплекснойплоскостиквадрантамнакомплексной плоскости k x .Для оценки значения интеграла в дальней зоне воспользуемся методом перевала.

Рольбольшого параметра будет играть k0 Rt , а функция     i0 ch  y  b0   Rt0 sh xRt(1.2.25)определяет вид контура наискорейшего спуска. Стационарная точка  s определяется изуравнения    0 : s  i arctgx.y  b0 (1.2.26)Очевидно, что Re s  0 и значение этой точки меняется в пределах  i 2; i 2  . Отметим, чтов исходных декартовых координатах, выражение для стационарной точки имеет видk xs  ik00 x Rt .Контур наискорейшего спуска проходит через стационарную точку  s и удовлетворяетследующим условиям:Im      Im    s  ,Re      Re    s  .Из второго условия (1.2.27) вытекает уравнения на контура стационарной фазыsh   x cos    y  b0  sin   0,где   Re  и   Im  .22(1.2.27)(1.2.28)Уравнение (1.2.28) имеет два решения:  0и  arctg  x y  b0  .Первоепредставляет собой прямую, совпадающую с мнимой осью, а второе — прямую, параллельнуювещественной оси и проходящую через точку  s .

Используя неравенство из (1.2.27), можноустановить, что контуром наискорейшего спуска CSD является вторая прямая (Рис. 1.4.). Приэтом, т.к. sgn  Im s   sgn x , CSD проходит выше вещественной оси для положительных x иниже — для отрицательных.В случае когда x  0 , подынтегральное выражение (1.2.23) убывает в областях I и II (см.Рис. 1.4). Таким образом, мы можем трансформировать исходный контур интегрирования кконтуру наискорейшего спуска CSD в области регулярности подынтегрального выражения.Единственной особенностью подынтегрального выражения в областях I и II является полюс   p , вклад которого необходимо учесть при трансформации, если Im s  Im  p .Аналогично, при x  0 , подынтегральное выражение убывает в областях III и IV и, притрансформации контура интегрирования может быть захвачен полюс    p , еслиIm s   Im  p .В результате, интеграл, идущий по контуру наискорейшего спуска можно оценить постандартным формулам метода Лапласа [126]:2Rt3k0 x 2   2 y 2b    exp ik0 Rt     d  CSDixe k00 RtRt2  0 yb  i 1  2 yb Rt2,(1.2.29)где yb  y  b0 .Как видно из выражения (1.2.29), вклад седловой точки в волновой зоне экспоненциальноубывает с увеличением расстояния от сетки в плоскости, перпендикулярной траекториидвижения.

Отсюда следует, что объёмное излучение в рассматриваемой задаче отсутствует.1.2.3. Поверхностные волныКак было отмечено выше, при трансформации исходного контура интегрирования кконтуру наискорейшего спуска CSD необходимо учесть вклад полюса (Рис. 1.4.), которыйвыделяется, еслиIm  s  Im  p .(1.2.30)Вернёмся к декартовой системе координат и рассмотрим вклады полюсов kx  kxp внаведённое поле (1.2.19).

Из проведённого анализа следует, что вклад в волновой зоне этиполюса будут давать, если выполняется условие (1.2.30). Пренебрежём поглощением в вакууме( nv  1) и будем считать, что проводимость проводов велика (     ), тогда можноиспользовать выражение (1.2.21) для полюсов. Область, где полюса дают вклад, определяетсянеравенством x  x p , где x p задаётся выражениемarctg Im Arsh   01  i,y  b00      xp23(1.2.31)вытекающим из (1.2.30), (1.2.26) и (1.2.22). Как видим, в области, где xy  b0 , условиезахвата полюсов при трансформации контура интегрирования в контур наибыстрейшего спускавыполняется. Геометрический смысл неравенства (1.2.30) легко понять в ультрарелятивистскомпределе (   1 , 0  0 ). В этом случае обратный гиперболический синус можно разложить вряд, и выражение для x p представить в видеxpy  b0 tg.(1.2.32)Тогда поверхностная волна будет давать вклад в тех точках наблюдения (в волновой зоне), длякоторых угол  (см.

Рис. 1.5) больше величины      . Отметим, что, если поглощение впроводах отсутствует (   0 ), то x p  0 (при любой скорости), то есть вклад полюсов имеетсявезде.Рис. 1.5. Поверхностная волна даёт вклад в полное поле в тех точках наблюдения Rв волновой зоне, где угол        .Далее мы будем рассматривать вклады полюсов при произвольных x и y (в т.ч.

вневолновойзоны),полагая,чтоположительныйполюсk x  k xpзахватываетсяприположительных x , а отрицательный — при отрицательных. Полученные выражения будутблизки к полному наведённому полю там, где эти вклады являются преобладающими. В то жевремя, вклады полюсов определяют полное поле излучения, так как другие вкладыпредставляют собой лишь квазистатическое поле.Фурье-образ той части вектора Герца, которая определяется вкладами полюсов, имеет вид k xy    k0   exp i 0  z   x   k0  b         sx   sgn  x ,k0     (1.2.33)Здесь малое поглощение в проводах  учтено лишь в показателе экспоненты, в амплитудноммножителе мы влиянием этой поправки пренебрегли.Вычисляя Фурье-образы компонент поля согласно (1.2.14) и проводя интегрирование почастоте, получаем следующие ненулевые компоненты поля поверхностных волн для24произвольного профиля пучка ( )  ( z  Vt ) в случае отсутствия поглощения в проводах(   0 ):ik   k0 yb E ys  H zs i sgn y  k0  k0   e 0 s   sgn x  s   2 Re  1  Ez  H y 0dk0 .(1.2.34)где      x ,   z  Vt .

Из выражения (1.2.33) видно, что вклады полюсов kx  kxpпредставляют собой волну, которая экспоненциально убывает с увеличением расстояния отплоскости сетки и слабо затухает вдоль проводов в направлении от траектории заряда за счётналичия их конечной проводимости. Если же рассматривать идеальные проводники (   0 ), товолна (1.2.33) не меняется при перемещении точки наблюдения вдоль линий  x    const .Таким образом, выражение (1.2.33) описывает распространение поверхностных волн,возбуждаемых пучком заряженных частиц на рассматриваемой периодической структуре(Рис. 1.6).Рис. 1.6.

Характеристики

Список файлов диссертации