Диссертация (1149874), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Схематичное изображение распространения поверхностных волн,возбуждаемой пучком заряженных частиц «прямоугольной» формы, движущимсяперпендикулярно проводам. Стрелки показывают направление потока энергииволны.Компоненты поля (1.2.34) перпендикулярны проводам, откуда вытекает, что плотностьпотока энергии поверхностных волн (вектора Умова-Пойнтинга) имеет единственнуюкомпоненту вдоль проводов. Величины электрического и магнитного полей одинаковы, так чтоплотность потока энергии пропорциональна квадрату электрического поля:c  s sSs E , H  S xs e x ,(1.2.35)4 S xs     Ezs   .csgn x  E ys422(1.2.36)Если функция ( ) , задающая профиль пучка, является чётной, то её Фурье-образ (k z )будет вещественной чётной функцией, что позволяет упростить выражения (1.2.34) следующимобразом: sgn y sin k    E ys  0  k0  k0   ek0 yb s   2    Ez  cos  k0   025dk0 ,(1.2.37)Выражения (1.2.37) описывают поле поверхностных волн, возбуждаемых симметричнымпучком заряженных частиц на сетке из параллельных идеальных проводов.

Примерами такихпучков являются «прямоугольный» пучок r с постоянной плотностью заряда вдоль своейдлины, пучок гауссовой формы g , а также их частный случай —точечный заряд (  p ).Соответствующие функции, задающие профиль, а также их Фурье-образы (1.2.8) имеютследующий вид:qq sin  k  (1.2.38)r          , r  k  ,22 k   2  k 22 qqg    exp  2  ,  g  k  exp (1.2.39),22  2 2 q p     q    ,  p  k  ,(1.2.40)2где  — характерная полудлина пучка,     — функция Хэвисайда, q — полный заряд пучка.Можно получить явные выражения для интегралов (1.2.37) в случае «прямоугольного»пучка [127] при условии, что сетка представляет собой идеальную анизотропно проводящуюплоскость (когда не только   0 , но и   0 ):2 yb  sgn y  222 E ys   yb   .(1.2.41) s   q 2 y      2   y 2      2  Ez r b bСоответствующий результат для точечного пучка получается из выражения (1.2.41), еслиположить в нем   0 (тот же результат получается и прямым интегрированием выражения(1.2.37) для точечного заряда).Выражения для поверхностных волн, создаваемых гауссовым пучком, через элементарныефункции не удаётся выразить даже в случае идеальной анизотропно проводящей плоскости.Однако их можно записать через дополнительную функцию ошибок [127] (мы не будемприводить здесь этот результат ввиду его громоздкости).На Рис.

1.7 приведено пространственное распределение электрического поля и плотностипотока энергии поверхностных волн, возбуждаемых «прямоугольным» пучком. Распределенияданы в плоскости перпендикулярной проводам, линия  x    const пересекает каждое изизображений посередине. Длина пучка на всех графиках 2  2 см. Первые две строки (a) и (b)рисунков представляют волны, возбуждаемые на сетке из идеальных проводников (   0 ) сaa 0.15 см ( a  3 мм, r0  0.1 мм). В первом случае (a) пучок движетсяпараметром   ln 2r0на расстоянии b0  0.1 см, во втором (b) в два раза дальше. Видно, что амплитуда волны резкоослабевает, однако расстояние между экстремумами вдоль оси  в обоих случаях совпадает сдлиной пучка заряженных частиц. Также представлен случай (c).

когда пучок движется надидеальной анизотропно проводящей плоскостью (     0 ). Как видно из представленныхрисунков, форма поверхностной волны становится более чёткой, если мы пренебрегаемрасстоянием между проводниками, однако структура во всех трёх случаях остаётся схожей.Таким образом, анализируя форму поверхностной волны, можно оценивать размер пучковзаряженных частиц.26Рис. 1.7 Поверхностная волна, возбуждаемая «прямоугольным» пучком заряженныхчастиц, движущимся вдоль неограниченной планарной проволочной структуры.Приведено распределение компонент поля и плотности потока энергии волны вплоскости, перпендикулярной проводам x  const  0 .

Длина пучка 2  2 см, зарядq  1 ед. СГС, расстояние от траектории до сетки (a) b0  0.1 см; (b), (c) b0  0.2 см.Параметры сетки:   0 ; (a), (b)   0.148 ; (с)   0 . Скорость пучка   0.9 .Компоненты поля и плотность потока энергии приведены в системе СГС.1.2.4. Потери энергии на излучениеВыражение для плотности потока энергии (1.2.36) поверхностных волн может бытьиспользовано для поиска энергии, теряемой пучком на излучение на единице длины пути (таккак поверхностные волны — единственная причина потери энергии). Так как вектор Умоваd S, излучённую вdtединицу времени, можно вычислить как энергию, прошедшую через две плоскости,ортогональные проводам и расположенные по разные стороны от оси движения заряда:Пойнтинга имеет единственную компоненту вдоль проводов, то энергиюd S  S x dyd    S x dyd   2  S x dyd ,dtx  xx  xx  x00270(1.2.42)где x0  0 — некоторая константа (здесь учтена нечётность S x как функции x ).

Потериэнергии пучка на единицу длины пути отличаются от потерь на единицу времени лишьмножителем 1 V :d S 2  Sxdz0 V x  x0dyd   2  S xx  x0(1.2.43)dydt.Перепишем выражения для компонент поля поверхностных волн симметричного пучка ввиде интеграла по вещественной оси:ik    k y  E ys i sgn y  k0  k0   e 0 e 0 b(1.2.44)dk0 . s     sgn k0   Ez  В силу структуры выражений (1.2.44), выражение (1.2.43) будет содержать интеграл видаd Sdz0dydk0dk0i k  k  ctdt  f  k0 , k0 , y  e002 dy  dk0  f  k0 , k0 , y    k0  k0  dk0 c 2 dy  f  k0 , k0 , y  dk0c (1.2.45)Пользуясь (1.2.45), после подстановки (1.2.44) в (1.2.36), получим2 2 k0 b0  2k0   k0   ed S2   dk0 dz0    2e2 k0 y dy.(1.2.46)После интегрирования по y и замены k0  k  , получаем конечное выражение k   k   e2k b0d S2 2  dk ,2dz01k02(1.2.47)которое описывает потери пучка частиц на излучение на единицу длины пути.

Отметим, чтозначение интеграла (1.2.47) не зависит от скорости пучка  , а значит, потери энергии наизлучение для пучка с произвольным продольным распределением плотности заряда     наединицу длины пути пропорциональны скорости пучка.Интеграл (1.2.47) имеет простое аналитическое выражение для «прямоугольного» пучка(1.2.38), движущегося над идеально анизотропно проводящей плоскостью (   0 ):Sq 2 d .22 dz0 r 2 4b0  (1.2.48)Из выражения (1.2.48) можно определить потери на излучение точечного заряда врассматриваемой модели, положив   0 .Как видим, полные потери энергии растут с уменьшением расстояния от траектории досетки и с уменьшением размера пучка.

Оценим потери энергии пучков электронов и протоновпо сравнению с их кинетической энергией K . Для пучка из N частиц массой m имеем28Se2 N 2 d ,22dz24b 0 r0где   1  21/2K  Nmc 2    1 ,— Лоренц-фактор частицы. Отношение энергии, теряемой пучком наединицу длины пути к запасу кинетической энергии, имеет видe2N d S . K22mc 4b02  2    1 dz0 rТогда для пучков электроновN d S 13. K  1.4 1024b0  2    1 dz0 rЕсли мы рассмотрим нанокулонный пучок ( N ~ 1010 ) длиной порядка сантиметра, которыйдвижется близко к структуре (  b0 ), то получим d S 3(1.2.49). K 10dz1 0 rТаким образом, релятивистские пучки практически не будут испытывать радиационноготорможения на дистанции намного больше собственной длины.

Тем более это торможение несущественно для ультрарелятивистских пучков с  1 . Для протонных пучков относительныепотери энергии ещё на три порядка меньше. Тем самым представляется вполне оправданнымиспользование допущения о постоянстве скорости частиц пучка при расчёте егоэлектромагнитного излучения даже в том случае, когда нет внешних сил, компенсирующихтормозящее действие излучения.291.3. Излучение пучка заряженных частиц, движущегося вдоль краяполубесконечной плоской сетки из проводовВ данном разделе мы будем рассматривать случай движения пучка заряженных частиц спостоянной скоростью вдоль края полуплоскости из параллельных проводников (Рис. 1.8.).Полуплоскость, где располагаются проводники, перпендикулярна оси y и расположена вобласти x  0 , провода направлены вдоль оси x .

Будем считать, что пучок обладает такими жесвойствами, как и в предыдущем разделе: бесконечно малый в поперечном направлении спродольный профилем, задаваемым функцией     . Если сгусток движется на расстоянии a0до плоскости, содержащей рассматриваемую периодическую структуру, и на расстоянииa02  b02 до её края, то объёмная плотность тока, создаваемая таким пучком имеет видjq  V   x  a0    y  b0    z  Vt  ez .(1.3.1)Для удобства будем считать, что b0  0 , но знак a0 может быть любым.Рис. 1.8. Движение пучка заряженных частиц  со скоростью V вдоль краяполубесконечной сетки из параллельных проводников перпендикулярно им.1.3.1. Общее решениеКак и в предыдущем разделе, полное электромагнитное поле в рассматриваемой задаче будемискать в виде суперпозиции падающего поля и поля, наведённого сеткой, выражая их черезсоответствующие однокомпонентные вектора Герца:   i  b .

Единственная компонентавектора Герца падающего поля имеет вид  k0   eik0 z  eik x  x a0 ik y 0 y b0(1.3.2)iz dk x ,k y0где k y 0 совпадает с (1.2.11) и, аналогично, Im k y 0  0 .Воспользовавшись связью (1.2.14), нетрудно записать Фурье-образ компоненты Exiпадающего поля:30Exi   k0   eik0 z ckxeik x  x  a0 ik y 0 y b0(1.3.3)dk x .k y0Сначала мы рассмотрим лишь одну гармонику падающего поля Eˆ xi с фиксированнымзначением k x из разложения по плоским волнам полного собственного поля пучка (1.3.3),которую представим в виде2ik x ik y ik0 z Eˆ xi   k x  Fi  k0 , k x  e x y 0,(1.3.4)21 k x k0   k0   ik x a0 ik y 0b0e.2k y0(1.3.5)гдеFi  k0 , k x  Тогда Фурье-образ компоненты Exi полного собственного поля (1.3.2) выражается черезвыделенную гармонику Eˆ xi  какExi 1k0 Eˆ x  kx  dkx .i(1.3.6)Электрическое поле, наведённое плоской волной (1.3.4) на сетке, по аналогии спредыдущим разделом (1.2.13), будет выражаться через плотность поверхностного токаˆb   k  , возбуждаемое этой плоской волной на проводах:xk xxik x x ik y 0 y2eik0 z  ˆbeEˆ xb  k x   xk x  k x   k02 nv2  k x2 где k y 0  k y 0k x k xk y 0dk x ,(1.3.7).

Подчеркнём, что k x — это компонента волнового вектора падающейплоской волны, а k x — это компонента волнового вектора в разложении поля, создаваемоготоками и зарядами, наведёнными на полуплоскости.Выражение (1.3.7) определяет поле в областях y  0 и y  0 . В плоскости y  0 должнывыполняться граничные условия: при x  0 это УГрУ (1.1.2), а при x  0 — требованиянепрерывности касательных компонент электрического и магнитного полей.

Характеристики

Список файлов диссертации