Диссертация (1149874), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Таким образом, эта волна является поперечной поотношению к групповой скорости, в то время как направление фазовой скорости с ней несовпадает.722.2. Излучение пучка заряженных частиц, движущегося перпендикулярнопроводам в бесконечном метаматериалеВ данном разделе будет рассматриваться задача об электромагнитном поле пучка заряженныхчастиц, движущегося внутри неограниченного проволочного метаматериала перпендикулярнопроводникам (Рис. 2.2).

Как и в предыдущей главе, будем считать, что пучок имеет бесконечномалые поперечные размеры и произвольное продольное распределение заряда. Объёмнуюплотность тока, создаваемую таким пучком, можно представить в виде(2.2.1)jq  V   x    y      ez ,где   z  Vt — расстояние от точки наблюдения до плоскости z  ct ,     — плотностьпродольного распределения заряда в пучке (профиль пучка),   x  — дельта-функция Дирака,V — скорость пучка, e z — орт вдоль направления оси z .Рис. 2.2.

Движение заряда внутри бесконечного проволочного метаматериалаортогонально проводам.2.2.1. Общие выражения для компонент поляДля нахождения электромагнитного поля, создаваемого пучком (2.2.1), необходимо решитьуравнения Максвелла для поля источника (2.2.1) в среде с тензором диэлектрическойпроницаемости вида (2.1.2). Для отбора правильного решения, будем считать, что в вакуумеесть бесконечно малое поглощение ( 2  nv2  1  i  0sgn  ). Тогда для Фурье образов компонентполя (по частоте и трём компонентам волнового вектора) имеем следующую алгебраическуюсистему уравнений: ik , E   ik0 B ,k k4j , ik , H k   ik0 Dk c k(2.2.2) Dk  ˆ  , k x  Ek , Bk  H k ,где ˆ  , kx  задаётся выражением (2.1.2), k0   c .

Решая систему (2.2.2) относительно Фурьеобразов напряжённостей полей Ek и H k , получаем73Exk kxkz4ij ,  nv2 k02  k x2  k y2  k z2 zk(2.2.3)k y k z k02 nv2  k 24i jzk , k 2n2  k 2  k 2n2  k 2  k 2  k 20 v0 vxyz 2 222 222 2 24i  k0 nv  k  k0 nv   k z   k y k0 nv    1Ezk   jzk ;2 222 2222knkknkkk 0 v   0 v x  y z E ykH xk  H ykky4i jzk ,c k02 nv2  k 2 (2.2.4)(2.2.5)(2.2.6) k x  k02 nv2  k x2  k z2  k y24i jzk ,c k 2n2  k 2  k 2n2  k 2  k 2  k 20 v0 vxyz(2.2.7)k x k y k z    14i jzk .c k 2n2  k 2  k 2n2  k 2  k 2  k 20 v0 vxyz(2.2.8) H zk  Единственная ненулевая компонента Фурье образа плотности тока даётся выражением (см.(1.2.7)):1(2.2.9)jzk   k z  k0     k0   2  2где     — Фурье-образ профиля пучка:  1    ei d .2Ряд компонент (2.2.3) – (2.2.8) имеют общий знаменатель  (2.2.10)F , k  k02 nv2  k 2  k02 nv2  k x2  k y2  k z2 .(2.2.11)Он задаёт дисперсионное уравнение в данной среде: F , k  0 .(2.2.12)Решая его, мы найдём волновые вектора свободных волн, которые существуют врассматриваемом метаматериале.

Для этого представим (2.2.11) в виде k 2  k02nv2   2  c2kx2  2id  k02  kx2  k y2  kz2   2p  k02  kx2    k x2  k y2  k z2  k02 nv2  c 2 k x4  Bk x2  C  ,где(2.2.13)B  22  k y2c 2  k z2c 2  2p  2id ,2222 pC    k0  k y  k z  2c2  2id k02  k y2  k z2 .74(2.2.14)Здесь мы сохранили показатель преломления nv2 только в первых скобках выражения (2.2.13),так как во вторых (квадратных) скобках поглощение в метаматериале вносит болеесущественный вклад, чем поглощение в вакууме.Нулями полинома четвертой степени будут корни соответствующего биквадратногоуравнения, которые записываются следующим образом:1(2.2.15)k x2  2  B  B 2  4c 2C .2cПодставляя выражения (2.2.14) в (2.2.15), получаемd1  22222k0  k y  k z  k p  2ik02 ck x2 (2.2.16)d 2 4ik0k y  k z2  k p2  ,c p , и разложим радикал в выражении (2.2.16) в ряд Тейлора с2k y2  k z2  k 2pгде k p   p c .

Учтём, что dточностью до линейного члена:d1 22222k0  k y  k z  k p  2ik02ck x2 k y2 k z2 k p2222d k y  k z  k p  2ik0.c k y2  k z2  k 2p Уравнение (2.2.12) удобно представить в видеk2x222 k xok x2  k xeik x2  k xea 0,(2.2.17)(2.2.18)где2k xo2k xei2k xea2c2nv2  k y2  k z2 , k y2 k z2k 2pd 2ik0,c k y2  k z2  k 2pk02 k 2pk0222d k y  k z 2ik0.c k y2  k z2  k 2p(2.2.19)Извлекая квадратные корни из выражений (2.2.19), зафиксируем их ветви так, чтоIm  kxo , kxei , kxea   0 .Таким образом, мы получили решение дисперсионного уравнения. Видно, что полноеполе представляет собой суперпозицию трёх типов волн, каждая из которых определяется своейпарой значений k x (2.2.19).

Волну с k x  k xo мы назвали «обыкновенной» (см. п. 2.1) из-за еёсходства с плоскими волнами в вакууме. Для этой волны k 2  k02  2 c 2 . Волна с k x   k xeiбыла названа «необыкновенной изотропной». Для этой волны волновой вектор в пределебесконечно малых потерь совпадает с волновым вектором в случае холодной плазмы и независит от направления распространения: k 2  2p. Волна с k x   k xea являетсяc2«необыкновенной анизотропной». Характерной особенностью этой волны является то, что, в2kei275пределе исчезающе малых потерь, проекция волнового вектора на направление проводов2совпадает с волновым числом в вакууме: k x2  k xea k02 .Выражения для электрического и магнитного полей с учётом (2.2.19) можно записать ввиде1 it ikr iE  k e    k0     k z  k0   edk0     k 2  k 2 k 2  k 2 k 2  k 2 d  ,cH h  x xoxxeixxeaVk(2.2.20)где вектора e и h имеют следующие компоненты:2ex  k x k z k x2  k xok02  k x2  2ik0 d c ,e y  k y k z k20(2.2.21) k 2 k02  k x2  2ik0 d c  k02k 2p ,(2.2.22) k02  k z2  k02  k x2  2ik0 d c   k02k 2p   k y2k02k 2p ,22hx  k y  kx2  kxei kx2  kxea,hy  k x  k02  k x2  k z2  k02  k 2p  k x2  2ik0 d c   k y2  k02  k x2  2ik0 d c  ,2ez   k x2  k xohz  k x k y k z k p2 .(2.2.23)(2.2.24)(2.2.25)(2.2.26)Интегралы по переменной k z легко берутся из-за наличия дельта-функции.

Устремляязатухание к нулю ( d  0 , nv2  1 ) и учитывая правила фиксации корней (2.2.19), запишемвыражения (2.2.21) – (2.2.26) в следующем виде:k22ex  k x 0 k x2  k xok x2  k xea,e y  k yk0(2.2.27) 2 1  2 222 2kkk k0xxea0 k p ,2(2.2.28)2 2 1 2 222 2ez   k x2  k xokkkkk p   k y2 k02 k 2p , 0xxea02(2.2.29)22hx  k y kx2  kxeikx2  kxea,(2.2.30)1  2 2hy  k x  k x2  k02 2  k x2  k 2p  k02  k y2 k x2  k xea khz  k x k y 0 k p2 ,,(2.2.31)(2.2.32)где2k xo k022k xei k021  221  222k xea k02 .76 k y2 , k 2p  k y2 ,(2.2.33)Как мы видим из (2.2.33), волновые вектора k xo и k xei являются мнимыми, т.е.«обыкновенная» (o) и «необыкновенная изотропная» (ei) волны не распространяются от осидвижения заряда, в отличие от k xea . Волновое поле представлено только «необыкновеннойанизотропной» волной (ea).Проведём интегрирование по k x согласно лемме Жордана, учитывая при этом, что полюсаk xo , k xei , k xea расположены выше вещественной оси, а полюса k xo , k xei , k xea ,соответственно, ниже.

В итоге получаем:Ex 2sgn x2 1 22 d ,dkkexpxkkkikyiky00pyy0c 21ik Ey k y dk y  d    k0   e 0cik y y 2 1  222   k xeikke k0yp2k02 2  k y2  k 2p k xei1ik Ez   dk y  d   k0   e 0cik y y 1  2 kk0  k02 2  k y2  k 2p  e xei 22222 k0   k y  k p k xei2 k x k0 e xo222 k0   k y k xoxikxk0 k 2p e xeak02 2  k y2 k02 2  k y2 k 2p,(2.2.35)k xk0 k y2e xo 222kkk0yxoxikxk02 k 2p e xea2 k02 2  k y2 k02 2k k y2  k 2p,(2.2.36)xxoik0  ik y y e1Hx kdkdke,y y0c k xo(2.2.37) k 2e k xo xik0  ik y y1 yH y  sgn x  dk y  d    k0   e222ckk 0ykxk02e xei2 k02 2  k y2  k 2pHz ikxk022p e xea2 k02 2  k y2 k02 2 k y2  k 2p,k xik0  ik y y1 k e xosgn x  k y dk y  d   k0   e 0222ckk 0yk0 ek02(2.2.34) k xei x2  k y2  k 2p ikxk0 k 2p e xeak02 2  k y2 k02 2  k y277 k 2p.(2.2.38)(2.2.39)Необходимо отметить, что несмотря на то, что компоненты полного поля Ex (2.2.34),H y (2.2.38) и H z (2.2.39) содержат множитель sgn x , разрыв поля в них отсутствует везде,кроме точки расположения заряда.

Это утверждение нетрудно подтвердить, рассмотревзначения выражений в пределе x  0 . Так, компонента H z  0 при x  0 , а интегралы в двухдругих компонентах берутся полностью:Ex x0  2 sgn  x    y      ,Hyx0(2.2.40) 2 sgn  x    y      .Как видно из (2.2.40), компоненты Ex и H y содержат разрывы только на заряде.2.2.2. Квазистатическая часть поляДля удобства, обозначим слагаемые компонент поля индексами соответствующих им типовволн: E   Eo  Eei  Eea (2.2.41) .HHHH   oeiea «Обыкновенная» и «необыкновенная изотропная» волны имеют экспоненциальноубывающие вдоль проводов подынтегральные выражения. Поэтому они не представляютинтереса с точки зрения процесса излучения. Чтобы убедится в этом, можно получить точныевыражения для компонент Ex (содержит только «необыкновенную изотропную волну») и H x(содержит только «обыкновенную» волну).Сначала перейдём к полубесконечным пределам по обоим переменным интегрирования(за счёт чётности или нечётности подынтегральных выражений) и возьмём интегралы (2.2.34) и(2.2.37) по k y , которые являются табличным [127]:Ex  Exei4 xc H x  H xo d   k0   cos  k0   k0204 1   yc201  221  2 k 2p K1   k02 2  k 2p1  2d  k0  k0   cos  k0    K1   k02 2,,(2.2.42)где   x2  y 2 , а K  z  — модифицированная функция Бесселя второго рода.Оставшиеся интегралы (2.2.42) по  также являются табличными, если источникомявляется точечный заряд (1.2.40), то есть   q  2 [138]:Ex  Exei  qx1  2 3 2kp222K 3 2 k p1  2,  2  2 1  2 1  2  H x  H xo   qy.32 2  2 1  2  7834(2.2.43)(2.2.44)Как мы видим, H x убывает обратно пропорционально кубу некоторой величины, связанной срасстоянием до заряда.

Характеристики

Список файлов диссертации