Диссертация (1149874), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

  0,Re  ...   0.sgn( ...)  sgn(), если ImIm( ...)  0,если(2.3.6)Как видим, при таком определении выражения (2.3.5) со знаком «+» удовлетворяют условиюположительности мнимой части на всей вещественной оси частот, то есть такие волныраспространяются в сторону увеличения x . Аналогичное рассуждение можно провести дляобыкновенных волн в анизотропном материале, если учесть потери в «фоновой» среде.94Итак, при построении разложения по плоским волнам для проходящего поля мы должныиспользовать уходящие от границы волны, которые обладают следующими проекциямиволновых векторов на ось x :k xo  k02  k y2  k z2 ,k xei  k02  k 2p  k y2  k z2 ,k xea  k0   c ,(2.3.7)где оба радикала определены правилом (2.3.6).

Аналогично, в вакуумной области дляотражённых (т.е. распространяющихся в сторону уменьшения x ) плоских волн обеихполяризаций имеемk x  k xo   k02  k y2  k z2 .(2.3.8)Для удобства введём вектор F с шестью элементами, составленный из компонентэлектрического и магнитного полей:F  Ex ; E y ; Ez ; H x ; H y ; H z .(2.3.9)Индекс  будет обозначать различные типы волн.Для падающего поля (то есть поля заряда в неограниченном вакууме) из уравненийМаксвелла легко получить следующее выражение:f d   k0   dk y  dk z kixo   kz  k0  exp i x  a0 k xo  ik y y  ik z z  it ,Fi где(2.3.10)2fi  sgn  x  a0  k xo k z ; k y k z ;  k xo k y2 ; k0k y ; k0 sgn  x  a0  k xo ; 0 ,(2.3.11)а  , как и прежде (1.2.8) — Фурье образ профиля пучка.Отражённое поле представляет собой совокупность волн двух поляризаций:Fv  d   dk y  dkz  ftm Vtm  fte Vte   exp ikxo x  ik y y  ik z z  it ,где(2.3.12)fte  0;k z k xo  ,2ftm  k02  k xo; k y k xo ; k z k xo ; 0; k0 k z ; k0 k y , k0 k z ; k0 k y ;k022 k xo;k y k xo ;k xo  k02  k y2  k z2 .(2.3.13)(2.3.14)причём sgn k xo  sgn  для вещественного k xo и Im k xo  0 для мнимого k xo .Уходящие от границы волны в метаматериале имеют следующую структуру [136].Обыкновенная волна:Fo  d   dk y  dk z fo  M o  exp ik xo x  ik y y  ik z z  it ,2fo  0; k0 k z ; k0 k y ; k02  k xo; k y k xo ; k z k xo ,где k xo задаётся, как указано выше.Необыкновенная изотропная волна:95(2.3.15) d   dk y  dk z fei  M ei  exp ik xei x  ik y y  ik z z  it ,Fei (2.3.16)2fei  k02  k xei; k y k xei ; k z k xei ; 0; k0 k z ; k0 k y ,k xei  k02  k p2  k y2  k z2 ,(2.3.17)где sgn k xei  sgn  для вещественного k xei и Im k xei  0 для мнимого k xei .

Необыкновеннаяанизотропная волна:Fea d   dk yfea  0;ky; dk z fea  M ea  exp ik0 x  ik y y  ik z z  it ,kz ;k z ; k y0;(2.3.18).Таким образом, полное поле представляется в виде F  Fv ,x0F  i(2.3.19) Fo  Fei  Fea , x  0Теперь решение необходимо сшить на границе раздела. Подставляя (2.3.19) в граничныеусловия (2.3.2) и (2.3.3), получим систему уравнений на неизвестные амплитуды каждой из пятиволн:22Exi 0  k02  k xoVtm  k02  k xeiM ei ,E iy 0  k y k xoVtm  k0 k zVte  k0 k z M o  k y M ea  k xei k y M ei ,Ezi 0  k z k xoVtm  k0 k yVte  k0 k y M o  k z M ea  k xei k z M ei ,(2.3.20)H iy 0  k0 k zVtm  k y k xoVte  k y k xo M o  k z M ea  k0 k z M ei , k0 k yVtm  k z k xoVte  k z k xo M o  k y M ea  k0 k y M ei ,гдеF0i fi  k0     k z  k0   exp ia0 k xo k xo— значение двумерной пространственно-временной гармоники Фурье-разложения компонент падающего поля на границе послесокращения идентичных экспонент во всех частях системы (2.3.20).

Выпишем выражение дляExi 0 , которое понадобится в дальнейшем (учтено, что в выражениях (2.3.11) на границеsgn  x  a0   1)qk z   k z  k0   exp ia0 k02  k y2  k z2 .(2.3.21)2Решая систему (2.3.20), можно получить выражения для амплитудных множителей всехпяти волн:Exi 0 Vtm  k xo  k xei  k0  k xo   k 2pExi 0 ,2 k0  k xo   k0  k xei  k xo  k xei Vte  0,96(2.3.22)Mo M ei M ea k y2 k xok xo k02Exi 0 ,(2.3.23)2k xoExi 0 , k0  k xei  k0  k xo  k xo  k xei 2k xo k0  k xei  k xo  k0  k xo 2 k0  k xo  k0  k xei Exi 0 .(2.3.24)Как видим, входящая в (2.3.21) дельта функция войдёт и во все выражения для компонентотражённого и проходящего полей.

Это позволяет провести интегрирование по k z и записатьформулы для каждой из частей полного поля в виде двукратных интегралов:Fv  d    ftm Vtm k kFo Fei d   fo  M o(2.3.27)(2.3.28) exp ixk xo  ik y y  i k0  dk y ,k z  k0  d    fea  M ea 0k z  k0  d    fei  M ei Fea z exp ixk xo  ik y y  i k0  dk y , exp ixk xei  ik y y  i k0  dk y ,k z  k0  exp ik0 x  ik y y  i k0  dk y ,(2.3.25)(2.3.26)где прежние обозначения для x-проекций волновых векторов применяются с учётом того, чтоk z  k0  :k xo  k02k xei  k021  22(2.3.29)1  k y2 ,22 k 2p  k y2 ,причём радикалы определяются согласно (2.3.6). Как видим, в нашей задаче они могут бытьтолько мнимыми на всей вещественной оси частот, так что они однозначно определяютсятребованием Im k xei, xo  0 .Итак, проекции волновых векторов обыкновенной ( k xo ) и «необыкновенной изотропной»( k xei ) волн в среде, а также обеих волн в вакууме, являются чисто мнимыми.

Следовательно,волна в вакууме (2.3.25), обыкновенная (2.3.26) и изотропная необыкновенная (2.3.27) волны вметаматериале имеют экспоненциально убывающий вдоль оси x множитель вподынтегральных выражениях. Нас интересует, прежде всего, объёмное излучение вметаматериале, которое представлено только анизотропной необыкновенной волной. Поэтомудалее основное внимание будет уделяться именно этой волне.972.3.2. Анализ волнового поляРассмотрим «необыкновенную анизотропную» волну, которая представляет собой волновоеполе (две другие составляющие являются квазикулоновскими).

Воспользуемся (2.3.28), (2.3.24)и (2.3.18), запишем её компоненты в следующем виде:ik0  x  ik y y2 k xo k y k0  k0   k xei  k xo  e1  22 a0 k02E yea  expky d dk y , (2.3.30)22c k0  k xo   k0  k xo  k0  k xei ik  x  ik y yk k 2  k0   k xei  k xo  e 021  22 a0 k02Ezea  2  xo 0expky d dk y , (2.3.31)22ckkkkkk 0 xo   0 xo  0 xei гдеk xo  k02k xei  k021  22(2.3.32)1  k y2 ,22 k 2p  k y2 ,причём радикалы k xei , xo фиксированы правилом Im k xei, xo  0 .Отметим некоторые особенности поля в случае точечного заряда. Из выражений (2.3.30) и(2.3.31) видно, что «необыкновенная анизотропная» волна не меняется при перемещении точкинаблюдения вдоль линии    x   y  0 , как это было и в предыдущем разделе.

Основноеотличие заключается в том, что в предыдущем разделе начало «лучей», вдоль которыхконцентрировалось излучение, совпадало с точкой расположения заряда (   x  y  0 ). Вданном же случае, начало «луча» лежит в точке, совпадающей с проекцией расположениязаряда на границу раздела между вакуумом и диэлектриком (точка, связанная с положениемпучка имеет координаты   y  0 , x  a0 ).

При этом компоненты поля убывают с ростомрасстояния a0 от траектории пучка до границы (Рис. 1.12).Рис. 2.12. Линия, около которой концентрируется излучение при движенииточечного заряда вдоль границы (показана оранжевым пунктиром).На Рис. 2.13 представлено распределение волнового поля точечного заряда (1.2.40),движущегося вдоль границы проволочного метаматериала для различных значений скоростидвижения заряда. Из Рис. 2.13 видно, что при фиксированном расстоянии от заряда до границы,поле «сжимается» вдоль оси z с увеличением скорости заряда. Такое поведение можно98объяснить тем, что «собственное» поле заряда (т.е. поле в неограниченном вакууме) врассматриваемой «лабораторной» системе отсчёта, с увеличением скорости всё болееконцентрируется около плоскости   0 . Таким образом, область «воздействия» падающегополя на границу также сжимается.

Данная особенность наталкивает на мысль, что пораспределению волнового поля внутри метаматериала можно судить о скорости заряда.Дальнейшее аналитическое упрощение формул для волнового поля затруднительно дажедля «прямоугольного» пучка.

Поэтому мы рассмотрим точечный заряд (1.2.40) в  1 . Тогда выражения (2.3.30) – (2.3.31) можноультрарелятивистском случаепроинтегрировать по  точно. Действительно, эти выражения можно записать в следующемвиде (для удобства сделана замена   ck0 ):E yeaq ky ky Ezea a0 k y ik y y ik0   x k y k 2p  k y2  k y eqk y k02 k0  i k yk0  i k ykk 2p k y2e ky e22kyp  ky  kyqk022 k0  i k yk0  i k yq ky k 2p k y2 ky ek  ik 2p a0 k y ik y y k y2dk0 dk y (2.3.33) eyea  k0 , k y  dk0dk y , a0 k y ik y y ik0   x   k0  i a0 k y ik y yk 2p k y2dk0 dk y  ezea  k0 , k y  dk0dk y .99(2.3.34)Рис.

2.13. Волновое поле точечного заряда, движущегося вдоль границы спроволочным метаматериалом на расстоянии a0  0.5 c  p от неё перпендикулярнопроводам. Величина напряжённости поля дана в единицах q2p c 2 , величинакомпоненты вектора Пойнтинга в q24p c3 , расстояния в c  p , скорость   0.5(первый ряд),   0.95 (второй ряд) и   1 (третий ряд).На плоскости переменной k0   c 1 по лемме Жордана контур интегрированиязамыкается в верхнюю полуплоскость при   x  0 и в нижнюю при   x  0 . Результатинтегрирования по замкнутому контуру будет представлять собой сумму вычетов в полюсахподынтегрального выражения.

Отметим, что полюс в точке   i k yвторого порядка. Вычисление соответствующего вычета даёт:100является полюсомRes e yea k0 , k y i k yd  k0  i k ydk0 2e yea k0 , k y  k0 i k y 3 k y  k 2p  k y24 k k  k2  k2py y yRes ezea k0 , k y i k yd  k0  i k ydk0 222 k y k y  k 2p  k y2 k   x y,e(2.3.35)ezea k0 , k y  k0 i k y 3 k y  k 2p  k y2 i 4 k  k2  k2ypy1 ky   x2  ky   x 2 k2y k 2p  k y2 k   x y.e(2.3.36)Учитывая также вычеты первого порядка и принимая во внимание чётность попеременной k y подынтегрального выражения (2.3.34) и нечётность (2.3.33), получаемE yea  q k y sin  k y y  e a0k ydk y 0 k 4k y k 2p  k y2y      ek y  k 2p  k y2   k 2p  2k y2  2k y k 2p  k y2  2k y k 2pk y  k 2p  k y2Ezea  qe2k 2p  k y2 k y cos  k y y  e a0 k y2(2.3.37)k e y ,d ky 04 k 2p  k y2 k       e y k y  k 2p  k y2   2ek 2p  k y23k 2p  2k y2  2k y k 2p  k y2  2k y k 2pk y  k 2p  k y22(2.3.38)k e y В данном случае    x  z  Vt  x,т.к.

Характеристики

Список файлов диссертации