Диссертация (1149874), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Также здесь учтеначётность подынтегрального выражения (2.3.52) по k y в том случае, когда y  0 .Внутренний интеграл в выражении (2.3.53) можно взять по вычетам. Полюс в точке  i является полюсом второго порядка. Определяя соответствующий вычет, получаем x p  1  p  e  2Ezv y 0  2qk p    p  d .(2.3.54)220   1Обратим внимание на то, что т.к.

   p       , то отражённая в вакуум волна существуеттолько позади заряда, если он движется со скоростью света. Также подынтегральное выражениеэкспоненциальным образом убывает с ростом  , кроме точки x  0 , p  0 , что соответствуетточке расположения заряда ( x  0 ,   0 ) в момент t при его движении непосредственно вдольграницы ( a0  0 ) (т.к. мы рассматриваем отражённое в вакуум поле, где x  0 ). Как ужеотмечалось в предыдущем параграфе 2.3.4, при движении непосредственно по границе ( a0  0 )волновое поле имеет особенность в точке расположения заряда.

Таким образом, точечный зарядв рассматриваемой модели должен терять бесконечную энергию на излучение, как и длябезграничного метаматериала. Это же заключение подтверждается и формулой (2.3.54), т.к.интеграл становится расходящимся в точке x  0 и p  0 . Естественно, данный «парадокс»может быть разрешён при учёте конечного размера пучка, как это было сделано для случаядвижения внутри метаматериала (см.

п. 2.2.5). Однако сейчас нам достаточно учесть конечноерасстояние от пучка до границы, оставляя размер пучка бесконечно малым.Выражение (2.3.54) можно привести к виду, подобному (2.3.41):Ezvy 0 2qk 2p 20  x p  2  1  2  p3    p 2  23  2 p 4    p  e   d (2.3.55)и получить точную формулу при помощи функций Неймана и Струве (см.

(2.3.43) – (2.3.44)):110Ezvy 0u4 48 p  12u  2 pu 2  u 3  8 pu 3  2u 4 2qk 2p      u5u 12 p  3u  pu  Y u   H u    24 p  6u  5 pu200где u  x  p   a0  x    k p .2 u 3  Y1  u   H1  u    ,(2.3.56)Отметим ещё раз, что при движении со скоростью света, перед зарядом поле отсутствует(собственное кулоновское поле «схлопывается» в плоскости y  0 ). При этом отражённая волнаносит поверхностный характер, т.к. при увеличении расстояния от границы ( x  0 ), онаэкспоненциально убывает.

Также величина компоненты  конечна во всех случаях, кромеслучая движения у самой границы. Такой же эффект наблюдается для волнового поля внутриметаматериала. На оси позади заряда ( x  a0 , y  0 ) отражённая волна имеет вид, показанныйна Рис. 2.20.Рис. 2.20. Поле отражённой в вакуум волны при движении заряда на расстоянииa0  c  p от границы со скоростью света. Величина напряжённости поля дана вединицах q2p c 2 , расстояние — в единицах c  p , скорость   1 , y  0 .Вернёмся к поиску потерь энергии. Кулоновская составляющая собственного поля, какбыло отмечено ранее, не даёт вклада в потери энергии. Поэтому значения компоненты Ezотражённого поля (2.3.56) на заряде достаточно для определения потерь. Однако она терпитскачкообразный разрыв при x  a0 ,   0 .

Чтобы найти работу поля над зарядом, «размажем»заряд вдоль оси  в «прямоугольный» пучок с длиной 2 . Тогда сила, действующая на элементпучка длиной d  , будет равнятьсяqd  Ez    ` d `dFz     2 2x  a0(2.3.57)y 0Найдём силу, действующую со стороны электрического поля на весь пучок, проинтегрировавпо его длине; учтём, что Ez     Ez        и устремим длину полученного пучка к нулю 0111dq  lim 20 4dz0d   Ezv    ` d `.(2.3.58)x  a0y 0Так как аргумент    ` принимает только отрицательные значения, тоd  qEzvdz01 lim 2x  a0y 0,0 0 41d   d ` 1  qEzv x  a0  lim 2 2   qEzv2y 0,0 0 4(2.3.59)2x  a0y 0,0.Таким образом, потери энергии заряда на излучение при его движении вдоль границы спроволочным метаматериалом пропорциональны выражению (2.3.56) в точке расположениязаряда ( x  a0 , u  2a0 ). В отличие от случая неограниченного метаматериала, они остаютсяконечными при стремлении длины пучка к нулю, если расстояние от заряда до границы неравно нулю.На основании полученных результатов можно дать оценку применимости постановкизадачи с постоянной скоростью движения заряда, как это было сделано в случаенеограниченного метаматериала.

Не останавливаясь на этом подробно, отметим только, чтовывод о малости потерь энергии по сравнению с запасом кинетической энергии остаётсясправедливым при прохождении пучком расстояния по крайней мере в несколько метров, аобычно и на гораздо больших дистанциях (для типичных пучков электронов или, тем более,протонов, и при плазменной частоте порядка нескольких десятков гигагерц).Обратимся к поиску отклоняющего поля (2.3.50) и (2.3.51). Также упростим этивыражения, положив   1 и рассмотрев их значения в плоскости y  0 . Выражение (2.3.51)для компоненты E yv станет нечётным по переменной k y .

СледовательноE yvy 0 0,(2.3.60)вне зависимости от значения скорости заряда. Таким образом, отклоняющая сила внаправлении, перпендикулярном движению и проводам, отсутствует. Это вполне естественно всилу симметрии задачи относительно плоскости y  0 .Перепишем выражение (2.3.50) для компоненты E xv в безразмерных переменныхинтегрирования, учитывая его чётность по переменной k y при y  0 :Exvy 0q k 2p0de x  2  1   i     i   1     2  1   i  i    i deip ,(2.3.61)2где обозначения такие же как в выражении (2.3.53).Возьмём внутренний интеграл (2.3.61) по вычетам.

При p  k p  0 контур можнозамкнуть вверх, в результате чего захватывается полюс в точке   i  2  1 , вклад которогоравен нулю, а при p  0 — вниз, так что захватывается полюс в точке   i . В результатеимеем112Exvy 04qk 2p    0 x p e    122d .(2.3.62)Выражение (2.3.62), как и (2.3.54), отлично от нуля только для отрицательных  , а на самомзаряде имеет место конечный разрыв. Заметим, что при   0 , из (2.3.54) и (2.3.62) вытекаетсоотношение:Exvy 00 2 Ezvy 0 .0Следовательно, отклоняющая сила в ультрарелятивистском случае вдвое превышаеттормозящую:Fx  qEzv x  a0 ,(2.3.63)y 0,0где Ezvy 0даётся выражением (2.3.56)Таким образом, отклоняющая сила по модулю в два раза превосходит тормозящую силу вультрарелятивистском пределе, при этом она направлена в положительном направлении оси x ,иначе говоря, к границе метаматериала.

Данный вывод физически понятен, так как заданныйзаряд индуцирует на концах проводников заряды противоположного знака, притягивающие егок границе структуры.113ВыводыВ данной главе было проведено аналитическое и численное исследование поля пучказаряженныхчастиц,движущегосяортогональнопроводамбезграничногоилиполуограниченного проволочного метаматериала.Второй раздел был посвящён случаю движения внутри бесконечного метаматериала. Былопоказано, что пучок генерирует излучение при произвольной скорости движения.

Излучениераспространяется вдоль проводов со скоростью света и носит весьма специфический характер.Оно концентрируется в окрестности определённых прямых линий, исходящих из пучка исоставляющих тупой угол с направлением его движения, и не убывает с увеличениемрасстояния от заряда вдоль этих линий (то есть является нерасходящимся). Подобный эффектсвязан с анизотропией и необычной (как частотной, так и пространственной) дисперсиейрассматриваемой среды.На основании аналитических результатов был построен алгоритм, позволяющийрассчитывать волновые поля разнообразных пучков частиц. Были приведены типичныечисленные результаты для нитевидного, дискообразного и цилиндрического пучков.

Онипоказывают, что форма распределения волнового поля в пространстве до некоторой степениотражает форму пучка.В третьем разделе были получены интегральные выражения для поля вытянутого пучказаряженных частиц, движущегося вдоль границы проволочного метаматериалаперпендикулярно проводам. Отмечено, что волновая часть поля имеет общие черты с волновымполем заряда, движущегося в безграничной среде.

Так, излучение является нерасходящимся ираспространяется вдоль проводов со скоростью света. Однако имеет место и ряд отличий. Вчастности, для точечного заряда излучение концентрируется вблизи некоторого луча,расположенного позади пучка и выходящего из его проекции на границу раздела (а не изсамого пучка, как было в случае неограниченного метаматериала). Волновое поле являетсяасимметричным по отношению к этой линии. При движении точечного заряда строго погранице (на нулевом расстоянии от неё), волновое поле очень близко к полю в случаенеограниченного метаматериала, в частности, оно имеет ту же (логарифмическую) особенностьна линии, около которой концентрируется излучение.Полученные в обеих задачах численные результаты для пространственного распределениякомпонент поля и плотности потока энергии от пучков частиц показывают, что генерируемоеизлучение может быть использовано для определения их размеров и формы.Для обеих рассмотренных задач был проведён расчёт силы радиационного торможения(то есть потерь энергии на единицу длины пути).

Было показано, что в случае движения внутринеограниченного метаматериала точечный заряд в рассмотренной модели теряет бесконечноеколичество энергии. Однако при учёте реалистичной длины пучка потери на единицу длиныпути оказываются прямо пропорциональными скорости пучка (как и в случае движения вдольпланарной проволочной структуры). Оценки показывают, что они незначительны по сравнениюс кинетической энергией типичных релятивистских пучков. В случае движения вдоль границыметаматериала потери энергии конечны даже для точечного заряда, если он движется нанекотором удалении от границы.

Характеристики

Список файлов диссертации