Диссертация (1149874), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Инымисловами, если мы перемещаем точку наблюдения по закону x  ct  const , то величины (1.4.33)не изменяются. При этом поле (1.4.33) быстро убывает с ростом расстояния от сетки z .Интересно рассмотреть некоторые частные случаи для конкретных профилей пучков.Самый тривиальный пример — это точечный заряд. Тогда функция профиля исоответствующий ей Фурье-образ имеют вид (1.2.40).

Подставляя (1.2.40) в (1.4.33) и,производя интегрирование по частоте, получаем однократные интегралы для компонент поляповерхностных волн:  sˆ cos k y sgn z  k exp k yy Ez  yqsgnxctdk y , s1kEsinkyy0y y  pnt(1.4.34)где ˆ  z    x  ct  . Более того, эти интегралы сводятся к табличным, если рассматриваемаяструктура представляетпроводимость (   0 ):собойплоскость,которая54имеетидеальнуюанизотропную2 ˆ2 Ezs    y  sgn z  q sgn  x  ct . s222Eˆˆ y  pnt   y   2 y0(1.4.35)Другим наглядным примером является «прямоугольный» пучок, функция профиля исоответствующий Фурье-образ для которого имеют вид (1.2.38).

После подстановки (1.2.38) в(1.4.33) также можно произвести интегрирование по частоте, в результате получаем выражениядля плоской волны, порождённой «прямоугольным» пучком:  s k ˆ  k ˆq cos k y y sgn z  e y   e y  Ez dk y , s2 0  sin k y y1kEyy rect(1.4.36)где ˆ   z    x  ct    . В случае, если   0 , то и (1.4.36) сводится к табличномуинтегралу: Ezs  s E y rect ˆˆsgn z  2  2  2  2  q  y  ˆ  y  ˆ   .2 yy 2 22 ˆ2ˆy   y  (1.4.37)При стремлении длины пучка к нулю   0 , выражения (1.4.36) и (1.4.37) переходят в (1.4.34)и (1.4.35), соответственно.Более сложный случай — это пучок с гауссовым заполнением.

Его профиль и Фурье-образпрофиля задаются выражениями (1.2.39). После подстановки (1.2.39) в (1.4.33), получается2 2  k0 k0  exp  sin  k0 k y zs22 2q cos k y y sgn z  k y e Ez dk y dk0 . (1.4.38) s222 0  sin k y y1kkkEyy0y0  gaus  Выражение (1.4.38) можно представить через интеграл ошибок и интегральную показательнуюфункцию, однако такое представление громоздко и ненаглядно.Далее найдём полную энергию, затраченную на излучение поверхностных волн. Проведёмрассуждения, схожие с теми, что были представлены в предыдущем разделе для расчётаэнергии объёмного излучения (1.4.16) – (1.4.23). Однако в этот раз интегрирование будемпроизводить не по поверхности сферы, а по двум плоскостям x   x0 , так как в данном случаевектор Умова-Пойнтинга имеет единственную компоненту вдоль оси x :S s  S xs e x ,   (1.4.39)22csgn  x   E ys  Ezs  .4Полная энергия поверхностных волн в таком случае, для произвольного профиля пучка, имеетвидS xs Ws 1622 dk0k0   k0  02 dk y01  k y  2kyk y2 k022 2.(1.4.40)Этот интеграл является сходящимся для любого конечного   k0   , в том числе и в случаеточечного заряда, если   0 .55Если мы рассматриваем идеальную анизотропную плоскость, когда   0 , то выражение(1.4.40) можно существенно упростить:W  8  dk0   k0   .2s(1.4.41)0В частности, для «прямоугольного» пучка (1.2.38), полная энергия поверхностных волн равнаWs q 2,(1.4.42)а для Гауссова пучка (1.2.39) получаемq 2(1.4.43). Таким образом, на поверхностные волны, генерируемые конечным неточечным пучкомчастиц, тратится конечная энергия, независимо от величины  , в том числе и при   0 .

Еслиже пучок моделируется как точечный, то при   0 энергия поверхностных волн формально неограничена (интеграл расходится). Однако если сетка неидеальна (   0 ), то энергияповерхностных волн конечна даже для точечного пучка.Ws Рис. 1.22. Поверхностная волна, возбуждаемая «прямоугольным» пучкомзаряженных частиц, движущимся сквозь проволочную структуру перпендикулярно кней. Приведено распределение поля и плотности потока энергии волны в плоскости,параллельной проводам ( z  0 ) в момент времени, для которого ct  .

Длинапучка 2  2 см, заряд q  1 ед. СГС, скорость   1 . Параметры сетки:   0 ; (a)  0 , (b)   0.148 ( a  3 мм, r0  0.1 мм). Компоненты поля и плотность потокаэнергии приведены в системе СГС.На Рис. 1.22 и Рис. 1.23 приведены распределения поля поверхностных волн,возбуждаемых различными пучками, обладающими различными скоростями, на идеальной и56неидеальной сетках. Из рисунков видно, что расстояние между экстремумами поля вдоль оси xсоответствует величине   . При этом чем меньше скорость, тем более размытой вдольнаправления проводов становится распределение поля поверхностной волны. Тем не менее,средняя величина напряжённости поля не изменяется, если отношение   сохраняется. ИзРис.

1.22 и Рис. 1.23 можно сделать вывод о том, что, зная скорость пучка, из анализаповерхностной волны можно судить о его размерах.Рис. 1.23. Поверхностная волна, возбуждаемая «прямоугольным» пучкомзаряженных частиц, движущимся сквозь проволочную структуру перпендикулярноей. Приведено распределение поля и плотности потока энергии волны в плоскостипараллельной проводам z  0 в момент времени ct  . Длина пучка 2  1 см,заряд q  1 статкулон, скорость   0.5 .

Параметры сетки:   0 ; (a)   0 , (b)  0.148 ( a  3 мм, r0  0.1 мм). Поля и плотность потока энергии приведены всистеме СГС.571.5. Излучение пучка заряженных частиц, пролетающего мимо краяполубесконечной сетки из проводовВ данном разделе мы будем рассматривать движение пучка заряженных частиц мимо краяполубесконечной сетки из параллельных проводников перпендикулярно её поверхности.

Сеткарасполагается в полуплоскости z  0 x  0 . Пучок, имеющий бесконечно малые поперечныеразмеры и произвольное продольное распределение плотности заряда, движется с постояннойскоростью V на некотором расстоянии a0 от края структуры (Рис.

1.24.). В таком случаеобъёмная плотность тока, создаваемая пучком, в декартовой системе координат имеет вид(1.5.1)jq  V   x  a0    y    z  Vt  ez ,где используются такие же обозначения, как и в выражении (1.4.1).Рис. 1.24. Движение пучка заряженных частиц с продольным распределением ( )со скоростью V мимо края сетки из параллельных проводников перпендикулярно еёповерхности.1.5.1.

Общее решениеКак и в предыдущем разделе, полное поле представим в виде падающего i и наведённогосеткой  b . Падающее поле выражается через однокомпонентный вектор Герца, аналогично свыражению (1.4.2), с поправкой на сдвиг вдоль оси a0 :izi  k0   eik0 z  dkx dk y2ik x  x  a0 ik y ye2 22 1  nv k02.(1.5.2) k x2  k y2Поле от проволочной сетки будем искать через неизвестный поверхностный ток I b (1.4.3)в плоскости y  0 , используя УГрУ (1.1.2) в «верхней» полуплоскости x  0 и тот факт, в«нижней» полуплоскости x  0 поверхностный ток отсутствует. Тогда граничные условиязаписываются в виде:582  bABI x  E xb2x  b I x  0,z 0 E xiz 0, x  0,(1.5.3)x  0,I by  0.Фурье-образ компоненты наведённого сеткой поля E xb выразим через поверхностный токтакже, как и в предыдущем разделе (см.(1.4.5)), а соответствующую компоненту Фурье-образападающего поля представим в виде однократного интеграла, который получается из (1.5.2) и(1.2.14) интегрированием по вычетам:Exi   k0   eik0 zcsgn  x  a0 ik x 0 x  a0 ik y yedk y ,(1.5.4)0.где k x0  k02nv2  k02 2  k y2 и зафиксирован правилом ImПодставляя (1.5.4) и (1.4.5) в (1.5.3), получаем парные интегральные уравнения на Фурьекомпоненту поверхностного тока I xbk x k y :  k0   k0 nv ik x 0  x a0 ik xe, x  0,  G k0 , k x , k y e x I xbk xk y dk x 2ik x x b 0,x  0,  e I xk x k y dk xгде, с использованием обозначений (1.2.18),1  2 2G k0 , k x , k y k0 nv  k x2 1  i k z 0   k0 k z 0  .kz0 (1.5.5)(1.5.6)Будем решать систему (1.5.5) при помощи метода Винера-Хопфа-Фока [128,129]Из теоремы о вычетах следует, что подынтегральное выражение правой части первогоуравнения из (1.5.5) можно представить в видеG k0 , k x , k y I xbk xk y F k0 , k yU  kx 1,2i  k x  k x0  i0  U   k x0 (1.5.7)1где F k0 , k y    k0   k0 nv  2  eik x 0a0 , а функция U   k x  — регулярная и не имеющаянулей в верхней полуплоскости Im k x  0 .Пользуясь такими же рассуждениями, как и в предыдущем параграфе (см.

(1.3.11) –(1.3.14)), можно получить выражение для плотности тока:I xbk x k y  F k0 , k y1,2i G k0 , k x0 , k y G k0 , k x , k y  k x  k x0  i 0 (1.5.8)где G — функции, регулярные и не имеющие нулей, соответственно, в верхней ( Im k x  0 ) инижней ( Im k x  0 ) полуплоскостях. При этом на вещественной оси выполняется равенствоG  GG .Как и ранее, вместо функции G рассмотрим вспомогательную функцию такую, что59 G k0 , k x , k y  i k02nv2  k x2 G k0 , k x , k y .(1.5.9)ТогдаG k0 , k x , k y  1 ik0ik02,k z 0  k02nv2  k x2(1.5.10)откуда видно, что G  1 при k x   . В таком случае мы можем воспользоваться следующимиформулами [131] для нахождения факторизацующих функций: 1  i 0 ln G k0 , w, k yG k0 , k x , k y  exp dw(1.5.11).2iwkx i 0В том случае, если потерями в проводах можно пренебречь (   0 ), выражения (1.5.11)можно преобразовать следующим образом [129]G k0 , k x , k y  lnгде 1   tdt sin   sin exp  sin t  ,1  sin 2 (1.5.12)  arcsin  k x w0  ,  arccos  i k0 w0   ,(1.5.13)w0  k02 nv2  k y2 . 0 , а для величин  и  выполняютсяЗдесь корень w0 зафиксирован правилом Imследующие условия   Re      sgn Im    sgnRe   ,0  Re   .Факторизация скобки из (1.5.9) производится тривиальным образом:k n2 20 v k x2   k0nv  k x  k0nv  k x  .(1.5.14)Здесь первый сомножитель (1.5.14) имеет единственный нуль в верхней полуплоскости, авторой — в нижней.При рассмотрении идеально анизотропно проводящей полуплоскости (   0 и   0 ),факторизация функции G производится тривиальным образом, аналогичным (1.3.24):k n  kx(1.5.15)G  k0 , k x   0 v,w0  k xС учётом результатов факторизации, выражение для Фурье-образа поверхностного тока из(1.5.8) принимает видI xbk xk y F k0 , k y211 k x  k x0  i0 k0  k x  G  k0 , k x , k y   k0  k x0  G  k0 , k x0 , k y .(1.5.16)После того как поверхностный ток найден, мы можем определить полноеэлектромагнитное поле, которое наводится сеткой из проводов, применив формулы связимежду Фурье-образом тока и вектором Герца (1.4.3)60bx  k0   nv k02cik x x ik x 0a0 ik y y ik z 0 ze dkx dk y k  k  k  i0 k  k  G  k , k , k   k  k  G  k , k , k  .z0 xx00x 0 x y0x0 0 x0 y2(1.5.17)Таким образом, с учётом интегрирования по частоте, в общем виде результатпредставляет собой сложный трёхкратный интеграл.

Характеристики

Список файлов диссертации