Автореферат (1149861), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ренормгрупповые траектории, стартуя с различныхначальных значений, выходят из области устойчивости системы, что трактуется как указание на существование в системе фазового перехода первого рода. Ренормгрупповой анализ составных операторов, проведённый воднопетлевом приближении, показывает, что температура обнаруженногофазового перехода в сверхтекучее/сверхпроводящее состояние превышаетзначение, получаемое в приближении теории среднего поля Ландау (которая к тому же предсказывает непрерывный фазовый переход при любыхзначениях N ). Произведена оценка температуры фазового перехода.
Двумерная система оказывается менее «универсальной», здесь также отсутствуют ИК-устойчивые фиксированные точки РГ потока, но лишь траектории с близкими к нулю стартовыми значениями могут покинуть областиустойчивости.3. С помощью непертурбативной ренормгруппы подтверждены качественные выводы однопетлевых расчётов, что модель критической динамики A с учётом развитых турбулентных флуктуаций, моделируемых ансамблем Крейчнана, может демонстрировать четыре скейлинговых режима, взависимости от соотношений параметра ζ и размерности d: тривиальнаягауссова точка, чистая модель A, турбулентный перенос пассивного скаляра и нетривиальный режим, где критические и турбулентные флуктуацииодинаково существенны.
Оценены значения критических показателей, ко6торые, однако, оказываются неуниверсальными, а зависят от параметра,задающего сжимаемость системы.Научная новизна. В диссертации впервые решены следующие задачи:1. Найдена АВП квантово-полевых разложений в скалярной моделиφ3 и использована в процессе борелевского суммирования;2. Исследованы АВП в матричной полевой модели.
Разработана иприменена техника борелевского суммирования для моделей с несколькимиконстантами связи. Установлено влияние числа спиновых компонент N намакроскопическое поведение фермионной системы;3. Скейлинговое поведение динамической модели с турбулентнымпереносом исследовано в рамках метода усреднённого эффективного действия.Научная и практическая значимость. Полученные в диссертациирезультаты должны стимулировать развитие непертурбативных методовприменительно к анализу скейлингового поведения нелинейных коррелированных систем, где стандартные теоретико-возмущенческие подходы либодают неполное описание, либо их применение затруднительно.
Качественные и количественные результаты могут быть использованы при построении теоретической базы экспериментальных исследований коллективоввырожденных ферми-частиц с высоким спином и различных ко́мплексныхсистем вблизи их критичности.Апробация работы. Полученные результаты обсуждались и докладывались на следующих научных конференциях и школах: Международнаястуденческая конференция “Science and Progress” (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.); 47, 48, 49-я Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния (Санкт-Петербург, Россия, 2013, 2014, 2015 г.); «XIX InternationalScientific Conference of Young Scientists and Specialists» (Дубна, Россия,2015 г.); «Small Triangle Meeting» (Медзилаборце, Словакия, 2017 г.); «The10th CHAOS 2017 International Conference» (Барселона, Испания, 2017 г.);«Mathematical Modeling and Computational Physics» (Дубна, Россия, 2017г.).Личный вклад.
Вошедшие в диссертацию результаты были получены автором лично либо при его непосредственном участии.7Публикации. Результаты диссертации опубликованы в журналах,включённых в перечень ВАК и индексируемых базами данных «Scopus»,«РИНЦ» и «Web of Sciense», в виде четырёх печатных работ [1–4].Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения,трёх глав, заключения и двух приложений.
Полный объём диссертациисоставляет 95 страниц с 8 рисунками и 5 таблицами. Список литературысодержит 65 наименований.Краткое содержание работыВо Введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научнойлитературы по изучаемой проблеме, ставятся цель и задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемойработы.Первая глава посвящена исследованию аналитических свойствквантово-полевых разложений в скалярной модели φ3 [2] в размерностиd = 6 − ε. Ренормированное действие модели задаётся функционаломg1SR (φ, g) = Zφ2(∇φ)2 + Zφ3 Zg µε/2 φ3 .23!(1)Здесь и ниже, там, где это не вызовет недоразумений, знак интегрированияпо всему пространству опускается; µ – ренормировочная масса; g – безразмерная константа связи.
Константы ренормировки в схеме MS имеютвид{Zi }Zi = 1 ++ старшие полюса по ε, i = {φ, g}(2)εи зависят явно только от заряда g и параметра ε.Метод Л. Липатова [7] основан на идее, что N -ый коэффициент разложения наблюдаемой в ряд по g может быть вычислен путём подстановкипредставления КошиIdg −SR (φ,g)1e,(3)2π i g N +1γгде γ – замкнутый контур в комплексной плоскости g вокруг нуля, под знаксоответствующего функционального интегрирования Dφ. Так, k-хвостая8функция Грина определяется функциональным усреднениемGk (x1, .
. . , xk ; g) =Z−SR (φ)Dφφ(x1 ) . . . φ(xk )eZ2Dφe−(∇φ)/2.(4)(N )(N )Тогда N -ый коэффициент Gk = Gk (x1, . . . ,xk ) разложения функции (4)по константе связи g вычисляется по формуле(N )Gk1=ZZ1Dφφ(x1 ) . . . φ(xk )2π iIdgg N +1e−SR (φ,g) .(5)γ(N )В высоких порядках N → ∞ коэффициенты Gk могут быть оценены спомощью метода перевала в представлении (5).
Перевальные конфигурации ищутся одновременно по полю φ и заряду g. Перевальными конфигурациями при d = 6 является 7-параметрическое семейство инстантонов(φ = N 1/2φ̄, g = ḡ/(N 1/2µε/2 ))2φ̄c (x) =y48,ḡc (y 2 + |x − x0|2 )2ḡc = ± i 48r2π3,15(6)содержащих зависимость от произвольных параметров x0 ∈ Rd и y ∈ R1 ,которые отражают инвариантность теории относительно трансляций и растяжений, соответственно, что порождает наличие нулевых мод. Для корректного интегрирования по нулевым модам применяется метод ФаддееваПопова.
Поправки по ε к решениям (6) несущественны в главном порядкепо 1/N . Однопетлевые контрчлены в (1) сокращают УФ расходимости диаграмм, возникающих при вычислении гессиана действия на инстантонныхрешениях.В схеме MS РГ функции – коэффициенты уравнения РГ [8] – связаны с вычетами в простом полюсе по ε констант ренормировки (2) соотношениямиεgγi = − ∂g {Zi}, β = −g+ γg .(7)22Функции γi – аномальные размерности параметра i, β – бета-функция заряда.
Из соотношений (7) получим коэффициенты разложения РГ функцийпо gN (N )N(N )γi = − {Zi }, β(N ) = − {Zg(N −1)}.(8)229(N )АВП коэффициентов Ziнаходится из условия УФ конечности ренормированных функций Грина G2R и G3R . Критический индекс Фишера ηвыражается через аномальную размерность поля η = 2 γφ |g=g∗ , где g∗ –ИК-устойчивая фиксированная точка.Конечным результатом реализации инстантонного анализа в даннойглаве является АВП ε-разложения индекса Фишераη(N ) = −0.000586(−5/18)N N 9/2N ! 1 + O N −1.(9)Проведено сравнение точно вычисленных коэффициентов разложения инТаблица 1 — Точно вычисленные коэффициенты ε-разложения индекса η [2] исоответствующие им асимптотические оценки (9).η(N )N1234точные −0.111 −0.059 0.044 −0.079асимпт.
0.0004 −0.005 0.026 −0.105декса η с их асимптотическими оценками, см. таблицу 1. Также в данной главе представлены результаты пересуммирования четырёхпетлевогоразложения индекса Фишера с помощью различных модификаций методаБореля-Лероя.Во второй главе инстантонный анализ применяется к ИКэффективной модели матричного антисимметричного комплексного поляχ ранга N . Ренормированное действие в размерности d = 4 − ε имеет видSR = Zχ2 tr χ† (−∇2 + τZτ )χ + Z1 Zχ4 µε2g1g2tr χχ† + Z2 Zχ4 µε tr χχ† χχ† . (10)44В работе [3] показано, что в данной модели при N ≥ 4 ИК-устойчивые фиксированные точки отсутствуют, по крайней мере в однопетлевом приближении, а траектории инвариантных зарядов, стартуя с различных начальныхзначений, пересекают границу области устойчивости системы ḡ2 + N ḡ1 > 0при ξ ≡ ln(τ/µ2) → −∞.
Там же было указано, что пертурбативные РГуравнения (Гелл-Манна-Лоу) можно построить в виде ε-разложений, переопределив переменные ḡi → εḡi , ξ → ξ/ε∂ξ ḡi = −ḡi +MXK=0(K)εK Bi10,ḡi |ξ=0 = gi ,(11)(K)(K)где M = число учтённых петель − 1, коэффициенты Bi= Bi (ḡ1,ḡ2 ).Непосредственный численный анализ уравнений (11) невозможен ввидурасходимости ε-разложения, поэтому для исследования физически интересных случаев ε = 1, 2 ряды (11) должны быть пересуммированы по(K)методу Бореля-Лероя, который требует знания АВП коэффициентов Bi .Последняя формируется на инстантонных решениях, имеющих вид!0 −1Cj eiαj y −1, sj (x) =χc = diag(s1σ, . . . , sN/2σ), σ =, (12)|x − x0|2 + y 21 0где Cj , αj ∈ R.
Существует m = 0, . . . , N/2−1 тривиальных решений Ci = 0,а также n = N/2, . . . , 1 ненулевых Ci2 = 12/n, причём n + m = N/2. Фазы αi не фиксируются и являются произвольными параметрами, отражающими инвариантность действия относительно глобальных калибровочныхпреобразований. Как и ранее, корректный учёт эквивалентных инстантонов, различающихся лишь значениями x0, y, αi, выполняется с помощьюметода Фаддеева-Попова. Общее число нулевых мод: N 2 − 2N + n + 5.Теперь в полной аналогии с вычислениями предыдущей главы можно(K)оценить асимптотику вычета АВП бета-функций βi(K)βi= consti K!K bn (−a)K 1 + O K −1,(13)здесь consti – несущественная для пересуммирования амплитуда, bn =(N 2 −2N +n+11)/2 и a = max|a(n)|, a(n) = 3(2ng1 +g2)/(4n).
Величина a(n)nменяется вместе с зарядами g1 , g2, поэтому наибольшее из чисел a(n) даётлидирующий вклад в АВП, а все прочие вносят лишь экспоненциально малые поправки. Итак, в исследуемой полевой модели (10) ε-разложения (11)(K)(K)носят асимптотический характер Bi ∼ βi , причём их свойства определяются как матричной структурой инстантона, так и положением зарядовна фазовой плоскости.Пересуммирование по Борелю-Лерою пятипетлевых РГ уравнений(11) с учётом АВП (13) показывает, что в случае N ≥ 4 в трёхмерноймодели отсутствуют ИК-притягивающие фиксированные точки, а ренормгрупповые траектории покидают область устойчивости системы. Для стабилизации в действие были включены старшие члены tr(χ† χ)3, [tr(χ†χ)]3,11tr(χ† χ)2 tr(χ†χ) в качестве составных операторов, учитываемых в однопетлевом приближении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
