Диссертация (1149825), страница 9
Текст из файла (страница 9)
После нахождения амплитуды первой гармоники по модифицированноc производится еще одна модификация для определения амплитуму сигналу Wды второй гармоники:c2 (k) := Wc1 (k) − z1 v1 (T, k) − z2 v2 (T, k),Wk ∈ Se2 .3. И так далее:ci+1 (k) := Wci (k) − z2i−1 v2i−1 (T, k) − z2i v2i (T, k),Wk ∈ Sei+1 , i = 2, ..., P − 1.Если все бы вычисления выполнялись точно, то скалярное произведениеci с высокочастотными пробниками v2j и v2j−1 , j > i, совпадало бы со скаWлярным произведением этих пробников на входной сигнал.
Такое совпадениеобеспечивается ортогональностью пробников.ci · vj = Wi · vj − zi (vi vj ) = Wi · vj − zi ∗ 0,Wi < j.Можно взглянуть и по-другому на предлагаемый прием. Если входной сигнал имеет вид (2.23), уже найден период основной гармоники и остается опреде-55лить только амплитуды обертонов, то, выполняя для этого скалярное произведение входного сигнала на высокочастотный пробник, мы увидим, что погрешность этого определения зависит от того, насколько близко к нулю оказываетсяскалярное произведение высокочастотного пробника и низкочастотного, умноженного на амплитуду, теоретически равное нулю. При больших амплитудахнизкочастотной гармоники могут возникать погрешности скалярного произведения, зависящие от квантования и вычислительных погрешностей, сопоставимые с амплитудами высокочастотной гармоники. Если же изъять каким-тообразом из входного сигнала низкочастотную составляющую с большой амплитудой, то можно ожидать сокращение погрешностей вычисления амплитуд высокочастотных составляющих.
Подобное явление будет наблюдаться даже и принеточных вычислениях амплитуд низкочастотных составляющих.Проиллюстрируем вышесказанное на входном сигнале, состоящем из двухгармоник.Рис.3. Исключение из сигнала низкочастотной составляющей при точном определении ее параметров.Входной сигнал, представленный на рисунке 3 зеленым цветом, являетсясуммой двух гармоник. Амплитуда низкочастотной (красный цвет) и ее периодв 10 раз больше амплитуды и периода высокочастотной.
Скалярное произведе-56ние входного сигнала и высокочастотного пробника можно представить в виде суммы двух слагаемых: скалярное произведение пробника с низкочастотнойгармоникой и скалярное произведение пробника с высокочастотной гармоникой. Вызываемые квантованием амплитуд абсолютные погрешности вычислений этих слагаемых пропорциональны амплитудам соответствующих гармоник.То есть погрешности теоретически равной нулю первой суммы десятикратнопревосходят погрешности второй суммы, что заметно ухудшает вычисляемуюамплитуду высокочастотной гармоники.
Если бы удалось точно определить параметры низкочастотной гармоники, то ее вычитание из входного сигнала оставило бы только высокочастотную гармонику (синий цвет), и определение ее амплитуды с помощью скалярного произведения этой разности с пробником имелобы десятикратно меньшую вычислительную погрешность.Конечно, в реальности параметры низкочастотной гармоники вычисляются с некоторыми погрешностями, которые можно интерпретировать как погрешности в амплитуде, фазе и частоте. Однако и в этом случае вычитаниенайденного приближения к низкочастотной гармонике улучшает вычислительную погрешность. На нижеследующем рисунке в аппроксимацию (фиолетовыйцвет) низкочастотной гармоники (красный цвет) введены следующие погрешности относительно исходной составляющей: амплитуда увеличена в 1.02 раза,πдобавлено существенное фазовое смещение .12Рис.4. Исключение из сигнала низкочастотной составляющей при погрешностях в определении ее фазы и амплитуды.57Несмотря на значительные погрешности в параметрах аппроксимации низкочастотной гармоники, ее вычитание из входного сигнала сокращает амплитуду сигнала примерно в 3.78 раза (черный цвет).
Во столько же раз уменьшаетсявклад низкочастотной гармоники в погрешность вычисления амплитуды высокочастотной составляющей.2.4.4. Стабилизация фазОписанный в предыдущем пункте Градиентный спуск “не обращает внимания”на возможность значительного изменения фаз гармоник при переходе от текущего сэмпла к последующему. При этом значение критерия qbm может менятьсянезначительно, а изменение фаз может достигать значений, соизмеримых с π, ипри этом еще быть отрицательным.
Для того, чтобы избежать этих неприятностей, целесообразно ввести добавки в критерий качества, запрещающие резкиефазовые скачки. Хороший результат показали добавки kj dj , j = 1, ..., P , кцелевой функции, основанные на разности ∆θj (m) прогнозных значений фаз кm-му шагу и вычисляемых на этом шаге∆θj (m) = θj∗ (m − 1) + uωj∗ (m − 1) − θj (m),j = 1, ..., P.Здесь величины θj∗ (m − 1) и ωj∗ (m − 1) являются значениями, соответственно,b ))величин θj (m − 1) и ωj (m − 1) после минимизации суперпозиции gm (δ , S(TTTTпо t (критерий gm задан формулой (2.25)).∆θj (m) ≤ −uωj∗ (m − 1), то dj = 2π, а если ∆θj (m) ∈()−uωj∗ (m − 1), 2π , то dj = |∆θj (m)|.
Для бо́льших значений величиныЕсли∆θj (m) в качестве dj выбирается наименьший положительный вычет от нее помодулю 2π. Нормирующий коэффициент kj выбирался прямо пропорциональновеличине j-й гармоники на m-м шаге и эмпирически подобранного постоянного√для всех m коэффициента L, то есть kj = L x2j + yj2 .582.4.5. Оптимизация периодовВыполняется итеративная оптимизация входного цифрового потока по целочисленным периодам, описанным в 2.4.1. Из целочисленности следует, что минимальный шаг оптимизации равен 1. Больший шаг ускоряет процесс оптимизации, но появляется шанс проскочить локальный минимум.
И, кроме того, посленахождения локального минимума с большим шагом приходится уточнять точку минимума с уменьшенным шагом, что усложняет программную реализацию.Итерации начинаются с момента m0 = Ξ(0)Tmax /2, то есть жертвуются первые Ξ(0)Tmax /2 сэмплы. И тогда носители из Se целиком располагаютсявнутри входного цифрового потока, что позволяет обойтись без специальногоблока в программе, который инициализирует процесс оптимизации.Оптимизация производится по двум частотным диапазонам: низкочастотном и высокочастотном. Расположение диапазонов выбирается таким образом,чтобы независимое определение основной гармоники в каждом не создавало быпри синтезе тремоляции. То есть высокочастотные обертоны низкого диапазонане попадают в высокий диапазон.
Так же, как для обертонов в пункте 2.4.3., навысокочастотную оптимизацию передается модифицированный сигнал с оптимизации по предыдущему частотному диапазону. В низкочастотном диапазонерассматривалось 15 обертонов помимо основной гармоники, в высокочастотномвыбиралась только одна основная гармоника.Для высоких частот проводится полная оптимизация, то есть вычисляются значения критерия качества на всех периодах из допустимого диапазона. Длянизких частот такой способ оказывается чрезмерно расточительным с вычислительной точки зрения, поэтому там проводится Грубая оптимизация, послекоторой может следовать один или более шагов Градиентного спуска.Грубая оптимизацияНа отрезке [Tmin , Tmax ] с целочисленными концами выбирается целочис-59ленная сетка Te, состоящая из R узлов-периодов Tei , i = 1, ..., R:Tmin =: Te1 < Te2 < ...
< TeR := Tmax ,причем существует некоторое натуральное s > 1 такое, что Tei − Tei−1 = s,i = 2, ..., R − 1. Если Tmax − Tmin кратно s, то TeR − TeR−1 = s, иначе TeR − TeR−1равно остатку от деления Tmax − Tmin на s.e v). УзелВ каждом узле Tei вычисляется критерий качества qbm (z, Tei , S,с индексом i∗ , доставляющий критерию наименьшее значение среди остальныхузлов, назовем опорным. Индекс i∗ хранится в памяти, пока не возникнет потребность в его смене еще одной Грубой оптимизацией.Опорный узел выбирается как стартовое значение текущего оптимизируемого периода T ′ , то есть T ′ := Tei∗ . При переходе к следующему сэмплустартовое значение текущего оптимизируемого периода выбирается равным оптимальному периоду, найденному на предыдущем сэмпле.После чего выполняется Оптимизация периодов: Градиентным спуском(см.
стр. 53) на моменте m вычисляется минимайзер z ∗ критерияq ′ :=e v) и минимальное значение критерия qbm (z ∗ , T ′ , S,e v).qbm (z, T ′ , S,e v).Затем вычисляется q ′′ := qbm (z, T ′ + 1, S,0. В “экзотическом” случае q ′ = q ′′ оптимальным периодом назначаетсяT ′ и соответствующие ему оптимальные значения z.I. Если q ′ > q ′′ , то происходят переприсваивания q ′ := q ′′ и T ′ := T ′ + 1и затем либо1) вычисляются значения q ′′ критерия последовательно на новых периодах T ′до тех пор, пока не будет достигнут локальный минимум: q ′ < q ′′ , либо2) обрабатывается ситуация T ′ ≥ Tei∗ + s/2.В случае 1) из оптимизации периода выводится значения оптимальныхпериода T ∗ и параметров z.
(См. 2.4.2.)В случае 2) запускается Грубая оптимизация. Если индекс нового опор-60ного узла меньше индекса текущего, то продвижение вправо прерывается, ипериод T ∗ = T ′ − 1 и найденные для него значения z выводятся как оптимальные. Если же индекс нового опорного узла не меньше индекса текущего, топроцесс оптимизации продолжается, а индекс нового опорного узла становитсятекущим.e v).
Если q ′ > q ′′ ,II. Если q ′ < q ′′ , то вычисляется q ′′ := qbm (z, T ′ − 1, S,то происходят переприсваивания q ′ := q ′′ и T ′ := T ′ − 1 и затем либо1) вычисляются значения q ′′ критерия последовательно на новых периодах T ′до тех пор, пока не будет достигнут локальный минимум: q ′ < q ′′ , либо2) обрабатывается ситуация T ′ ≤ Tei∗ − s/2.В случае 1) из оптимизации периода выводится значения оптимальныхпериода T ∗ и параметров z.
(См. 2.4.2.)В случае 2) запускается Грубая оптимизация. Если индекс нового опорного узла больше индекса текущего, то продвижение влево прерывается, и периодT ∗ = T ′ +1 и найденные для него значения z выводятся как оптимальные. Еслиже индекс нового опорного узла не больше индекса текущего, то процесс оптимизации продолжается, а индекс нового опорного узла становится текущим.Общая схема низкочастотного анализаВ момент m0 производится Грубая оптимизация. 2) Полученная информация используется для оптимизации в момент m = m0 + 1, в который производится Градиентный спуск с возможным подключением Грубой оптимизации.На ее выходе оптимальный период основной гармоники и оптимальные амплитуды основной гармоники ее обертонов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
