Диссертация (1149825), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ТогдаK−1∑k=−Kfb 2 (z, k, T, v)) =K−1∑z G (k)G(k)z = zTTk=−Kk=−KРассмотрим матрицу квадратичной формыK−1∑k=−KT( K−1∑G (k)G(k) =T)G (k)G(k) z.T40v02 (T, k)v1 (T, k)v0 (T, k)K−1∑ v0 (T, k)v1 (T, k)v12 (T, k)=......k=−K v0 (T, k)v (T, k) v1 (T, k)v (T, k)v · v v · v ··· v 0 0 1 0 v0 · v1 v1 · v1 · · · v=.........v0 · v v1 · v · · · v2P2P· · · v (T, k)v0 (T, k)· · · v (T, k)v1 (T, k) =......2···v (T, k)· v0· v1 ....·v2P2P2P2P2P2P2P2P2PСогласно лемме 2.2 получаемK−1∑G (k)G(k) = diag(2K, K, ..., K) =: D.Tk=−KОтсюда следует положительная определенность матрицы D, следовательно, имеет место строгая выпуклость квадратичной формы z Dz, что даетTсуществование единственного минимума квадратичной функции qbm .2Теорема 2.2.
Условий теоремы 2.1 достаточно, чтобы решение системыb v) = 0gradz qbm (z, T, S,(2.20)было минимайзером критерия qbm .Д е й с т в и т е л ь н о. Строгой выпуклости функции достаточно для того, чтобыточка, обращающая ее градиент в ноль, была бы ее глобальным минимайзером.2Проведем исследование сигнала видаW (m) = a0 +P∑(2.21)ai cos(Ωi m) + bi sin(Ωi m).i=1С этой целью выразим скомпонованные в переменные z (см.
(2.7)) переменныеx, y функции fe в (2.3) через переменные δ = (δ0 , ρ1 , θ1 , ..., ρ , θ ) преобразоваPP41нием T :z = T (δ) ⇐⇒z2i−1 = xi = ρi cos θi , i = 1, P , z0 = x0 = δ0 .z = y = ρ sin θ2iii(2.22)iЭтим же преобразованием перейдем от параметров Z = (a0 , a1 , b1 , ..., a , b )PPвходного сигнала (2.21) к параметрам Υ = (Υ0 , r1 , Θ1 , ..., r , Θ ):PPa0 = Υ0 , ai = ri cos Θi , bi = ri sin Θi , i = 1, ..., P,то есть Z = T (Υ).Тогда входной сигнал (2.21), аппроксиматор (2.3) и критерий качества (2.4)станут, соответственно, такими:W (m) = Υ0 +P∑ri sin(Ωi m + Θi ),(2.23)i=1h(δ, m) = δ0 +P∑ρi sin(ωi m + θi ),(2.24)i=1K−1∑1b :=gm (δ, S)(W (m + k) − h(δ, k))2 ,K(2.25)k=−K′где Ωi = 2πi/T, ωi = 2πi/T , i = 1, ..., P, T — целочисленный период основнойгармоники входного сигнала, T ′ — целочисленный период основной гармоникиаппроксиматора.Теорема 2.3. Для того, чтобы решение δ ∗ системыb =0gradδ gm (δ, S)(2.26)было минимайзером по δ критерия gm с учетом (2.24), (2.23), (2.12), (2.10)при фиксированной фундаментальной частоте ω1 и с обертонами из (1.5),достаточно, чтобы 2K было кратно периоду основной гармоники.
При этомминимайзер z ∗ критерия qbm доставляется формулой z ∗ := T (δ ∗ ).Д о к а з а т е л ь с т в о. По построению минимумы функций gm и qm совпадают. С другой стороны, в силу теоремы 2.2 минимайзер qm совпадает с решением системы (2.20). Поэтому достаточно показать, что z ∗ := T (δ ∗ ).42По построению имеемgradδ gm (δ) = gradδ qm (T (δ)) = gradz qm (T (δ))ЗдесьDT (δ).Dδ(2.27)DT (δ)— матрица Якоби преобразования T , имеющая блочно-диагональныйDδвидгде O = 0 0100 00 0···0 0J1O···OOJ2···O............OO···J000...00 , Ji = cos θi −ρi sin θiP, , i = 1, ..., P.0 0sin θi ρi cos θiНетрудно заметить, что система (2.27) распадается на P + 1 подсистему(∂gm∂qm(δ) =(T (δ)),∂δ0∂x0(2.28)) ()∂gm∂qm∂gm∂qm(δ)(δ) =(T (δ))(T (δ)) Ji , i = 1, ..., P.(2.29)∂ρi∂θi∂xi∂yi∂gm∂qmСвязь (2.28) показывает, что(δ) = 0 =⇒(T (δ)) = 0.∂δ0∂x0Покажем, что аналогичная импликация имеет место для прочих компонент переменных δi и zi .
Очевидно, определитель блока Ji равен ρi . Поэтому∂gm∂gmесли ρi ̸= 0, то из равенства нулю частных производных(δ),(δ)∂ρi∂θi∂qm∂qmследует равенство нулю частных производных(T (δ)),(T (δ)).∂xi∂yi∂gmВ том же случае, когда ρi = 0, производная(δ) равна нулю для∂θiлюбого θi . Д е й с т в и т е л ь н о. непосредственным дифференцированием (2.25)43по θi получаем аналитическое выражение, обращающееся в ноль при ρi = 0:K−1∑∂gm2(δ) = −(W (m + k) − h(δ, k))ρi cos(ωi k + θi )= 0.(2.30)∂θiKk=−Kρi =0Результат (2.30) совместно с одним из двух скалярных уравнений, из которыхсостоит система (2.29), имеет вид∂qm∂qm∂gm(δ) =(T (δ)) cos θi +(T (δ)) sin θi ∀θi .∂ρi∂xi∂yi∂gmπ(δ) = 0, то, положив величину θi = 0, затем, получаем∂ρi2∂qm∂qm(T (δ)) =(T (δ)) = 0.
В итоге имеем импликацию∂xi∂yiЕслиgradδ gm (δ) = 0 =⇒ gradz qm (T (δ)) = 0.Применим теорему 2.2 и используемgm (δ) = qm (T (δ))|δ=δ∗ ⇐⇒ gm (δ ∗ ) = qm (z ∗ ).2Теорема 2.4. Пусть входной сигнал имеет вид (2.23), аппроксиматор имеет вид (2.24), критерием качества аппроксимации выбрана целевая функция(2.25), взяты пробники (2.10) на носителях (2.12) и пусть при фиксированныхω, K для каждого m найден ее минимайзер δ ∗ (m).
Тогда для того, чтобы егосоставляющие δ0∗ и ρ∗i (m), i = 1, ..., P , не зависели от m, достаточно, чтобыпериоды основных гармоник входного сигнала и аппроксиматора совпадали:T = T ′ и 2K — ширина окна — была кратна периоду основной гармоники.Причем фазовые компоненты минимайзера имеют зависимость от m видаθi∗ = Ωi m + Θi , i = 1, ..., P .Д о к а з а т е л ь с т в о. При фиксированном T ′ критерий качества представляет из себя квадратичную положительно полуопределенную функцию переменной δ, достигаемый в некотором минимайзере δ ∗ .
Согласно теореме 2.3, этотминимайзер есть решение системы (2.26). Исследуем уравнения в ней по отдельности.K−12 ∑∂gm=−(W (m + k) − h(δ, k)) =∂δ0Kk=−K44=−2K(K−1∑Υ0 − δ0 +P∑)(ri sin(Ωi (m + k) + Θi ) − ρi sin(ωi k + θi ))=i=1k=−K(PK−1∑∑2= −4(Υ0 − δ0 ) −ri cos(Ωi m + Θi )sin(Ωi k)+K i=1k=−K)(K−1PK−1∑∑2 ∑+ sin(Ωi m + Θi )ρi cos(ωi m + θi )cos(Ωi k) +sin(ωi k)+K i=1k=−Kk=−K)K−1∑+ sin(ωi n + θi )cos(ωi k) = −4(Υ0 − δ0 ).(2.31)k=−KВ цепи (2.31) в последнем переходе использовалась лемма 2.1.∂gmТаким образом, для обнулениянеобходимо и достаточно, чтобы∂δ0δ0 = Υ0 .
Следовательно, в любом минимайзере δ ∗ должно быть δ0∗ = Υ0 , тоесть компонента минимайзера с индексом 0 не зависит от m.Рассмотрим в системе (2.26) уравнения с нечетными индексами (то естьсоответствующие производным по амплитудам гармоник):K−1∂gm2 ∑=−(W (m + k) − h(δ, k)) sin(ωj k + θj ) =∂ρjKk=−KP K−1()2 ∑ ∑=−sin(ωj k + θj ) ri sin(Ωi (m + k) + Θi ) − ρi sin(ωi k + θi ) −K i=1k=−KK−1∑2P− (Υ0 − δ0 )sin(ωj k + θj ) =Kk=−KK−1P2 ∑ ∑л.2.1sin(Ωi (m + k) + Θi ) sin(ωj k + θj )+= −riK i=1k=−KK−1P2 ∑ ∑sin(ωi k + θi ) sin(ωj k + θj ) =+ρiK i=1k=−KK−1P)1 ∑ ∑(=−cos((Ωi −ωj )k+Ωi m+Θi −θj )−cos((Ωi +ωj )k+Ωi m+Θi +θj ) +riK i=1k=−KK−1P)1 ∑ ∑(+cos((ωi − ωj )k + θi − θj ) − cos((ωi + ωj )k + θi + θj ) =ρiK i=1k=−K45л.2.1= 2(ρj − rj cos(Ωj m + Θj − θj )).(2.32)В цепи (2.32) в последнем переходе помимо леммы 2.1 использовалось)(cos (ωi − ωj )k + θi − θj i=j = 1 ∀k.А также использовалось условие теоремы T = T ′ , что немедленно влечетΩ1 = ω1 и Ωi = ωi , i = 2, ..., P.(2.33)ПоэтомуPK−1∑∑()1ricos (Ωi − ωj )k + Ωi m + Θi − θj K i=1k=−K= 2rj cos(Ωj m + Θj − θj ).i=jИтак, для выполнения уравнений с нечетными индексами системы (2.26)необходимо и достаточно связи ρj = rj cos(Ωj m + Θj − θj ), j = 1, ..., P .
Приθj = Ωj m + Θj , j = 1, ..., P эта связь упрощается до ρj = rj . То есть пропадаетзависимость амплитуд от m.Поэтому для завершения доказательства теоремы остается проверить выполнение уравнений системы (2.26) с четными положительными индексами дляθj = θj∗ , j = 1, ..., P .K−1∂gm2 ∑=−(W (m + k) − h(δ, k))ρj cos(ωj k + θj ) =∂θjKk=−KP K−1()2ρj ∑ ∑=−cos(ωj k + θj ) ri sin(Ωi (m + k) + Θi ) − ρi sin(ωi k + θi ) −K i=1k=−KK−1∑2P ρj(Υ0 − δ0 )cos(ωj k + θj ) =−Kk=−KK−1Pл.2.1 2ρj ∑ ∑sin(Ωi (m + k) + Θi ) cos(ωj k + θj )+= −riK i=1k=−KK−1P2ρj ∑ ∑+sin(ωi k + θi ) cos(ωj k + θj ) =ρiK i=1k=−KK−1P)ρj ∑ ∑ (=−sin((Ωi −ωj )k+Ωi m+Θi −θj )+sin((Ωi +ωj )k+Ωi m+Θi +θj ) +riK i=1k=−K46PK−1)ρj ∑ ∑ (+ρisin((ωi − ωj )k + θi − θj ) + sin((ωi + ωj )k + θi + θj ) =K i=1k=−KK−1л.2.1 rj ρj ∑= −sin(Ωj m + Θj − θj ) = −2rj ρj sin(Ωj m + Θj − θj ).K(2.34)k=−KВ цепи (2.34) в предпоследнем переходе помимо леммы 2.1 использовалось(2.33) иsin((ωi − ωj )k + θi − θj )|i=j = 0.K−1∑sin((Ωi ± ωj )k + Ωi m + Θi ± θj )(2.35)(2.33) ∧ i̸=j ∧=л.2.1(2.36)0,k=−KK−1∑sin((ωi ± ωj )k + θi ± θj )(2.35) ∧=л.2.10.k=−KОтметим, что для “+” формула (2.36) верна и при i = j.
Остается левая часть формулы (2.36) для “−” при i = j. Учет соотношений (2.33) даетпредпоследний член (2.34).Из (2.34) видно, что θj = θj∗ , j = 1, ..., P , обеспечивает выполнениеуравнений с четными положительными индексами системы (2.26) независимоот выбора ρj , j = 1, ..., P .Итак, компоненты минимайзера критерия качества gm имеют вид∗∗δ0∗ = Υ0 , δ2j−1= ρ∗j = rj , δ2j= θj∗ = Ωj m + Θj , j = 1, ..., P.2§2.3. Модификация частотно-амплитудного детектораВ отличие от дискретного вейвлет-преобразования, в частотно-амплитудном детекторе не используется масштабируемость, а для обеспечения на n-м шаге ортогональности между пробниками (2.10) они выбираются кратными периодуосновной гармоники.Описанный в предыдущем параграфе частотно-амплитудный детекторопирался на несколько нестрого определенное понятие скорости изменения амплитуд гармоник (1.2).
Со скоростью изменения амплитуд тесно связана шири-47на пробника. Ясно, что чем быстрее происходит изменение скорости, тем ужедолжно быть окно просмотра, на котором замеряется некоторое усредненноезначение этой скорости. Оптимальным было быукоротить носитель пропорционально увеличению частоты.(2.37)Однако при этом во многих случаях нарушилась бы ортогональность междупробниками, что существенно бы ухудшило итеративный процесс аппроксимации. Поэтому следовало бы пойти на некий компромисс.Каковы возможности сужения окна просмотра при увеличении частотыпробника и с сохранением попарной ортогональности пробников? Их ортогональность означает, что на пересечении носителей пробники должны оставаться ортогональными. Это означает, что оно должно быть кратно их периодам,а периоды, естественно, — натуральными числами, большими единицы, в частности T ∈ N \ {1}.Если для основной гармоники ширина носителя назначается 2K = 4T , тодля постоянной составляющей есть смысл назначать величину не меньшую, чем4T , и причем располагать носитель на временной оси так, чтобы он содержалв себе носитель основной гармоники.И вообще, для прочих сужений и смещений носителей обертонов естьсмысл ограничиться такими носителями, что каждый последующий для болеевысокой частоты будет содержаться в предыдущем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
