Диссертация (1149825), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Таким образом, коптимизации предъявляются 3P + 1 дискретно заданных функцийxi (n, k), yi (n, k), ωi (n, k), x0 (n, k),i = 1, ..., P, n = 1, 2, ..., k = −n, −n + 1, ....Похожее на метод наименьших квадратов (МНК) введение критерия ка-3233чества на всем входном цифровом потоке в момент mQ(x, y, ω, m) :=N−1∑(W (n) − f (x, y, ω, m, n − m))2(2.2)n=0приводит к чрезмерно сложной в вычислительном плане задаче его минимизации по функциям x, y, ω, поэтому вместо этого глобального критерия Qпредлагается перейти к минимизации последовательности локальных критериев качества qm , m = K, ..., N − K − 1, в прямоугольных окнах ширины 2K,центрированных относительно текущего n-го сэмпла с фиксированными в этомокне фундаментальной частотой и косинусно-синусными амплитудами обертонов в аппроксиматореfe(x, y, ω, m, k) =k = −K, ..., K − 1,= x0 (m, k) +P∑(2.3)xi (m, k) cos(ωi (m, k)k) + yi (m, k) sin(ωi (m, k)k),i=1K−11 ∑qm (x, y, ω, K) :=(W (m + k) − fe(x, y, ω, m, k))2K(2.4)k=−Kгде x0 (m, k), ..., x (m, k), y1 (m, k), ..., y (m, k), ω1 (m, k), ..., ω (m, k) для задачиPPPминимизации локального критерия качества m-го шага являются функциямитолько одного аргумента k, для которых m — параметр.
После минимизации поним критерия качества qm получим минимайзер, зависящий от параметра m.Минимизация критерия качества qm соответствует нахождению ортого−→нальной проекции [16] вектора W (m) := (W (m − K), ..., W (m + K − 1)) разTмерности 2K на линейную оболочку векторов⃗vi := (vi (−K), ..., vi (K − 1)) ,Ti = 0, ..., 2P.Здесь ∀t ∈ Rv0 (t) ≡ 1, v2j−1 (t) = cos(ωj t), v2j (t) = sin(ωj t), j = 1, ..., P.(2.5)Выбор K — полуширины окна — предстоит сделать с помощью дополнительных соображений.
Поиск минимайзера для qm и ортогональной проекции34сводится к одной и той же системе линейных уравнений:−→−→−→Γ ({⃗vi }i ) z = (⃗v0 · W (m), ⃗v1 · W (m), ..., ⃗v · W (m)) ,(2.6)z = (x0 , x1 , y1 , ..., x , y )(2.7)T2PгдеTPPи Γ(V ) — матрица Грама для системы векторов V . Здесь скалярное произведение “·” в применении к столбцам высоты 2P + 1α := (α0 , ..., α ) ,T2Pзадается формулой α · β =2P∑β := (β0 , ..., β )T2Pαi βi .i=0Решение этой линейной системы существенно облегчается при назначениивеличины 2K кратной периоду основной гармоники T (m) = 2π/ω1 (m) с коэффициентом кратности κ.
Тогда в силу ортогональности векторов матрицаГрама становится диагональной, и решение системы элементарно:−→−→⃗vi · W (m) 2⃗vi · W (m)zi (m) ==, i = 0, ..., 2P.⃗vi2κT (m)(2.8)Анализ согласно критерию qm и основанный на нем синтез наталкиваютсяна затруднения, связанные с возможностью от сэмпла к сэмплу свободно менять в результирующем потоке из анализа долю гармоник. Тогда любое смещение фаз гармоник при воспроизведении приводит к резким скачкам в звуковомдавлении [29].
Для устранения этого эффекта предлагается производить передсинтезом сглаживание выходных параметров анализа.§2.2. Частотно-амплитудный детекторЕсли бы человеческая речь представляла из себя смесь гармоник с произвольными частотами, то фиксация соотношений между некоторыми частотами вида(1.5) ухудшила бы качество аппроксиматора (2.1) в смысле критериев качества(2.2) и (2.4). Однако, с одной стороны, наличие обертонов в человеческой речи35является экспериментально установленным фактом, а с другой, эти критерииотвечают более за восстановление формы сигнала, чем за частоты гармоник.То есть можно очень хорошо восстановить форму сигнала по аппрокимантам,полученным из аппроксиматора с помощью этих критериев качества, однакогармонические составляющие этого аппроксиматора не будут иметь ничего общего с фундаментальной частотой и обертонами исходного сигнала.
Поэтомужелательно модифицировать эти критерии таким образом, чтобы их применение давало бы реальную частоту и амплитуду основной гармоники и обертонови, кроме того, обеспечивало бы непрерывность фазы при переходе от одногосэмпла к другому.Задача поиска частоты основной гармоники эквивалентна задаче поискаее периода.Лемма 2.1. Пусть η — вещественное число, m, µ — целые числа, κ, T —натуральные числа, µ ̸= 0 и T > 1. Тогда() κT∑()κT∑+m−1+m−12πµk2πµkcos+η =+ η = 0.sinTTk=mk=mД о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим вначале m = 0 и выберем произвольное вещественное η ′ .()()2πµk2πµkЕсли положить e = cos+ i sinи d = cos η ′ +TT′i sin η , то исследуемые в лемме суммы есть, соответственно, вещественная иkмнимая части суммы геометрической прогрессии {de0 , ..., deκT −1 }. И, имеяeκT = cos(2πµκ) + i sin(2πµκ) = 1, получаемκT−1∑k=0e0 (eκT − 1)e0 (1 − 1)de = d=d 1= 0.e1 − 1e −1kОтсюдаκT−1∑k=0(2πµkcos+ η′T)=κT−1∑k=0(2πµksin+ η′T)= 0.Полагая η ′ = η, получаем утверждение теоремы для m = 0.(2.9)36Рассмотрим общий случай:() κT()κT∑+m−1−1∑2πµk2πµk2πµmcos+η =cos+η+.TTTk=mk=02πµm, получаем левую часть цепи (2.9), правая частьTкоторой есть 0, и завершение доказательства общего случая для косинуса.Полагая η ′ = η +Аналогично для синуса.2Поскольку никаких уточнений о скорости изменения фундаментальной частоты и изменений амплитуд косинусных и синусных составляющих обертоновне сделано, аппроксиматор (2.1) фактически является произвольной дискретной функцией, и поэтому он неконструктивен.
Больше информации о входномсигнале на ограниченном промежутке [−K, K − 1] даст работа с уже рассмотренным упрощением аппроксиматора (2.3), в котором вместо дискретныхфункций подлежат определению независимые от k фундаментальная частота иамплитуды: ω1 (m, k) = const(k), xi (m, k) = const(k), yi (m, k) = const(k).Учтем условие (1.5) и дискретное время для функции (2.5):2π. Назовем пробниками (частоты ω) ниωжеследующие функции с конечными носителями Sj ⊂ Z (Z — кольцо целыхОпределение 2.1. Пусть T =чисел):v2j−1v0 (T, k) ≡ 1,(T, k) = cos(jωk) v2j (T, k) = sin(jωk) vj (T, k) = 0,k ∈ S0k ∈ Sj , j = 1, ..., Pk∈/ Sj , j = 0, ..., P при этом целые числа в Sj расположены без пропусков, то есть(k ′ , k ′′ ∈ Sj ∧ k ′ ≤ k ≤ k ′′ ) =⇒ k ∈ Sj .Из пробников (2.10) составим вектор пробниковv = (v0 , v1 , ..., v2P ) .T(2.10)37Согласно определению, одной частоте, отличной от нуля, соответствуютдва пробника.Между пробниками и вейвлетами имеются существенные отличия.
Самоезаметное — для одной частоты берется пара пробников, несмотря на то, чтопреобразование применяется к вещественному сигналу. Кроме того, дальнейшиеих носители будут выбираться такими, что масштабируемость в общем случаене сохранится. То есть не существует линейной функции ℓi,j (t) такой, чтоvi (T, t) = vj (T, ℓi,j (t)),∀t ∈ R, 0 ≤ i < j ≤ 2P.(2.11)Самый простой способ задания носителей пробников — этоSj (T ) = {−K(T ), ..., K(T ) − 1},j = 0, ..., P,K(T ) = const .(2.12)Введем обозначениеSb := (S0 , ..., SP ).(2.13)Определение 2.2. Зададим скалярное произведение на пространстве FZ вещественных функций, заданных на множестве целых чисел, следующим образом:v·w =∞∑v(k)w(k) ∀v, w ∈ FZ .(2.14)k=−∞2π,ω1то пробники из определения 2.1 с носителями (2.12) взаимно ортогональныЛемма 2.2.
Если K(T ) := KT кратно периоду основной гармоники T =и их скалярные квадраты таковы:v0 · v0 = 2KT ,vi · vi = KT ,i = 1, ..., 2P.Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с известными тригонометрическимитождествами и (1.5)v2i−1 (T, k)v2j−1 (T, k) = cos iω1 k cos jω1 k =cos(i − j)ω1 k + cos(i + j)ω1 k=2()()12π(i − j)k12π(i + j)k= cos+ cos,2T2T(2.15)38v2i (T, k)v2j−1 (T, k) = sin iω1 k cos jω1 k =sin(i − j)ω1 k + sin(i + j)ω1 k=2()()12π(i − j)k12π(i + j)k= sin+ sin,2T2Tv2i (T, k)v2j (T, k) = sin iω1 k sin jω1 k =(2.16)cos(i − j)ω1 k − cos(i + j)ω1 k=2()()12π(i − j)k12π(i + j)k= cos− cos,2T2T(2.17)В формулах (2.15, 2.16, 2.17) индексы i, j независимо пробегают значенияот 1 до P .Просуммируем формулу (2.15) по k от −KT до KT − 1.
Поскольку всеэлементы носителя тем самым будут задействованы, то в левой части получим,согласно формуле (2.14), скалярные произведения пробников: v2i−1 · v2j−1 . Вправой же части в силу леммы 2.1 будет 0, если i ̸= j, и KT , если i = j.Действительно, косинусы в (2.15) соответствуют косинусам в лемме 2.1,если полагать µ = i ± j, а 2KT /T = κ.Аналогичные рассуждения приводят к взаимной ортогональности v2i v2j−1и v2i v2j .Кроме того,v0 · v2j =KT −1∑k=−KTsin(jω1 k),v0 · v2j−1 =KT −1∑cos(jω1 k),j = 1, ..., P,k=−KTчто в силу леммы 2.1 дает ортогональность v0 всем v1 , ..., v2P .Значения скалярных квадратов пробников vj , j = 1, ..., 2P , определяютсяиз формул (2.15, 2.17), а v0 · v0 = 2KT очевидно.2Если все носители пробников одинаковые и выбраны согласно (2.12), то39упрощение аппроксиматора (2.3) принимает видfb(z, k, T, v) =2P∑zi vi (T, k) = z · v(T, k), k ∈ {−K(T ), ..., K(T ) − 1},(2.18)i=0где zi берется из (2.7).
А локальный критерий качества (2.4) —b v) := 1qbm (z, T, S,K(T )∑K(T )−1(W (m + k) − fb 2 (z, k, T, v)),(2.19)k=−K(T )где Sb из (2.13).Теорема 2.1. Для того, чтобы критерий qbm из (2.19) с учетом (2.18), (2.12),(2.10) при фиксированном целочисленном периоде T основной гармоники и собертонами из (1.5) был строго выпуклым для всех m и имел единственныйминимум по z (см. (2.7)) независимо от входного сигнала W , достаточно,чтобы 2K(T ) было кратно T .Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку критерий qbm имеет видK−1∑1b(W 2 (m + k) − 2W (m + k)fb(z, k, T, v) + fb 2 (z, k, T, v)),qbm (z, T, S, v) :=Kk=−Kдля единственности минимума по z требуется строгая выпуклость по z суммыиз 2K квадратичных форм fb 2 .Для компактности записи не будем указывать зависимость от m величинx0 , ..., x , y1 , ..., y , ω1 , ..., ω .PPPПредставим сперва fb в матричном виде:fb(z, k, T, v) = G(k)z,где G(k) = (v0 (T, k), v1 (T, k), v2 (T, k), ..., v (T, k), v (T, k)) и z определено в2P-12P(2.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
