Диссертация (1149825), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Если упомянутые отрезки не параллельны, то параллелограммзвена, очевидно, существует. Поскольку у параллелограмма звена нет вертикальных сторон, он всегда будет иметь две боковые вершины (левую и правую).Оставшиеся две вершины можно именовать как верхнюю и нижнюю. Как виднона рисунке 5, они могут быть не самыми верхней и нижней, соответственно.Рис.5.

Боковая вершина (правая) параллелограмма звена образована касательными.На рисунке 5 черными жирными линиями обозначены содержащие отрезки Xi−1 Xi+1 и Xi Xi+2 прямые, тонкими серыми — касательные к сплайну в узлах68i и i + 1, которые параллельны соответствующим отрезкам.Рассмотрим интерполяцию с точки зрения порождаемых ею шумов. Чтопроисходит на стыках звеньев интерполяции?Для ответа помимо левых разностных производных потребуются правыеsi+1,0 − si0разностные производные s+, i < N , и центральные разностi0 (u) :=u+s+i0 (u) − si−1,0 (u)+−ные производные второго порядка si0 (u) :=.2uКонечную разность первого порядка определим классическим образом:∆i0 (u) = si+1,0 − si0 (то есть правая конечная разность), а конечную разностьвторого порядка будем использовать левую:∆2i0 (u) = ∆i0 (u) − ∆i−1,0 (u) = si+1,0 − 2si0 + si−1,0 .(3.9)3.2.4.

Линейная интерполяцияПри линейной интерполяции разностные производные s+il (1) остаются равнымиsi+1,0 − si0+= s+s+i0 (u), l = 0, ..., u − 1.i0 (u). Действительно, sil (1) =uНо центральные разностные производные второго порядка на стыке звеньев интерполяции увеличиваются в u раз. Для i ≥ 1 было и стало, соответственно,s+−i0 (u)+s+i0 (u) − si−1,0 (u):=,2us+−i0 (1)++s+s+i0 (1) − si−1,u−1 (1)i0 (u) − si−1,0 (u):==.22+−Следовательно, s+−i0 (1) = usi0 (u). Отметим, что разностные производныевторого порядка в дополнительных узлах обнуляются: s+−il = 0,1,l = 1, ..., u −i = 1, ..., N − 1. Такая ситуация со вторыми разностными производнымисоответствует появлению шумов в сигнале с периодами, близкими к 4 и к 2Tcp[7].

Их отсеивание предъявляет дополнительные требования к ФВЧ и к ФНЧ.Все конечные разности первого порядка на дополнительных звеньяхуменьшаются в u раз относительно исходной конечной разности, соответствующей этим звеньям∆il (1) =∆i0 (u), l = 0, ..., u − 1,u69поэтому при линейной интерполяции новые конечные разности второго порядкав исходном узле∆2i0 (1)∆i0 (u) − ∆i−1,0 (u) ∆2i0 (u)= ∆i0 (1) − ∆i−1,u−1 (1) ==uu(3.10)тоже уменьшаются в u раз, но в дополнительных узлах они равны нулю.Из (3.9) и (3.10) можно выразить новую конечную разность второго порядка∆2i0 =si+1,0 − 2si0 + si+1,0.u(3.11)−1. АссоциОпределение 3.1.

Пусть имеется дискретный сигнал {ti , si }N0ированным сигналом к нему назовем гладкую функцию f : [t0 , tN −1 ] → R скусочно-непрерывной второй производной и f(ti ) = si , i = 0, ..., N − 1.Ясно, что, будучи дважды непрерывно дифференцируемой функцией времени, звуковая речь после оцифровки порождает такой сигнал, по отношениюк которому она будет ассоциированным сигналом.Не вдаваясь в детали работы ФВЧ и ФНЧ по входному ступенчатомусигналу, можно считать, что о ее высоком качестве будет свидетельствоватьблизость отфильтрованного сигнала к некоторому ассоциированному сигналу.Фильтры и ЦАП генерируют некоторый ассоциированный сигнал, по входному дискретному сигналу, получаемому в свою очередь посредством интерполяции. В зависимости от вида интерполяции, на выходе из ЦАП будет различный ассоциированный сигнал.

Поэтому встает вопрос о выборе интерполяции сточки зрения некоторого критерия качества.Для выбора же последнего будет полезно следующее понятие.Определение 3.2. Под уровнем гладкости будем понимать максимум величины, обратной модулю второй производной в точках ее непрерывности.Ступенчатому сигналу соответствует бесконечное множество ассоциированных аналоговых сигналов различного уровня гладкости.

На нем можно вы-70делить подмножество с наибольшим уровнем гладкости. Множество ассоциированных сигналов выходного ступенчатого сигнала может иметь меньший уровень гладкости, чем ассоциированные сигналы входного ступенчатого сигнала.Приведенные выше выкладки устанавливают предел такого снижения.Лемма 3.1. Пусть непрерывная вещественная функция g имеет кусочнонепрерывную производную на сегменте [A, B], тогда найдется точка z наэтом сегменте, такая, что g(B) − g(A) =: p1 .|g (z)| ≥ (3.12)B−A Д о к а з а т е л ь с т в о. Если g′ неограничена в точках существования на сег′менте [A, B],∫то завершение леммы очевидно.

Если же ограничена, то существу|g′ (q)| dq = F иет интеграл∫′F ≥ g q dq = |g(B) − g(A)| .(3.13)Пусть точки разрыва {Ai }n1 производной функции g удовлетворяют неравенствам A < A1 < A2 ... < An < B. Введем обозначения A0 := A и An+1 := B.Применяя последовательно на каждом интервале непрерывности производнойформулу Ньютона-Лейбница (НЛ) и затем теорему о среднем (ТС), имеем:n ∫ Ai+1n ∫ Ai+1n∑∑∑НЛТС′′F=|g (q)| dq =|g (q)| dq =(Ai+1 − Ai ) |g′ (qi )| .i=0AiAii=0i=0(3.14)Если утверждение леммы было бы ложно, то есть |g′ (t)| < p1 для всех tиз (A, B) \ {Ai }n1 , то из 3.14 и 3.13 следовало бы утверждение, противоречащееобозначению в 3.12|g(B) − g(A)| ≤ F <n∑(Ai+1 − Ai ) p1 = (B − A) p1 .2i=0Для кусочно-гладкого сигнала s в терминах конечных разностей, согласнолемме 1, справедливо утверждение(∃zi ∈ (ti0 , ti0 + u)) |s′ (zi )| ≥|∆i0 (u)|, i = 0, 1, ...u71Теорема 3.1.

Пусть вещественная гладкая функция s имеет кусочно-непрерывную вторую производную на сегменте [ti−1,0 , ti+1,0 ], тогда существует zi ∈(ti0 , ti0 + u) такое, что 2∆ (u)i0|s′′ (zi )| ≥=: p2 , i = 0, 1, ...u2Д о к а з а т е л ь с т в о. Доопределяя производную s′ в точках ti−1,0 и ti+1,0произвольными конечными значениями, распишем конечную разность второгопорядка в момент ti0 : ∫∫ ti+1,0ti0 2′′∆i0 (u) = |si+1,0 − 2si0 + si−1,0 | = −s (t) dt +s (t) dt = ti−1,0ti0∫ ∫ ti0ti0′′=[s (t + u) − s (t)] dt ≤|s′ (t + u) − s′ (t)| dt ≤ ti−1,0ti−1,0∫ ti0≤u |s′′ (z(t))| dt,ti−1,0где z(t) есть некоторый момент из интервала (t, t + u) (см.

лемму 1).Пусть теорема 3.1 неверна, то есть |s′′ (t)| < p2 для всех t из (ti−1,0 , ti+1,0 )за исключением точек разрыва второй производной. Тогда из последней цепинеравенств следует абсолютно ложное утверждение∫ ti0 2∆i0 (u) <up2 dt = u2 p2 ≡ ∆2i0 (u) .2ti−1,0С л е д с т в и е 3.1. Уровень гладкости ассоциированного сигнала в диапазоне[ti−1,0 , ti+1,0 ] не превосходит u2 / ∆2i0 (u).Теорема 3.2. Линейная интерполяция снижает в u раз в окрестностях исходных узлов уровень гладкости высшего по уровню гладкости ассоциированного сигнала.Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, в силу (3.10) конечная разность второго порядка на дополнительной сетке узлов меньше в u раз, чем ∆2i0 (u). Но,согласно теореме 3.1, восстановленный сигнал будет иметь в некоторой точке интервала [ti−1,u−1 , ti1 ] вторую производную, по модулю не меньшую, чем72 2∆ (1) /12 . И поэтому уровень гладкости не больше, чемi012|∆i0 (1)|См. следствие 3.1.(3.10)=u1 u2=.|∆2i0 (u)| u |∆2i0 (u)|23.2.5.

Оптимизация дополнительных сэмпловОт упомянутых низкочастотных шумов, появляющихся при линейной интерполяции, можно попытаться избавиться более равномерным распределением разностных производных второго порядка по дополнительным узлам. Для этихцелей здесь будут рассмотрены КЭК-сплайны дефекта 2.Поскольку они имеют непрерывную производную в каждом внутреннемузле, при получении конечных разностей второго порядка в окрестности внутреннего узла линейные части прилегающих звеньев взаимно уничтожаются, идостаточно найти отклонения этих двух звеньев от касательной к этому узлу вприлегающих к нему справа и слева дополнительных узлах.

Действительно,∆2i0 (1) = ∆i0 (1) − ∆i−1,u−1 (1) = (si1 − si0 ) − (si0 − si−1,u−1 ),si−1,u−1Ci′ (0) 1 Ci′′ (0) 2 Ci′′′ (0) 3si1 = si0 +1 +1 +1,1!2!3!C ′ (u)C ′′ (u)C ′′′ (u)= si0 + i−1 (−1)1 + i−1 (−1)2 + i−1 (−1)3 .1!2!3!Поскольку звенья сплайна S3,2 сопрягаются гладко, справедлива связь′Ci′ (0) = Ci−1(u) и∆2i0 (1)== si1 − 2si0 + si−1,u−1′′′′′(u) Ci′′′ (0) Ci−1(u) (3.6)Ci′′ (0) Ci−1++−==22666ai − 6ai−1 1(3.7)+ (2bi + 6ai−1 u + 2bi−1 ) = ai + bi + bi−1 + 3ai−1 u − ai−1 =62si+2,0 − 4si+1,0 + 6si0 − 4si−1,0 + si−2,0=+2u3−si+2,0 + 6si+1,0 − 10si0 + 6si−1,0 − si−2,0+.2u273Выразим через конечные разности второго порядка по старой сетке узловновую конечную разность в узле ti0 :∆2i0 (1) = (∆2i+1,0 (u) − 2∆2i0 (u) + ∆2i−1,0 (u))/2u3 ++(−∆2i+1,0 (u) + 2∆2i0 (u) − ∆2i−1,0 (u))/2u2 + ∆2i0 (u)/u2 .(3.15)Если бы были оценки на конечные разности четвертого порядка, то (3.15)можно было бы привести к компактному виду()∆2i0 (u)1124∆i0 (1) = ∆i0 (u)+−2u3 2u2u2с дальнейшей простой оценкой.

Если же есть лишь оценка конечных разностейвторого порядка: 2b 2,∆i0 (u) ≤ ∆(3.16)i = 1, 2, ...,то получим из (3.15))b2 (b2b2 211∆2∆∆b2 − +∆i0 (1) ≤ 2∆ u3 u2 u2 = u2 3 − u < 3 u2 .(3.17)Аналогичным образом поступаем в дополнительных узлах.∆2ik (1) = ∆ik (1) − ∆i,k−1 (1) = (si,k+1 − sik ) − (sik − si,k−1 ) == si,k+1 − 2sik + si,k−1 ,k = 1, ..., u − 1,(3.18)где siu = si+1,0 .si,k±1Ci′ (k)Ci′′ (k) 2 Ci′′′ (k)(±1) +1 +(±1)3 =⇒= sik +1!2!3!(3.7)=⇒ ∆2ik (1) = Ci′′ (k) = 6ai k + 2bi == 3ksi+2,0 − 3si+1,0 + 3si0 − si−1,0 −si+2,0 + 4si+1,0 − 5si0 + 2si−1,0+=u3u2∆2i+1,0 (u) − ∆2i0 (u) −∆2i+1,0 (u) + ∆2i0 (u) ∆2i0 (2)= 3k++.(3.19)u3u2u2Из связей (3.16), (3.18) и (3.19) следует))b 2 ( 3kb 2 ( 3(u − 1) 2 ∆∆∆ik (1) ≤− + 1 + 1 − 1 + 1 =≤ 2 u2 uuuk≥u/274)b 2 (b23∆∆= 2 2 − + 1 < 3 2 , ∀u ≥ 2.(3.20)uuuПредставления (3.17) и (3.20) позволяют установить следующий результат:Теорема 3.3. При интерполяции КЭК-сплайнами уровень гладкости восстанавливаемого сигнала снизится всюду не более, чем в 3 раза независимо отu.Теоремы 3.2 и 3.3 наглядно показывают, что интерполяция КЭК-сплайнами существенно выгоднее линейной интерполяции, поскольку предъявляетменьшие требования к фильтрам.Пример.

Характеристики

Список файлов диссертации