Диссертация (1149766), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

 ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè èññëåäóþòñÿ ïðîöåññûðàññåÿíèÿ ñïèíîðíûõ ÷àñòèö íà ìàòåðèàëüíîé ïëîñêîñòè, à òàêæå ëîêàëèçîâàííûå â åå îêðåñòíîñòè ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ.64Ôåðìèîííûé âêëàä â äåéñòâèå äåôåêòà â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Sdef (ψ̄, ψ) =16 ZXαj ψ̄(x)Γj ψ(x)δ(Φ(x))dx,j=1ãäå Γj - 16 áàçèñíûõ ìàòðèö Äèðàêà, αj - áåçðàçìåðíûå êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ.

Ïîëíîå äåéñòâèå ìîäåëè, óäîâëåòâîðÿþùåå òðåáîâàíèÿì ëîêàëüíîñòè, êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè è ïåðåíîìèðóåìîñòè, èìååò âèä1S(ψ̄, ψ, A) = − Fµν F µν + ψ̄(i∂ˆ − m + ieÂ)ψ + Sdef (A) + Sdef (ψ̄, ψ).4 ñèëó òðåáîâàíèÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè, âçàèìîäåéñòâèå ïîëåé îïèñûâàåòñÿñòàíäàðòíûì âêëàäîì ieψ̄ Âψ â äåéñòâèå ÊÝÄ. êà÷åñòâå äåôåêòà ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàòåðèàëüíóþ ïëîñêîñòü x3 = 0.  ýòîì ñëó÷àå â äèðàêîâñêîé ÷àñòè äåéñòâèÿ íàøåé ìîäåëèZS(ψ, ψ) =ψ(x)(i∂ˆ − m + Ω(x3 ))ψ(x)dx,(5.1)âçàèìîäåéñòâèå ñïèíîðíîãî ïîëÿ ñ ïëîñêîñòüþ îïèñûâàåòñÿ ìàòðèöåéΩ(x3 ) = Qδ(x3 ). Òàê êàê Ω(x3 ) è δ(x3 ) èìåþò ðàçìåðíîñòü ìàññû, òî ìàòðèöà Q áåçðàçìåðíà.  ñèëó ñèììåòðèè íàøåé ñèñòåìû, îíà äîëæíà áûòüèíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ïîäãðóïïû ãðóïïû Ïóàíêàðå,íå ìåíÿþùèõ êîîðäèíàòû x3 .

 íàèáîëåå îáùåì ñëó÷àå ìàòðèöà Q ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå:Q = q1 I + q2 γ5 + q3 γ3 + q4 γ5 γ3 ,(5.2)ãäå I - åäèíè÷íàÿ 4õ4 ìàòðèöà, à γ3 , γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 - ìàòðèöû Äèðàêà, äëÿ65êîòîðûõ ìû èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:10γ0 = 0000100 −1000γ2 = 0−i00 00 ii 00 0000 , γ1 = 00−1−10−i00 , γ3 = 0−10000 0 10 1 0,−1 0 00 0 00 1 00 0 −1.0 0 01 0 0Äâèæåíèå ñïèíîðíîé ÷àñòèöû â ïîëå äåôåêòà Ω(x3 ) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Äèðàêà(i∂ˆ − m + Ω(x3 ))ψ(x) = 0.(5.3)Îíî ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç óðàâíåíèé Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äåéñòâèÿ (5.1), êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ïðè åãî âàðèàöèîííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ïî ψ(x). Äèôôåðåíöèðîâàíèåì (5.1) ïî ψ(x) ïîëó÷àåòñÿ âòîðîå óðàâíåíèå(∂µ ψ(x))γ µ + ψ(x)(m − Ω(x3 )) = 0.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ψ(x) = ψ ∗ (x)γ0 , åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåγ0 Ω+ (x3 ) = Ω(x3 )γ0 . äàëüíåéøåì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ òðåõìåðíûõ ÷àñòåé âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè îáîçíà÷åíèÿìè:x = (x0 , x1 , x2 ), px = p0 x0 − p1 x1 − p2 x2 .Ôóíêöèÿ ψ(x) = ψ(x̄, x3 ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (5.3), íå ìîæåò66áûòü íåïðåðûâíîé ïðè x3 = 0 è èìåòü â ýòîé òî÷êå ñèíãóëÿðíîñòè δ îáðàçíîãî òèïà.

Ïðåäñòàâèì åå â âèäå ψ(x) = ψs (x) + ψa (x), ãäå11ψs (x) = (ψ(x̄, x3 ) + ψ(x̄, −x3 )), ψa (x) = (ψ(x̄, x3 ) − ψ(x̄, −x3 )).22Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïðåäåëû ñïðàâà è ñëåâà x3 → ±0 ó ôóíêöèè ψ(x)ñóùåñòâóþò. Òîãäà ôóíêöèÿ ψs (x) â òî÷êå x3 = 0 íåïðåðûâíà, à ïðåäåëûx3 → ±0 ôóíêöèè ψa (x) ñïðàâà è ñëåâà ðàçëè÷àþòñÿ çíàêàìè. Ïðîèíòåãðèðóåì ïî x3 â ïðåäåëàõ îò −a äî a , a > 0 óðàâíåíèå (5.3) è âû÷èñëèìçàòåì ïðåäåë a → 0.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èìaZ−iγ3 ψa (x̄) + Q limδ(x3 )ψ(x)dx3 = 0,a→0(5.4)−aψa (x̄) = lim ψ(x) − lim ψ(x) = lim ψa (x).x3 →+0x3 →−0x3 →+0Îñòàâøèéñÿ â (5.4) èíòåãðàë íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ δ -ôóíêöèè íåâû÷èñëÿåòñÿ, òàê êàê ôóíêöèÿ èìååò ðàçðûâ ïðè x3 = 0.

Ïîýòîìó çàìåíèìâ (5.4) δ -ôóíêöèþ åå ðåãóëÿðèçîâàííûì âûðàæåíèåìrδλ (x3 ) =λ − 1 λx23e 2 ,2πè âû÷èñëèì èíòåãðàë â ïðåäåëå λ → ∞. Ìû èìååìZraλ2πZa12e− 2 λx3 ψ(x)dx3 =δλ (x3 )ψ(x̄, x3 )dx3 =−a−a√r ZrZaa λ11 2λ1x23− 2 x3e− 2 λx3 ψs (x)dx3 =dx3 .=ψs x̄, √√ e2π −a2π −a λλÑëåäîâàòåëüíî,ZaZaδ(x3 )ψ(x̄, x3 )dx3 = lim−aλ→∞δλ (x3 )ψ(x̄, x3 )dx3 = ψs (x̄),−a1ψs (x̄) = (ψ(x) + ψ(−x))|x3 =0 .267 èòîãå, íàøà çàäà÷à ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïðè x3 6= 0 ïîëå ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Äèðàêà(i∂ˆ − m)ψ(x) = 0,(5.5)à ïðè x3 = 0 âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ(5.6)−iγ3 ψa (x̄) + Qψs (x̄) = 0.Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.5) ïðè x3 > 0 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå1ψ(x) =(2π)3Zeip̄x̄ ψ+ (p̄, x3 )dp̄.Òîãäà èç (5.5) ñëåäóåò, ÷òî ψ+ (p̄, x3 ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ(iγ3 ∂3 + p̄ˆ + m)ψ+ (p̄, x3 ) = 0.Eãî îáùåå ðåøåíèå èìååò âèäˆψ+ (p̄, x3 ) = U (p̄, x3 )χ+ (p̄), U (p̄, x3 ) = eiγ3 (p̄+m)x3 .(5.7)ãäå χ+ (p̄) - ïðîèçâîëüíûé ñïèíîð, çàâèñÿùèé òîëüêî îò p̄.Àíàëîãè÷íî, ïðè x3 < 01ψ(x) =(2π)3Zˆ(5.8)χ− = Sχ+ , S = (iγ3 + Q)−1 (iγ3 − Q).(5.9)eip̄x̄ ψ− (p̄, x3 )dp̄, ψ− (p̄, x3 ) = eiγ3 (p̄+m)x3 χ− (p̄).Èç (5.6), (5.7), (5.8) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå−iγ3 (χ+ − χ− ) + Q(χ+ + χ− ) = 0,èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òîÂîñïîëüçîâàâøèñü îáîçíà÷åíèÿìèκ(p̄) =pˆ1γ(p̄+m)3p̄2 − m2 , P ± (p̄) =1∓,2κ(p̄)68ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü U (p̄, x3 ) â âèäåˆU (p̄, x3 ) = eiγ3 (p̄+m)x3 = cos(κ(p̄)x3 ) + i sin(κ(p̄)x3 )γ3 (p̄ˆ + m)=κ(p̄)= eiκ(p̄)x3 P − (p̄) + e−iκ(p̄)x3 P + (p̄).Ìàòðèöû P ± (p̄) ÿâëÿþòñÿ ïðîåêòîðàìè:P ± (p̄)P ± (p̄) = P ± (p̄), P + (p̄) + P − (p̄) = 1,P + (p̄)P − (p̄) = P − (p̄)P + (p̄) = 0.Êàæäûé èç íèõ èìååò äâà ñîáñòâåííûõ äâóìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà L+ èL− , êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèé äâóõ âçàèìíîîðòîãîíàëüíûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ v1± , v2± :±± ±± ±L± (a±1 , a2 ) = a1 v1 + a2 v2 ,±± ± ±±∓ ∓ ∓P ± (p̄)L± (a±1 , a2 ) = L (a1 , a2 ), P (p̄)L (a1 , a2 ) = 0.±Çäåñü a±i , i = 1, 2 - êîìïëåêñíûå ïàðàìåòðû, à vi , i = 1, 2 - ñïèíîðû,êîòîðûå ìû âûáèðàåì â âèäå −−−−1++v1− = n−1−h,h,1,h,v=nh,h,1,h1 21 213223 , +++−1−−v1+ = n−1−h,h,1,−h,v=nh,h,1,−h1 21 23213s 2spp20 − m2p0 h−p0 h+22n1 = 2, n2 = 2, h1 =,(p1 + ip2 )(p1 + ip2 )m + p0pp2222p0 − m ± p0 − m κ(p̄) ± κ(p̄) ± p20 − m2±, h3 =.h2 =(m + p0 )(p1 − ip2 )p1 − ip2Ýòè ñïèíîðû ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè äëÿ îïåðàòîðà ñïèðàëüíîñòèσ(~p) =i(~p ~s), ~s = (γ2 γ3 , −γ1 γ3 , γ1 γ2 ).2|~p|Äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ11σ(~p)|p3 =±κ(p̄) v1± = − v1± , σ(~p)|p3 =±κ(p̄) v2± = v2±2269Ïðåäñòàâèì ñïèíîðû χ± (p) â âèäåχ± (p) = b1± (p)v1− (p) + b2± (p)v2− (p) + c1± (p)v1+ (p) + c2± (p)v2+ (p).(5.10)Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òîχ∗± (p)γ0 γ3 χ± (p) = χ± (p)γ3 χ± (p) =κ(p) 1 2(|c± | + |c2± |2 − |b1± |2 − |b2± |2 ) (5.11)p0Òàêèì îáðàçîì, åñëè p0 > 0, κ(p) > 0, òî àìïëèòóäû ci± îïèñûâàþò äâèæåíèå ÷àñòèö â íàïðàâëåíèè x3 > 0, à bi± -â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.Îñíîâûâàÿñü íà óðàâíåíèè (5.3), ìû èññëåäóåì ïðîöåññ ðàññåÿíèÿñïèíîðíûõ ÷àñòèö íà ïëîñêîñòè äåôåêòà, à òàêæå ñâîéñòâà ëîêàëèçîâàííûõ â îêðåñòíîñòè äåôåêòà ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.5.2.Ðàññåÿíèå ÷àñòèö íà ïëîñêîñòè x3 = 0Ðåøåíèå óðàâíåíèé Äèðàêà (5.3) îïèñûâàåò äâèæåíèå ñâîáîäíûõ ÷à-ñòèö ïðè x3 6= 0, åñëè κ(p̄) > 0.

Ýòî óñëîâèå âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ïîëÿ Äèðàêà ψ(x) â ñëó÷àå îäíîðîäíîãî è èçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà, è òîê,îïðåäåëÿåìûé êàêj µ (x) = ψ̄(x)γ µ ψ(x) = ψ ∗ (x)γ 0 γ µ ψ(x),óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè ∂µ j µ (x) = 0, âñëåäñòâèå ÷åãî ïîëíûé òîê I âäîëü îñè x3ZI=Zj3 (x)dx = −j 3 (x)dx,µíå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû x3 . Äëÿ íàøåé ìîäåëè îïðåäåëèì òîêè j± (x) âïîëóïðîñòðàíñòâàõ x3 > 0 è x3 < 0:∗j±µ (x) = ψ̄± (x)γ µ ψ± (x) = ψ±(x)γ 0 γ µ ψ± (x),70Ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîëíûå òîêèZI± = −j±3 (x)dxíå çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû x3 . Âûðàçèì òîêè I± ÷åðåç ââåäåííûå íàìè â(5.7, 5.8) ñïèíîðû χ± (p).

 ñëåäñòâèå, (5.11)ZZI± =κ± (p)γ3 κ(p)dp =κ(p) 1 2(|c± | + |c2± |2 − |b1± |2 − |b2± |2 )dp.p0Òàêèì îáðàçîì, åñëè p0 > 0, òî àìïëèòóäû c1± , c2± îïèñûâàþò ÷àñòèöû,äâèæóùèåñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x3 , à b1± , b2± - â îòðèöàòåëüíîì.Ðàññìîòðèì ïðîöåññ, â êîòîðîì ïåðâîíà÷àëüíûé ïîòîê ÷àñòèö Iin ñèìïóëüñîì p~ = p1 , p2 , κ(p) äâèæåòñÿ ê ïëîñêîñòè x3 = 0 èç îáëàñòè x3 < 0.Åãî õàðàêòåðèñòèêè îïðåäåëÿþòñÿ àìïëèòóäàìè c1− , c2− .  îáëàñòè x3 < 0òàêæå èìååòñÿ ïîòîê îòðàæåííûõ ÷àñòèö, çàäàííûé àìïëèòóäàìè b1− , b2− . îáëàñòè x3 > 0 èìåþòñÿ òîëüêî ÷àñòèöû, äâèæóùèåñÿ â ïîëîæèòåëüíîìíàïðàâëåíèè.

Èõ ïîòîê îïèñûâàåòñÿ àìïëèòóäàìè c1+ , c2+ . Òàêèì îáðàçîì,äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà êîýôôèöèåíòàìè îòðàæåíèÿ Kr è ïðîõîæäåíèÿ Ktr ÿâëÿþòñÿKr =|b1− |2 + |b2− |2|c1+ |2 + |c2+ |2,K=.tr|c1− |2 + |c2− |2|c1− |2 + |c2− |2Àìïëèòóäû c1− , b1− , c1+ ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòèöàì ñ îòðèöàòåëüíîé, à c2− , b2− ,c2+ - ñ ïîëîæèòåëüíîé ñïèðàëüíîñòüþ. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ c1− , c2− ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè, à b1− , b2− , c1+ , c2+ íàõîäÿòñÿ èçóðàâíåíèÿ (5.9), ñâÿçûâàþùåãî χ+ ñ χ− , è èç óðàâíåíèéb1+ = 0, b2+ = 0.(5.12)71Ïðîâåäåì àíàëèç óðàâíåíèÿ (5.9) íåîáõîäèìûé äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîéçàäà÷è.

Íåïîñðåäñòâåííî èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè(5.13)S + γ0 γ3 S = γ0 γ3 ,òî χ̄− (p̄)γ3 χ− (p̄) = χ̄+ (p̄)γ3 χ+ (p̄) è I+ = I− . Òàêèì îáðàçîì, (5.13) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïîãëîùåíèÿ è èçëó÷åíèÿ ÷àñòèö ïëîñêîñòüþ x3 = 0, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëíûé òîê I îêàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùèìîò êîîðäèíàòû x3 .Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû γ0 γ3 ðàâåí åäèíèöå, òî èç (5.13) ïîëó÷àåì, ÷òî | det S| = 1. Èç ñâîéñòâ ñèììåòðèè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìûñëåäóåò, ÷òî S èìååò âèä(5.14)S = s1 I + s2 γ5 + s3 γ3 + s4 γ5 γ3 .Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ìàòðèöû âèäà (5.14)S −1 = (s1 I − s2 γ5 − s3 γ3 − s4 γ5 γ3 )(s21 − s22 + s23 − s24 )−1 ,(5.15)det S = (s21 − s22 + s23 − s24 )2 .(5.16)Òàê êàê óñëîâèå (5.13) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå S −1 = γ0 γ3 S + γ0 γ3 , òîâñëåäñòâèå ýðìèòîâîñòè I, γ5 , γ5 γ3 , àíòèýðìèòîâîñòè γ3 è ñâîéñòâ êîììóòàöèè ýòèõ ìàòðèö ñ γ0 , γ3 , ìû èìååìS −1 = s∗1 I + s∗2 γ5 + s∗3 γ3 − s∗4 γ5 γ3 .(5.17)Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî | det S| = 1, ïðåäñòàâèì det S â âèäå det S =e2iη , ãäå 0 ≤ η < π .

Характеристики

Список файлов диссертации