Диссертация (1149766), страница 6
Текст из файла (страница 6)
 íèõ âõîäÿò ïàðàìåòðûa1 , a2 , v, k . Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðèáëèæåííûõðåøåíèé.  ÷àñòíîñòè, íå ñîñòàâëÿåò áîëüøîãî òðóäà ðàñ÷åò íèçøèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèé ïî êîíñòàíòàì âçàèìîäåéñòâèÿ a1 , a2 . Óðàâíåíèÿ(3.15) óïðîùàþòñÿ â îáëàñòè áîëüøèõ è ìàëûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà k (áîëüøèå è ìàëûå ïîïåðå÷íûå èìïóëüñû).  ñëó÷àå ìàëûõ ñêîðîñòåé v 1 ìû45èìååì ïðîöåññ â êîòîðîì áóäåò íàáëþäàòüñÿ ýôôåêò Êàçèìèðà ñ ìàëûìèïîïðàâêàìè, ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ v ∼ 1 ÿäðà Q1 , Q2 óðàâíåíèé (3.15)áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåìak 4lim D(p, q, a) =v→1p−qθ(p)−(k 2 + 4p2 )(k 2 + 4a2 π 2 p2 )θ(q)− 2,(k + 4q 2 )(k 2 + 4a2 π 2 q 2 )êîòîðîå, î÷åâèäíî, ñóùåñòâåííî ïðîùå ÷åì âûðàæåíèå äëÿ D(p, q, a) ïðèïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ ñêîðîñòè 0 < v < 1.
Âñå ýòî ïîçâîëÿåò íàäåÿòüñÿ íà èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû ïðè áîëåå äåòàëüíîì èññëåäîâàíèè ñâîéñòâðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.15) è (3.1).464. Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí âñëîèñòîé ñðåäå4.1.Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÂîñïîëüçîâàâøèñü ðàíåå ïðåäëîæåííîé ìîäåëüþ [35], â ýòîé ãëàâåðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â òðåõ ñëîÿõ, çàïîëíåííûõ âåùåñòâîì ñ ìàãíèòíûìè âîñïðèèì÷èâîñòÿìè µ1 , µ2 , µ3 è äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè ε1 , ε2 , ε3 , ðàçäåëåííûõ äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ìàòåðèàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè x3 = ±l/2, ÷üå âçàèìîäåéñòâèå ×åðíàÑàéìîíñà ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì õàðàêòåðèçóåòñÿ êîíñòàíòàìè a1 , a2 .Ìû ïîêàæåì, ÷òî ó ñèñòåì òàêîãî ðîäà Õîëëîâñêàÿ ïðîâîäèìîñòü ãðàíèöñëîåâ x3 = ±l/2 êîíå÷íà è ïðîñòî ñâÿçàíà ñ èõ ×åðí-Ñàéìîíîâñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè a1 , a2 . äàííîé ãëàâå èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ α̌, è a äëÿ òðåõ- è äâóõêîìïîíåíòíûõ ìàññèâîâ ñîîòâåòñòâåííî: α̌ = (α1 , α2 , α3 ), a = (a1 , a2 ) .
Äëÿíèõ ìû îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è ∗-îïåðàöèþ:α̌β̌ = α1 β1 + α2 β2 + α3 β3 ,α̌ ∗ β̌ = (α1 β1 , α2 β2 , α3 β3 ),ab = a1 b1 + a2 b2 ,a ∗ b = (a1 b1 , a2 b2 ).Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:θ̌l ≡ (θ(−l/2 − x3 ), θ(l/2 − |x3 |), θ(x3 − l/2)),dl ≡ (δ(x3 + l/2), δ(x3 − l/2)).47Çäåñü θ(α) - ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà, à δ(α) - äåëüòà ôóíêöèÿ Äèðàêà. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå θ̌l è β̌ = (β1 , β2 , β3 ), dl è c = (c1 , c2 ) ìîæíî çàïèñàòüñëåäóþùèì îáðàçîìF(β1 , β2 , β3 ) = F(β̌) ≡ β̌ θ̌l ,D(c1 , c2 ) = D(c) ≡ cdl .Òîãäà ïîëó÷àåì∂F(β̌) = F∂x3∂β̌∂x3+ D(s(β̌)),F(β̌)F(γ̌) = F(β̌ ∗ γ̌), F(1, 1, 1) = 1.ãäå s(β̌) ≡ (β2 − β1 , β3 − β2 ).
Äåéñòâèå ôîòîííîãî ïîëÿ Aµ âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ äâóìåðíîé ìàòåðèàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, çàäàííîé óðàâíåíèåìΦ(x) = 0, èìååò âèä1S(A) = − Gµν F µν + Sφ (A).4(4.1)Çäåñü,Gµν ≡ E(x3 )Fµνïðè µ = 0 èëè ν = 0,Gµν ≡ M−1 (x3 )Fµνïðè µ 6= 0 èëè ν 6= 0,Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ , E(x3 ) ≡ F(ε̌), M(x3 ) ≡ F(µ̌).Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ Sφ (A) îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå 2-ìåðíîãî ìàòåðèàëüíîãî îáúåêòà (äåôåêòà) ñ ôîòîííûì ïîëåì. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà äåôåêòîì ÿâëÿþòñÿ äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè x3 = li , ãäå l =(−l/2, +l/2).
Âîñïîëüçîâàâøèñü îáîçíà÷åíèåì Φj (x) = x3 − lj , ìû ìîæåìçàïèñàòü äåéñòâèå äåôåêòà â âèäåSφ (A) = S1 (A) + S2 (A),48ãäåZajSj (A) =∂µ Φj (x)Aν (x)F̃ µν (x)δ(Φj (x))dx =2 Zaj=Aν (x)F̃ 3ν (x)δ(Φj (x))dx, j = 1, 2.2Çäåñü, F̃ µν - äóàëüíûé òåíçîí ïîëÿ F̃ µν = µνλρ Fλρ , λµνρ - ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð Ëåâè-×èâèòû, 0123 = 1.Äåéñòâèå ×åðíà-Ñàéìîíñà SCS (V ) äëÿ àáåëåâîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿ Vα (α = 0, 1, 2) â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì èíâàðèàíòíîé 3-ôîðìû [45](3)SCS (V, χ)Z=χVα ∂β Vγ αβγ d3 x,ãäå αβγ - òåíçîð Ëåâè-×èâèòà (012 = 1), χ - êîíñòàíòà.
Âîñïîëüçîâàâøèñü(j)îáîçíà÷åíèÿìè Vα = Aα |x3 =lj , ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü äåéñòâèå Sj (A) ñëîåâ äåôåêòà â íàøåé 4-ìåðíîé ìîäåëè â âèäå(3)Sj (A) = −SCS (V (j) , aj ).Àáåëåâûé è íåàáåëåâûé ×åðí-Ñàéìîíîâñêèå ëàãðàíæèàíû èñïîëüçóþòñÿâî ìíîãèõ ìîäåëÿõ [46]. Èõ ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿíåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â 2-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå [47] èäëÿ ïîñòðîåíèÿ êàëèáðîâî÷íîèíâàðèàíòíîé òåîðèè 3-ìåðíûõ ìàññèâíûõêàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé [4853].
×åðí-Ñàéíìîíîâñêèå âçàèìîäåéñòâèÿ èçó÷àëèñü â ìîäåëÿõ äðîáíîãî ýôôåêòà Õîëëà [5457] è âûñîêîòåìïåðàòóðíîéñâåðõïðîâîäèìîñòè [5860]. 4-ìåðíîé êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ïîëÿ èññëåäîâàëèñü ìîäåëè ñ ×åðíÑàéìîíñêèì äåéñòâèåì(4)SCS (A, k) = kµ Aν F̃ µν ,49(4)ãäå kµ - ïîñòîÿííûé âåêòîð [61]. Ôóíêöèîíàë SCS (A, k) êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòåí, íî íàðóøàåò Ëîðåíö ñèììåòðèþ. Îí îïèñûâàåò ýôôåêò ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòè â òàê íàçûâàåìîé ðàñøèðåííîé ñòàíäàðòíîé ìîäåëè [62, 63] è èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäèôèêàöèè òåîðèèÌàêñâåëëà [61].(3)(4)Ñðàâíèâ äåéñòâèÿ Sj (V, χ), SCS (A, k) âûøå óïîìÿíóòûõ ìîäåëåé ñ÷ëåíîì ×åðíà-Ñàéìîíñà SΦ (A) in (4.1), ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî êîíñòàíòà ñâÿçè aj â Sj (A) ÿâëÿåòñÿ áåçðàçìåðíîé, à ïàðàìåòð χ è kµ èìåþò ðàçìåðíîñòüìàññû.Òàêèì îáðàçîì, â (2+1)-ìåðíîé òåîðèè Ìàêñâåëëà-×åðíà-Ñàéìîíñà,ôîòîí èìååò "òîïîëîãè÷åñêóþ"ìàññó m = χ [52,53].
Ñèëà Êàçèìèðà f ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè â 3-ìåðíîé ìîäåëè ñ ×åðí-Ñàéíìîíîâñêèì(3)äåéñòâèåì Sj (V, χ) òàêàÿ æå, êàê â òåîðèè ñâîáîäíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñìàññîé m. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, è1f =−16πl3∞y 2 dy,y −1e2mlZãäå l ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè [52, 53]. Ïðè ìàëîì ml,f ∼ −(8πl3 )−1 [ζ(3) + ml − (ml)2 ],çäåñü ζ - Ðèìàííîâà çåòà ôóíêöèÿ, à ïðè áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ (ml 1),ïîëó÷àåìf ∼ −(8πl3 )−1 [2(ml)2 + 2(ml) + 1]e−2ml .Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷àþòñÿ â Ìàêñâåëë-Ïðîêà-×åðí-Ñàéìîíñ òåîðèè [64], è ïîäîáíàÿ íåòðèâèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü Ñèëû êàçèìèðàîò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïðîâîäÿùèìè ïëàñòèíàìè íàáëþäàåòñÿ â ðàñøèðåíèè ñòàíäàðòíîé ìîäåëè [65, 66]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â504-ìåðíîé òåîðèè êâàíîâîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ×åðí-Ñàéìîíîâñêèìäåéñòâèåì äåôåêòà Sj (A), çàâèñèìîñòü Ñèëû êàçèìèðà FCas îò ðàññòîÿíèÿl ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëàñòèíàìè â âàêóóìå îïèñûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé [35]:FCas = −π2C(a1 , a2 ).240l4(4.2)Çäåñü, ôóíêöèÿ C(a1 , a2 ) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëèëîãàðèôì Li4 (z) [35].Äëÿ äâóõ îäèíàêîâûõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé (a1 = a2 = a), êîýôôèöèåíò f (a) = C(a, a) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé îò a, f (0) = f (a0 ) = 0ïðè a0 ≈ 1.03246, è lim|a|→∞ f (a) = 1 ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòîì äëÿ ñèëû Êàçèìèðà ìåæäó èäåàëüíî ïðîâîäÿùèìè ïëîñêîñòÿìè [8].
Åñëè 0 <|a| < a0 , òîãäà f (a) < 0, è ñèëà Êàçèìèðà ÿâëÿåòñÿ îòòàëêèâàþùåé. Åñëè|a| > a0 , òîãäà 0 < f (a) < 1, è ñèëà Êàçèìèðà ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé.Îíà èñ÷åçàåò ïðè a = 0, |a| = a0 .Ïðåäñòàâëåííûå ðåçóëüòàòû äåìîíñòðèðóþò ðàçëè÷èå ìåæäó ìîäåëüþ (4.1) è äðóãèìè ìîäåëÿìè ñ ×åðí-Ñàéìîíñîâñêèìè äîáàâêàìè â ïëîòíîñòü Ëàãðàíæèàíà.Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ S(A) (4.1)çàïèñûâàþòñÿ â âèäå ìîäèôèöèðîâàííûõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà,δS(A)= ∂ξ Gξν + D(a)J ν = 0.δAν(4.3)Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèå:J ν ≡ 3νσρ Fσρ ,a ≡ (a1 , a2 ).Äàëåå ìû ïîñòðîèì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (4.3), ïðîàíàëèçèðóåì åãîñâîéñòâà è ðàññìîòðèì ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ïëîñêèõ âîëí.51Äåéñòâèå (4.1) è óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà (4.3) êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå óðàâíåíèé (4.3) îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿAµ (x) → Aµ (x) + ∂µ ϕ(x).Âûáåðåì òåìïîðàëüíóþ êàëèáðîâêó A0 = 0.
 ýòîì ñëó÷àå, íàïðÿæåííîñòü~ è èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ B~ âûðàæàþòñÿ ÷åðåçýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E~ ñëåäóþùèì îáðàçîìâåêòîð-ïîòåíöèàë Aµ = (0, A)~ = −∂0 A,~E~ = ∂~ × A.~BÄëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (4.3) âîñïîëüçóåìñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüåïî êîîðäèíàòàì x0 = ct, x1 , x2 äëÿ âåêòîð-ïîòåíöèàëà Aµ :Aµ (x) =Z132eipx Aµ (x3 , p)dp =(2π)Z2<=θ(p0 ) eipx Aµ (x3 , p) dp,3(2π) 2ãäå < - âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü, ω = cp0 - ÷àñòîòà. Çäåñü è äàëåå â ýòîé ãëàâåìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå p äëÿ âåêòîðà p = (p0 , p1 , p2 ), px =p0 x0 − p1 x1 − p2 x2 .4.2.Ðåøåíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà-Ëàãðàíæà~ 3 , p) ýêÏðè êàëèáðîâî÷íîì óñëîâèè A0 = 0 óðàâíåíèÿ (4.3) äëÿ A(xâèâàëåíòíû ñëåäóþùèì2iD(a)τ,p0(4.4)(∂3 M−1 ∂3 + M−1 P 2 )τ = −2 ip0 D(a)ρ,(4.5)A3 = −P −2 ∂3 ρ,(4.6)(∂3 EP −2 ∂3 + E)ρ =52ãäåρ ≡ ip1 A1 + ip2 A2 , τ ≡ ip2 A1 − ip1 A2 ,qP ≡ F(κ1 , κ2 , κ3 ), κi ≡ p20 εi µi − p21 − p22 .Ïî îïðåäåëåíèþ âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü κj âûáèðàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé, èåñëè îíà èñ÷åçàåò, òîãäà κj = −i|κj |.Åñëè â ïîäõîäå Ñèìàíçèêà ó÷åñòü ïîëÿðèçàöèîííûå ýôôåêòû, âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèè ôåðìèîííûõïîëåé ñ äåôåêòîì, òî ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ íàñ òî÷íîñòüþ çàäà÷à ñâåäåòñÿ êçàìåíå â óðàâíåíèÿõ (4.4-4.6) êîíñòàíò i , µi , ai , íà ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îòp̄.
 äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèÿõ, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â óðàâíåíèÿõ (4.4-4.6)èñïîëüçóþòñÿ òàêèå ýôôåêòèâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ.Ïîëÿ ρ, τ íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé (4.4,4.5). Êîìïîíåíòû A1 , A2 âåê-~ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ρ è τ ,òîð-ïîòåíöèàëà AA1 = −i(ρ p1 + τ p2 )p−2 , A2 = i(τ p1 − ρ p2 )p−2 ,(4.7)~ 3 , p̄) â ðàññìàòðèâàåìîé ñðåäåãäå p2 = p21 + p22 .
Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå A(xõàðàêòåðèçóåòñÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè âåêòîðàìèp~k = (p1 , p2 , 0), p~⊥ = (p2 , −p1 , 0), ~t = (0, 0, 1).Âåêòîðà p~k , ~t îïðåäåëÿþò ïëîñêîñòü ïàäåíèÿ.  ñèëó (4.6, 4.7), âåêòîð ïî-~ = (A1 , A2 , A3 ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäåòåíöèàë A~=A~k + A~ ⊥,A~ k - ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, A~ ⊥ -ïåðïåíäèêóëÿðåí ê íåé,ãäå A~ k (x3 , p̄) = −i~pk p−2 − ~t P −2 ∂3 ρ(x3 , p̄),A(4.8)~ ⊥ (x3 , p̄) = −i~p⊥ p−2 τ (x3 , p̄).A(4.9)53~ x3 ) = −ip0 A(p̄,~ x3 ), òî ïîëåÇàìåòèì, ÷òî òàê êàê â íàøåé êàëèáðîâêå E(p̄,ρ(x3 , p̄), (τ (x3 , p̄)) îïèñûâàåò ïëîñêèå âîëíû, ÷üè âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãîïîëÿ ïàðàëëåëüíû (ïåðïåíäèêóëÿðíû) ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
