Диссертация (1149766), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Òîãäà óðàâíåíèÿ (4.4, 4.5) ïîêàçûâàþò, ÷òî äåôåêò ×åðíà-Ñàéìîíñà ñìåøèâàåò ïàðàëëåëüíûå (ÒÌ-ìîäû) è ïåðïåíäèêóëÿðíûå (ÒÅ-ìîäû) êîìïîíåíòû ôîòîííîãî ïîëÿ.Îáîçíà÷èì f (x3 ) = (ρ(x3 ), τ (x3 )) è îïðåäåëèì−1−20  EP 0 p0 K=, C = ,−10M−p0 0κiεi ei 0 Li =  , ei = , mi = , i = 1, 2, 3.κiµi0 miÒîãäà ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü óðàâíåíèÿ (4.4, 4.5) â êîìïàêòíîé ôîðìå(∂3 K∂3 + KP 2 )f = 2iD(a)Cf .(4.10)Çàìåòèì, ÷òî f äîëæíî áûòü íåïðåðûâíî ïðè x3 = lj ,fj (lj ) = fj+1 (lj ),(4.11)òàê êàê èíà÷å ýòî áû ïðèâåëî ê âîçíèêíîâåíèþ δ 0 -ôóíêöèè â ëåâîé ÷àñòèóðàâíåíèÿ (4.10), à îíà îòñóòñòâóåò â ïðàâîé.  ñèëó (4.7), A1,2 íåïðåðûâíûíà äåôåêòå, òîãäà ïðîèçâîäíûå ∂0,1,2 A1,2 òàêæå íåïðåðûâíû, ÷òî ïðèâîäèòê íåïðåðûâíîñòè êîìïîíåíò E1,2 è B3 .

Ïðåäñòàâèìf (x3 ) = F(f̌ (x3 )),f̌ (x3 ) = (f1 (x3 ), f2 (x3 ), f3 (x3 )).Ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (4.10) îò x3 = lj − η äî x3 = lj + η ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì η , â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìLj+1Lj∂3 fj+1 (lj ) − ∂3 fj (lj ) = 2iaj Cf (lj ).κj+1κj(4.12)54Âíå ñëîåâ x3 6= ±lj óðàâíåíèå (4.10) çàïèñûâàåòñÿ êàê(∂32 + κ2i )fi (x) = 0,è åãî ðåøåíèå èìååò âèä±± ∓iκi x3fi = fi+ + fi− , fi± = (ρ±.i , τi ) = ci e(4.13)Äëÿ âåùåñòâåííîãî κi ðåøåíèå ñ âåðõíèì (íèæíèì) çíàêîì îïèñûâàåò âîëíû, äâèæóùèåñÿ â ïîëîæèòåëüíîì (îòðèöàòåëüíîì) íàïðàâëåíèè îñè x3 .~=A~+ + A~− èÈç (4.8), (4.9), (4.13) ñëåäóåò, ÷òî A~ ± (x3 ) = −Aki~pk± ρ± (x3 )p2i~p⊥ τ ± (x3 )±~, A⊥ (x3 ) = −,p2(4.14)ãäåp~k± ≡ p~k ∓ p2 P −1~t, (~pk± )2 = P02 P −2 p2 ,P0 ≡ P|p1 =p2 =0 = p0 F(n1 , n2 , n3 ), ni =√εi µi .(4.15)(4.16)+Òàê êàê ∂3 fj = iκj f̃j , ãäå f̃j ≡ f−j − fj , óñëîâèå (4.12) ìîæíî ïåðåïèñàòü ââèäåLj+1 f̃j+1 (lj ) − Lj f̃j (lj ) = 2aj Cfj (lj ), j = 1, 2.(4.17)Ýòè óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò ñêà÷êè êîìïîíåíò H1,2 ìàãíèòíîãî ïîëÿ è D3ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè èç-çà íàëè÷èÿ òîêîâ aj J ν â (4.3),D3,j+1 − D3,j = −aj Jj0 = −2aj B3,j ,(4.18)H1,j+1 − H1,j = −aj Jj2 = 2aj E1,j ,(4.19)H2,j+1 − H2,j = aj Jj1 = 2aj E2,j .(4.20)Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (4.11, 4.17) óäîáíî ââåñòè ñëåäóþùèå 2×2 ìàòðèöû−1Tαβj = 1 + αLj+1 (βLj − 2aj C), j = 1, 2, α, β = ±155è 4-êîìïîíåíòíûå âåêòîðà−+−Uj = (u+j , uj ), Vj = (vj , vj ),ãäå±±±u±j = fj (lj ), vj = fj+1 (lj ).Èç (4.11),(4.13),(4.17), íàõîäèì ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó V è U â òåðìèíàõ ìàòðèöû ïåðåíîñà T ,Vj = Tj Uj , U2 = Tl V1 , V2 = T U1 , T = T2 Tl T1 ,++−ilκ210 T+−1  TjjeTl =  , Tj = .2−+−−ilκ20e 1TjTjÄëÿ íåàêòèâíîé ñðåäû (âåùåñòâåííûå ïàðàìåòðû ε, µ è a) ïîëó÷àåìGj = Tj† Gj+1 Tj , Tl† Gj Tl = Gj , T † G3 T = G1 ,U∗1 G1 U1 = V1∗ G2 V1 = U∗2 G2 U2 = V2∗ G3 V2 .(4.21)Çäåñü †, ∗ îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå ìàòðèöû è êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå êîìïîíåíò âåêòîðà,Gj ≡ <κj|κj | gj=κ− |κjj| gj=κj|κj | gj0  p0 ej, , gj ≡ <κj− |κj | gj0 mj /p0<κj (=κj ) - âåùåñòâåííàÿ (ìíèìàÿ) ÷àñòü κj .4.3.Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â òðåõñëîéíîé ñðåäåÄëÿ ïîëíîãî àíàëèçà ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ðàññìàòðèâàåìîé ñðåäåäîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â îáëàñòè x3 > l/2 íåò âîëí äâèæóùèõñÿ âîòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x3 .

Èç ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ ñëåäóåòf3− (l/2) = v2− = 0,56òàê êàê äëÿ âåùåñòâåííûõ κ3 , f3− (l/2) ÿâëÿåòñÿ àìïëèòóäîé âîëíû, äâèæóùåéñÿ èç x3 = +∞ ê ïëîñêîñòè x3 = l/2 , à äëÿ ìíèìûõ κ3 ïîëå äîëæíîýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàòü ïðè x3 → +∞. Òîãäà èç V2 = T U1 ñëåäóåò−− −+− −T−+ u+u1 = 0, v2+ = T++ u+u1 ,1 +T1 +T(4.22)ãäå T±± îáîçíà÷àåò ñîîòâåòñòâóþùèå 2 × 2 - ïîäìàòðèöû 4 × 4 - ìàòðèöûT .Ïðè âåùåñòâåííîì κ1 àìïëèòóäà ïàäàþùåé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â îáëàñòè x3 < −l/2 â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x3 , çàïèñûâàåòñÿ â âèäå+ −iκ1 l/2cin = c+.1 = u1 eÀìïëèòóäû îòðàæåííîé âîëíû cr è ïðîøåäøåé âîëíû ct ïðè âåùåñòâåííîìκ3 çàäàþòñÿ êàê− iκ1 l/2cr = c−,1 = u1 e+ iκ3 l/2ct = c+.3 = v2 eÈç (4.22) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ cr è ct :cr = −eiκ1 l (T−− )−1 T−+ cin ,(4.23)ct = ei(κ3 +κ1 )l/2 [T++ − T+− (T−− )−1 T−+ ]cin .(4.24)Ïðè κ3 ìíèìîì cr îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó îòðàæåííîé âîëíû (ïîëíîå îòðàæåíèå), à ct - àìïëèòóäó çàòóõàþùåé âîëíû.Åñëè κ1 è κ3 ìíèìû, òîãäà ïðîèñõîäèò ïîëíîå îòðàæåíèå âîëí îòîáåèõ ïëîñêîñòåé x3 = ±l/2.

 ýòîì ñëó÷àå,v2− = u+1 = 0.Òîãäà óðàâíåíèÿ (4.22) ìîãóò èìåòü íåíóëåâîå ðåøåíèå òîëüêî åñëè κ3 ìíèìî (òàê êàê èç (4.21) ñëåäóåò, ÷òî V2∗ G3 V2 = U∗1 G1 U1 = 0), è det T−− = 0,57ãäå1−iκ2 l +−+iκ2 l −−T−− = (T−+T1 + T−−T1 ) =2 e2 e412iκ2 l1 − R2 R1 )e−iκ2 l T−−= (T−−2 (e1 ),4−1 −++−−− −1R2 = −(T−−2 ) T2 , R1 = T1 (T1 ) .(4.25)Ìàòðèöû Rj îïèñûâàþò ïîëíîå îòðàæåíèå âîëí èäóøèõ îò öåíòðà ê lj ,v1+ = R1 v1− ,+u−2 = R2 u2 .Ýòè ìàòðèöû îòëè÷àþòñÿ îò óíèòàðíîé ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ1/2−1/2Oj = g2 Rj g2.Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âî âòîðîìñëîå, åñëè îäíî èç äâóõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé eiφ óíèòàðíîé ìàòðèöû O2 O1ñîãëàñóåòñÿ ñ e2iκ2 l .

ßâíûé âèä ìàòðèö Oj è èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðèâîäÿòñÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.Åñëè κj âåùåñòâåííîå, òîãäà ôóíêöèè fj± (x3 )eip̄x̄ , îïèñûâàþò ïëîñêèåâîëíû ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â ñðåäå ñ ïîñòîÿííûìè εj , µj â íàïðàâëåíèèâåêòîðîâ p~j± = (p1 , p2 , ±κj ) ñî ñêîðîñòüþ vj = cp0 /|~pj± | = c/nj .

Äëÿ óãëà ϑjìåæäó âåêòîðîì p~j è îñüþ x3 ,sin ϑj = p/|~pj | = p/(p0 nj ).Îòñþäà ñëåäóåò çàêîí Ñíåëëèóñàsin ϑj / sin ϑk = nk /nj .Êîìïîíåíòà vj3± ñêîðîñòè âîëíîâîãî ôðîíòà vj îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé2vj3± = ±vj κj /|~p±j | = ±cκj /(p0 nj ).58Âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â j -îì ñëîå~+ =â ïîëîæèòåëüíîì (îòðèöàòåëüíîì) íàïðàâëåíèè îñè x3 èìååò âèä Ej~ + (E~ − = −ip0 A~ − ), à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè εj |E~ + |2−ip0 Ajjjj~ − |2 ).

Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, ðàñïðîñòðàíÿùåãîñÿ â ïîëîæèòåëü(εj |Ejíîì íàïðàâëåíèè îñè x3 ðàâíàIj = Ij+ − Ij− ,~ ± |2 .Ij± = vj3+ εj |Ej ñèëó (4.14-4.16), ïîëó÷àåìIj±=±Iρj+Iτ±j ,±Iρj2p30 ej |ρ±p0 mj |τj± |2j |±=, Iτ j =.p2p2Åñëè ìû îáîçíà÷èì U3 ≡ V2 , òîãäàIj = p2 Uj∗ Gj Uj /p20 .Ýíåðãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ íåàêòèâíîé ñðåäû, îòñþäà âåëè÷èíà Ij íå çàâèñèòîò x3 , è â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.21) Ij = Ik . Èç (4.21) ñëåäóåò, ÷òî ïîòîê ýíåðãèèIj èñ÷åçàåò â ñëó÷àå ïîëíîãî îòðàæåíèÿ, òàê êàê V2∗ G3 V2 = 0 ïðè ìíèìîìκ3 è v2− = 0.Åñëè κj ìíèìî, òîãäà ïîäîáíî âîëíîâîäó âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âj -îì ñëîå ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè x3 = 0 â íàïðàâëåíèè âåêòîðà p~k .

 ñèëóãðàíè÷íûõ óñëîâèé, îïðåäåëÿåìîå ìàòðèöàìè Oi ñîîòíîøåíèå ìåæäó ω èp~k èçìåíèòñÿ.4.4.Íåêîòîðûå äåòàëè ðàñ÷åòîâ è êîììåíòàðèèÏðèâåäåì ÿâíûé âèä ìàòðèö, èñïîëüçóåìûõ â íàøèõ âû÷èñëåíèÿõ.Îíè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò ě = (e1 , e2 , e3 ), m̌ = (m1 , m2 , m3 ) è ìîãóò59áûòü çàïèñàíû êàêM(ě, m̌) = f (ě, m̌)g(ě, m̌) .2−p0 g(m̌, ě) f (m̌, ě)(4.26)Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà M ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ åå ýëåìåíòàìè{M}11 = f (ě, m̌) and {M}12 = g(ě, m̌).Ìàòðèöû T±±è îáðàòíûå ê íèì èìåþò âèäj{Tαβj }11 = 1 + αβej2aj, {Tαβ,j }12 = −αej+1ej+1 p02am−1{(Tαβj ) }11j1 + αβ mj+1−1, {(Tαβj ) }12α ej+1jp0=,αβdet(Tαβ)det(T)jj24aj + (ej+1 + αβej )(mj+1 + αβmj )det(Tαβ)=.jej+1 mj+1=Äëÿ ìàòðèöû T±± âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ±±T±± = cos(κ2 l)Z±±1 + i sin(κ2 l)Z2 ,α(a1 + a2 )αβe1 + e3, {Zαβ,1 }12 = −2e3e 3 p04αa1 a2 e2 − (αe22 + βe1 e3 )m2αβ{Z2 }11 =,2e2 m2 e3αβa2 e2 m1 + a1 e3 m2{Zαβ}=, α, β = ±1.122e2 m2 e3 p0{Zαβ1 }11 =Âûðàæåíèÿ (4.23,4.24) äëÿ àìïëèòóä ct , cr ìîæíî ïåðåïèñàòü êàêcr = −eiκ1 l Tr cin ,ct = ei(κ3 +κ1 )l/2 Tt cin ,ãäåTr = (T−− )−1 T−+ , Tt = T++ − T+− (T−− )−1 T−+ .60Âîñïîëüçîâàâøèñü îáîçíà÷åíèÿìèϕ(a, b) = a cos(κ2 l) + i b sin(κ2 l),ψ(a, b, c) = b(a + c) cos(κ2 l) + i (ac + b2 ) sin(κ2 l),α βeαi = ϕ(αe2 , ei ), mβi = ϕ(βm2 , mi ), ϕαβi = ei mi ,eα = ψ(e1 , αe2 , αe3 ), mβ = ψ(m1 , βm2 , βm3 ),ψ αβ = eα mβ , α, β = ±1,äëÿ ìàòðèö Tt , Tr ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ2e1 (e2 m+ − 4i a1 a2 m2 sin(κ2 l)),{Tt }11 =z+4m1 (a2 m2 e+1 + a1 e2 m3 ){Tt }12 = −,p0 z1{Tr }11 = (8a1 a2 e2 m2 + ψ −+ +z2 −+2 22+4(a21 ϕ++3 − a2 ϕ1 − 4a1 a2 sin (κ2 l))),{Tr }12224m1 (a2 e2 m2 + a1 (ϕ++3 − 4a2 sin (κ2 l))=,p0 zãäåz = 4e2 m2 e3 m3 det T−− = ψ ++ + 8a1 a2 e2 m2 +2 ++2 22+4(a22 ϕ++1 + a1 ϕ3 − 4a1 a2 sin (κ2 l)).Ìàòðèöû îòðàæåíèÿ Ri , îïðåäåëåííûå â (4.25), ðàâíû−− −1−− −1 −+R1 = T+−1 (T1 ) , R2 = −(T2 ) T2 ,{Ri }114ai m2ri−+= − ++ , {Ri }12 = − ++ ,ririr1αβ = 4a21 + (e1 + αe2 )(m1 + βm2 ),r2αβ = 4a22 + (e3 + αe2 )(m3 + βm2 ), α, β = ±1.Ïåðåìíîæåíèå è îáðàùåíèå ìàòðèö âèäà (4.26) ïðèâîäèò ê ìàòðèöàì òàêîãî æå òèïà.

Òàê êàê g2 íå ïðèíàäëåæèò ê ýòîìó êëàññó ìàòðèö, òî íå611/2−1/2ïðèíàäëåæàò ê íåìó è ìàòðèöû Oj = g2 Rj g2:√rj−+4aj e2 m2 1 Oj = − ++ .√rj+−−4aj e2 m2rj(4.27)Äëÿ r±± ïîëó÷àåìrj+− rj−+ + 16a2j e2 m2 = rj++ rj−− .(4.28)Åñëè a1 , a2 , e2 , m2 âåùåñòâåííûå, à e1 , e3 , m1 , m3 ìíèìûå, òî(r−+ )∗ = r+− ,(r++ )∗ = r−− ,è èç (4.27,4.28) ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöû O1 , O2 èO = O2 O1 =Q 1 PR −Q∗ P ∗ãäåR = r1++ r2++ , P = r1−+ r2−+ − 16a1 a2 e2 m2 ,√Q = 4 e2 m2 (a1 r2−+ + a2 r1+− ), P P ∗ + QQ∗ = RR∗ÿâëÿþòñÿ óíèòàðíûìè.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1,2 ìàòðèöû O èìåþò âèäλ1,2p(P − P ∗ )2 − 4QQ∗== ei(ζ+η1,2 ) ,2Rp(=P )2 + |Q|2=Rtan(ζ) = −, tan(η1,2 ) = ∓.<R<P−P − P ∗ ±Îíè ñîâïàäàþò, êîãäà =P = 0, Q = 0.

 ýòîì ñëó÷àå, η1,2 = 0,r2−+ = −a2 +−a2r1 , P = − r1++ r1−− = P ∗ .a1a1Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (4.18-4.20) ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî èç~ = εE~, B~ = µH~, E~ = −∂0 A~,(4.6,4.7). Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèÿìè D62~ = ∂~ × A~ , p2 + κ2 = p20 εµ è îáîçíà÷åíèÿìè εκ = e, κ/µ = m, ïîëó÷èìBD3 = −p0 eρ̃,p1 mτ̃ − p2 eρ̃p20p1 eρ̃p20 + p2 mτ̃H1 =, H2 =.p2p2Èç J ν = 3νσρ Fσρ ñëåäóåò, ÷òî J 0 = 2τ ,J1 = 2p0 (p1 τ − p2 ρ) 2p0 (p1 ρ + p2 τ ),J=2.p2p2Òîãäà â ñèëó (4.17), ðàâåíñòâà (4.18-4.20) âûïîëíÿþòñÿ.635. Ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ ìàòåðèàëüíîé ïëîñêîñòè ñîñïèíîðíûì ïîëåì5.1.Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏðè êîíå÷íîé êîíñòàíòå âçàèìîäåéñòâèÿ ïîòåíöèàë ×åðíà-Ñàéìîíñàíàðóøàåò ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷åòíîñòü è èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî îáðàùåíèÿ âðåìåíè.

Ýòî èìååò ìåñòî òàêæå â ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ ôîòîíîâ ñ ïîëåì Äèðàêà ðàçìåðíîñòè (2+1), èñïîëüçóåìîé äëÿ èññëåäîâàíèÿñâîéñòâ äâóìåðíûõ ìàòåðèàëîâ [1315,2027,67,68].  íåé íå ïðåäñòàâëåíûðåàëüíûå äèðàêîâñêèå ïîëÿ â (3+1)-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, ïîýòîìó ìîäåëü ïðèãîäíà äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ ñ ýëåêòðîíàìè è ïîçèòðîíàìèòîëüêî âíóòðè ìàòåðèàëüíîé ïëîñêîñòè, ÷òî ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü åå ïðèìåíåíèÿ. ýòîé ãëàâå äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèå äâóìåðíîãî ìàòåðèàëüíîãî îáúåêòà ñ äèðàêîâñêèì ïîëåì ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ïîäõîä Ñèìàíçèêà â îáû÷íîé ÊÝÄ â (3+1)-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè.

Ïîäîáíàÿ çàäà÷à äëÿ ñïèíîðíîãî ïîëÿ ðàññìàòðèâàëàñü â [36, 37].  êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ äåôåêòà, êðîìå ôîòîííîãî äåéñòâèÿ ×åðíàÑàéìîíñà, òðåáóåòñÿ ó÷åñòü ÷èñòî äèðàêîâñêèé âêëàä, ñîîòâåòñòâóþùèéáàçèñíûì ïðèíöèïàì ÊÝÄ.

Характеристики

Список файлов диссертации