Диссертация (1149751), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При этом стоит отметить, чтоформулировка энергии взаимодействия предполагает групповой рост вариантовмартенсита, однако варианты мартенсита рассматриваются независимо, и такимобразом возможен их рост по отдельности.Приописанииполикристаллическогоматериала,модельучитываетвзаимодействие зерен друг с другом. При превращении зерна, как правило, имеютразные деформации, из-за несовместности которых, возникают межзеренныенапряжения.
Вследствие этого средние напряжения в зернах будут различаться идля их определения применяется метод самосогласования. Действительнаядеформация превращения в зерне , вычисляется следующим образом: = ∑ ,(30)=1где – количество вариантов мартенсита. Для использования тензора Эшелбинаходится эффективная деформация превращения ̂ , которая равна разностидействительной деформации зерна и средней деформации превращения:26̂ = −1,∑ (31)=1где - число зерен.
Напряжение зерна , связанное с несовместностьюдеформации с другими зернами, ̂ может быть получено с помощью формулыЭшелби. А общее напряжение в зерне является суммой среднего (приложенного)напряжения и напряжения несовместности:Σ = Σ + ̂ = Σ + ( ̂ − ̂ ).(32)Здесь – тензор Эшелби для сферического включения (так как в данном случаедля удобства расчета считается что зерна имеют сферическую форму).Для определения средней деформации поликристалла ̅ , вычисляютсясредние деформации зерен и применяется гипотеза Райсса:̅ = ∑ ̅==11.∑ ̅(33)=1Здесь – объемая доля зерна n, для простоты считается что объем всех зерен равени в этом случае = 1⁄ .Таким образом, эта микроструктурная мультивариантная модель учитывает,как взаимодействие межу мартенситными вариантами с помощью разбиения их насамосогласованные группы и построения соответствующего потенциала, так ивзаимодействие между зернами с помощью метода самосогласования.Другая микроструктурная модель была разработана Патором и др.
(Patoor E.et.al.) [26, 27]. В ней также для описания микроструктуры применяетсятермодинамический подход и учитывается многовариантность мартенситногопревращения. Для объемной доли каждого варианта (пластины мартенсита) приэтом используется своя внутренняя переменная. При определении поведениямакрообъема применяется метод, основанный на теории самосогласованного поля.В качестве представительного объема в этой модели берется поликристалл,состоящий из зерен. Каждое зерно рассматривается как отдельный монокристалл,в котором могут образоваться различные варианты мартенсита, представляющие27собоймартенситныепластинысгабитуснойплоскостью.Деформацияпревращения, связанная с вариантом n, определяется нормалью габитуснойплоскости , направлением сдвига и амплитудой сдвига в этом направлении:∀,1= ( + ) = .2(34)Макроскопическая деформация является суммой упругой , тепловой ℎдеформаций и деформации, связанной с превращением , при этом считается, чтопластическая деформация, связанная с движением дислокаций пренебрежимомала.
Предполагается что упругие модули и коэффициент теплового расширения однородны, изотропны и одинаковы для обеих фаз. = + ℎ + ,(35) = ∑ ,(36)здесь – объемна доля варианта . Существуют физические ограничения на этипеременные:∀ ≥ 0и∑ = ≤ 1.(37)Эволюциямакроскопическойдеформациитермодинамического потенциала Гиббса ,определяетсяизменениемΨ, который является функциейуправляющих параметров: напряжения Σ, температуры и системы внутреннихпеременных.Потенциалпредставительногообъемаскладываетсяизхимической энергии Δℎ , упругой энергии , и энергии межфазных границ :Ψ(Σ , , ) = −(Δℎ + + − Σ ).(38)Химическая энергия в первом приближении линейно зависит от температуры, авеличина пренебрежимо мала по сравнению с другими слагаемыми.Деформация превращения несовместна, микромеханический анализ показывает,что упругая энергия, связанная с этими несовместностями, может бытьпредставлена с помощью матрицы взаимодействия , определяемой формой иориентацией мартенситных пластин.
В итоге, потенциал имеет окончательный вид:281 −1Ψ(Σ , , ) = −( − 0 ) ∑ − Σ Σ + Σ ∑ − 2 ∑ ,2(39),где - эмпирическая постоянная, 0 - температура термодинамическогоравновесия.Термодинамическая движущая сила , действующая на -ый вариант,получается из условия минимума функции Ψ при ограничениях (37). Прииспользовании множителей Лагранжа 0 и , получается: =Ψ= Σ − ( − 0 ) − 2 ∑ − 0 + .(40)Для учета гистерезисного характера превращения вводится псевдодиссипативныйпотенциал .Согласнопервомуивторомузаконутермодинамики:Ψ̇|Σ,T = ̇ = ∑ ̇ ≥ 0.(41)Предполагается, что рост различных мартенситных пластин начинаетсякогда движущая сила достигает критического значения .
Критерий прямого иобратного превращения имеет вид: = ± .(42)Кинематические условия (37) определяют + 1 дополнительное уравнение. Врезультате оказывается, что поле напряжений в точке зерна связано с полемдеформаций и температурой при помощи двух термомеханических модулей () и():̇ () = ()̇ () − ()̇ ;(43) () = − ∑ ∑[ + ]−1 ; −1 ∑[ + ] [ ⁄ + () = − ∑ ].Полученныетакимобразом(44)(45)микроскопическиесвойствамонокристаллараспространяются на поликристаллический объект с использованием метода29самосогласованнойгомогенизации.Закондеформированияполикристаллазаписывается в виде:Σ̇ = ̇ − ̇.(46)Деформации и напряжения микроуровня связываются с макроскопическимивеличинамиприпомощичетырехтензоров«глобализации» (), (), , ():̇ () = ()̇ + ()̇,(47)̇ () = ()Σ̇ + ()̇.(48)После объединения уравнений (43), (46) и (48) получается:1∫ () (), (49)1∫ ( () () − ()) .(50) ==Тензоры глобализации вычисляются из термомеханических интегральныхуравнений.
Они связывают локальные поля напряжений с приложеннымикинематическими условиями.Таким образом, в этой модели учитывается взаимодействие вариантовмартенсита и взаимодействие зерен. Влияние зерен описывается с помощью методасамосогласованного поля. Упругая энергия взаимодействия вариантов мартенситаопределяется с помощью матрицы взаимодействия.В моделях с представлением вариантов мартенсита в виде пластин сграницами,параллельнымивзаимодействиявариантовгабитуснойявляетсяплоскости,критическиопределениеважнымэнергиипунктом,ипренебрежение ей ведет к сильному расхождению результатов расчета сэкспериментом [73].
Для определения взаимодействия вариантов мартенсита,многие исследователи искали условия существования совместной плоскойграницы между двумя вариантами. Это приводило к введению в том или ином видематрицы взаимодействия, которая давала информацию о совместности илинесовместности двух вариантов. Эта матрица рассчитывалась различнымиспособами:вычислениемвзаимодействиямеждудвумямартенситными30включениями, встроенными в бесконечную упругую матрицу [74]; рассмотрениемсовместности деформации [75]; минимизацией энергии взаимодействия междудвумя вариантами [67, 76, 77].Матрица взаимодействия широко используется в моделях, в которых рольвариантов играют мартенситные пластины с габитусной плоскостью и обычноимеет размер 24х24 [24]. В таких моделях деформация -го варианта вычисляется по формуле (34).Эл Амрани (El Amrani M.) [75] считал, что для совместности двух вариантовс деформациями и , необходимо существование плоской границы междуними.
Им было предложено условие существования такой границы в виде:det( − ) = 0.(51)В работах [76] и [77] предложено определять совместность двух вариантов изусловия минимизации энергии взаимодействия: = −1() ,∫ ()2 (52)где () - поле деформации превращения и () - поле внутренних напряжений,связанных с несовместностью деформации. В случае сверхупругости, увеличениеобъемной доли определенного варианта происходит посредством роста новыхпластин в ограниченной области зерна.
Исходя из этого наблюдения ипредположив, что внутренние напряжения появляются в основном на границахсоприкосновения мартенсита с мартенситом, авторы [76, 77] сочли, что можнопредставить микроструктуру зерна, как совокупность доменов , частичнозаполненных –ым вариантом (см. рисунок 1). В связи с этим, средняя деформациявычисляется по формуле:̅̅̅=Поледеформации1() .∫ превращенияи(53)полевнутреннихнапряженийрассматриваются как кусочно-однородные функции, определяющие постоянную31Рисунок 1 - Применение кластерного описания микроструктуры зерна [77].̅̅̅деформацию ̅̅̅ и постоянное среднее напряжение внутри объема .
Энергиявзаимодействия принимает вид: = −11̅̅̅̅ ̅̅̅ = ∑{̅̅̅∑ ̅̅̅ − } ( − ){ − } ,22(54)где – тензор упругих модулей (предполагается что он одинаков для всех фаз), -единичный тензор четвертого порядка, – деформация превращения всегозерна, – тензор Эшелби и – объемная доля домена.Энергия взаимодействия двух вариантов и , с учетом = − ; =̅̅̅ + ̅̅̅ и в предположении, что = = , получается в виде:1 = ( − ) ( − )( − ).2(55)Эта энергия является функцией объемных долей и и зависит от формы иориентации соответствующих доменов.
Предполагая, что домены имеют формуприплюснутого сфероида и вычисляя энергию для разных вариантов, авторымодели получают две моды значений энергии: одна соответствует совместнымвариантам, а другая несовместным. Используя этот результат, они строят матрицусовместности и получается выражение для энергии взаимодействия, какфункции от параметров :321 = ∑ .2(56).В работе [67] был предложен другой, более изящный способ определенияматрицы взаимодействия. Для представления микроструктуры выбираются двадомена, разделенных границей (см. рисунок 2). Поле напряжений слабо изменяетсявнутри доменов и претерпевает скачок вблизи границы домена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
