Диссертация (1149751), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Так как только три параметра независимы, то в данной моделипринят набор переменных: ≡ (̅, , ). Свободная энергия Гельмгольца являетсяфункцией переменных j и определяется какΨ = − .(6)Это уравнение используется для выражения неравенства Клаузиуса-Дюгема вотсчетной конфигурации как функции переменных j. Из-за того, что в СПФпроисходят большие деформации, используются напряжение Пиолы-Кирхгофа ̅ идеформация Грина ̅. Новая форма неравенства Клаузиуса-Дюгема имеет вид:20(̅ − 0 Ψ,̅ )̅̇ − ( + Ψ, )̇ − Ψ, ̇ −1 −1≥ 0,0 0(7)где f – градиент деформации, 0 - плотность в отсчетной конфигурации. Изтермодинамики сплошных сред следует, что коэффициенты при ̅̇ и ̇ должны бытьравны нулю.
Индекс после запятой обозначает частную производную посоответствующемуаргументу.Такимобразом,получаетсяопределяющееуравнение:̅ = 0 Ψ,̅ = (̅, , ).(8)После дифференцирования его по времени получится:̅̇ =̅̇ +̇ +̇ = ̅̇ + Θ̇ + Ω̇ ,̅(9)где , Θ, Ω – материальные функции (в частном случае постоянные), для которыхсправедливы формулы: = 0 Ψ,̅̅ ;Θ = 0 Ψ,̅̅ ;Ω = 0 Ψ,̅ .(10)Предполагается экспоненциальная форма зависимости доли мартенсита оттемпературы при фазовом превращении:− = exp[ ( − ) + ] ,(11)− = 1 − exp[ ( − ) + ],(12)где , , и - постоянные материала, и – температуры начала прямогои обратного превращения.Будучи сравнительно простой для проведения расчетов, данная модельпозволила качественно описать основные механические эффекты в сплавах спамятью формы.
Позднее, на основе этой теории, Танака и Ивасаки (Tanaka K.,Iwasaki R.) разработали трехмерную модель СПФ [72], получив определяющиеуравнения в тензорном виде.Лианг и Роджерс (Liang C., Rogers C.) [59] пытались улучшить модель [12],построив более точные уравнения для описания зависимости мартенситной фазыот температуры, использующие косинус-приближение:− =(cos[ ( − ) + ] + 1),2(13)21− =1 − 1 + cos[ ( − ) + ] +,22(14)где и определяют долю мартенсита в случае, если превращение начинаетсяиз состояния смеси фаз аустенита и мартенсита, , , , – материальныепостоянные, определяемые характеристическими температурами и графиком ихзависимости от приложенного напряжения. Это позволило модели более точноописывать экспериментальные результаты, используя при этом материальныепостоянные, которые достаточно просто определить из опытов.В ряде феноменологических моделей вывод определяющих уравненийоснован на выборе конкретной аппроксимации зависимости потенциала Гиббсаили свободной энергии от температуры, напряжения и внутренних переменных,характеризующих превращение.
В работе Лагудаса (Lagoudas D.C. et.al.) ссоавторами[14]предложенаобъединеннаятермодинамическаямодельдеформирования СПФ, которая в частных случаях может переходить в моделиТанаки [12] и Лианга-Роджерса [59].Особенностью этой теории является использование термодинамическогопотенциала Гиббса, который записан в виде:1 = ( , , , ) = ( , ) + [ ( , ) − ( , )] + (, ), ( , ) = −11 1 − ( − 0 ) + [ − 0 − ( )] − 0 + 0 ,20(15)(16)где G – удельный термодинамический потенциал аустенита (a=A) и мартенсита(a=M), – объемная доля мартенсита, T – температура, – тензор напряжения, – тензор деформации превращения, – плотность, – тензор упругихподатливостей, – тензор коэффициентов теплового расширения, – удельнаятеплоемкость, 0 – удельная энтропия, 0 – удельная внутренняя энергия вотсчетном состоянии.
Функция (, ) имеет смысл упругой энергии,взаимодействия между мартенситными кристаллами и материнской фазой, а такжемежду различными мартенситными кристаллами.Отличительной особенностью этой модели является то, что в списокпараметров состояния, от которых зависит термодинамический потенциал22включена фазовая деформация. . Конкретный выбор функции (, ) иопределяет ту или иную модель сплава с памятью формы.Одномерная модель Бринсон (Brinson L.C.) [60] была одной из первыхмоделей, включающих описание полностью сдвойникованного мартенсита,порожденногоизменениемтемпературы.Этаработаосновываласьнатермодинамическом подходе более ранних моделей [13, 59], но при этом, опираясьна представления о микромеханической структуре СПФ, разделяла объемную долюмартенсита на две части: = + .(17)Здесь представляет объемную долю мартенсита, порожденного изменениемтемпературы.
Считается что такой мартенсит состоит из множества вариантов иимеет полностью самоаккомодированную структуру. Параметр описывает долюматериала, перешедшую под действием напряжения в единственный, наиболеевыгодный мартенситный вариант. При этом определяющее уравнение имеет вид: = + Ω + Θ.(18)Построение модели завершается выводом эволюционных уравнений длянахождения объемных долей и в различных температурных интервалах.Такое разбиение мартенситной доли на части, связанные с температурой инапряжением, позволяет получать качественно верные результаты для поведенияСПФ не только при высоких температурах (T > Af), но и при низких температурах(T < Mf), а также в промежуточных состояниях (Mf < T < Af), когда в материалеприсутствует, вызванный температурным изменением, мартенсит.
Более того,благодаря такому усовершенствованию, модель может описывать процессперехода одних вариантов мартенсита в другие, а не только процесс превращенияиз аустенита в мартенсит.231.2. Микроструктурные модели и описание взаимодействиямартенситных вариантовМикроструктурный подход, как правило дает более точное описаниедеформационного поведения СПФ и более универсален в отличие отфеноменологического подхода, но он более сложен, и поэтому микроструктурныемодели используются реже. Они рассматривают деформацию на несколькихструктурных уровнях, что позволяет учесть структуру материала.
Превращениерассматривается на микроуровне с позиций термодинамики. Рассматриваютсятакже и другие механизмы деформации микрообъемов.Одной из микроструктурных моделей является модель Бринсон и др. (BrinsonL.C. et.al.) [24, 25]. Она основана на комбинировании термодинамического имикромеханического подходов и дает систему эволюционных уравнений дляобъемных долей вариантов мартенсита, которая решается численно. Ключевыммоментом в развитии и успехе модели является формирование вариантовмартенсита в составе групп, которое отражает тенденцию мартенсита в реальномматериале формировать самоаккомодированные группы для минимизацииэнергии.Вэтоймикроструктурноймоделирассматриваетсяпотенциалдополнительной свободной энергии (потенциал Гиббса):Ψ(Σ , , ) = −[Δℎ + ℎ + − Σ ] ,(19)скорость изменения которого равна скорости диссипации энергии:Ψ|Σ, = ≥ 0 .(20)Для химической свободной энергии Δℎ , используется обычная линейнаязависимость от температуры.
Поверхностная энергия , считается малой, посравнению с другими слагаемыми, и не учитывается. Механическая энергия ℎ ,является разностью накопленной упругой энергии и энергии взаимодействия :ℎ =11−1∫ = Σ Σ − ,2 2(21)24 =1∫ II ,2 (22)где Σ - внешняя приложенная нагрузка; , – локальные тензоры напряженияи деформации (индексы e и tr означают упругую деформацию и деформациюпревращения соответственно), – тензор упругих модулей материала. Для того,чтобы использовать замкнутую форму выражения тензора Эшелби, тензор упругихмодулей предполагается изотропным и одинаковым для аустенита и мартенсита.При расчете энергии взаимодействия, учитывается, что мартенситныеварианты (под которыми понимаются мартенситные пластины), как правило,формируются в составе самоаккомодированных групп, для минимизации энергииих образования.
С использованием этой ключевой концепции, энергиявзаимодействия аппроксимируется в виде суммы G самоаккомодированных групп,по M вариантов в каждой:1= − ∑ 〈 〉 ̅ ̅ ,2(23)=1где 〈 〉 , ̅ , ̅ среднее напряжение, средняя деформация превращения иобъемная доля у группы g. Средняя деформация вычисляется из деформациипревращения для каждого варианта, (n=1,2,…,G×M), которая записывается ввиде:1= (n m + n m ) ,2(24)где n - нормаль к инвариантной (габитусной) плоскости, m - направление сдвига, g- величина сдвига для n-го варианта. Выражение для энергии взаимодействия, спомощью тензора Эшелби , приводится к виду:1= ∑ ̅ (̂ − ∑ ̅ ̂ ) ̅ ,2=1(25)=1̂ = ( ̅ − ̅ ) .(26)Окончательно, система уравнений, из которой находится эволюцииобъемной доли f, записывается (в векторной форме) в виде:25 ̇ = + + − ,(27)где каждый вектор имеет N компонентов (N=G×М), представляющих вариантымартенсита.Внешняядвижущаясиладляn-говариантаопределяетсяприложенным напряжением и температурой:= −( − 0 ) + Σ ,(28)где B - линейный множитель разницы химических свободных энергий на единицуобъема двух фаз вблизи температуры термодинамического равновесия Т0.
Силавзаимодействия Fnint представляет собой производную от энергии взаимодействия:=−. (29)Fwall представляет граничную силу, которая сохраняет долю мартенсита в пределах(0≤fn≤1) и появляется только когда объемная доля варианта очень близка к 0 или 1.Fnfric равно некой постоянной величине FC если вариант n испытывает прямоепревращение и равно -FC при обратном превращении этого варианта. Финальнаясистема уравнений может быть решена численно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
