Диссертация (1149642), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Переходя от исходной системы координат q = (q 1 , q 2 , q 3 ) к новойкриволинейной системе координат q∗ = (q∗1 , q∗2 , q∗3 ) по формуламq∗λ = q∗λ (t, q) ,λ = 1, 2 ,q∗3 = f01 (t, y1 , y2 , y3 ) ,(6.3)где функции q∗λ (t, q) задаются исследователем, получим разбиение имеющегося трехмерногопространства на прямую сумму одномерного K-пространства с вектором e3∗ и двумерного35L-пространства с основным базисом {e∗1 , e∗2 }. Последние два вектора зависят от выбора исследователем функций q∗λ (t, q), λ = 1, 2, и определяются из обратного к (6.3) преобразованияq σ = q σ (t, q∗ ) ,по формуламeλ∗ =∂q σeσ ,∂q∗λσ = 1, 3 ,λ = 1, 2 ,σ = 1, 3 .Эти векторы лежат в плоскости, касательной к поверхности f01 (t, y1 , y2 , y3 ) = 0 в точке M , ина рис.
I.6.1 не изображены.Согласно рис. I.6.1 материальная точка, находясь в положении M , может, не нарушая свяf, характеризуемоези, получить возможное перемещение δy и переместиться в положение Me. Ортогональность подпространств K и L из рисунка очевидна.радиусом-вектором yПринцип Суслова–Журдена. Так какMW = Y + R ,то принцип Суслова–Журдена (5.25), справедливый при задании идеальных неголономныхсвязей (4.13), можно переписать в видеR · δ′V = 0 .(6.4)С другой стороны, из формулы (5.28) при учете выражения (5.20) имеемΛκ ∇ ′ f1κ · δ ′ V = 0 .(6.5)Из сравнения формул (6.4) и (6.5) получаем, что при идеальных неголономных связях ихреакция имеет видR = Λκ ∇ ′ f1κ .(6.6)Уравнениями связей s-мерное касательное пространство разбивается на прямую суммудвух подпространств K и L размерностей k и l.
Эти пространства имеют базисы {εεl+1 , . . . , ε s }и {εε1 , . . . , ε l }. Формула (6.5) показывает, что реакция идеальных неголономных связей находится в K-пространстве.Уравнениям связей (4.13) в пространстве скоростей соответствует l-мерная поверхностьV (t, q, q̇), для которой t и q являются заданными параметрами. В зависимости от действующих сил и начальных условий при рассматриваемых t и q система может иметь различныескорости V, но концы этих векторов для выполнения связей (4.13) должны находиться наповерхности V (t, q, q̇).
Обозначим точку, соответствующую имеющемуся вектору V, черезM . Проведем в этой точке плоскость T (t, q, q̇), касательную к поверхности V (t, q, q̇). В этойплоскости расположены базисные векторы {εε1 , ... , ε l }. По ним согласно формуле (5.20) разлагается вектор вариации скорости. При этом принцип (5.10) утверждает равенство нулю)скалярного произведения сил (M W − Y на вариацию скорости δ ′ V, а утверждение (6.4)36Рис. I.6.2. Скорости точки при наличии неголономной связипоказывает ортогональность реакции R = Λκ ∇ ′ f1κ идеальных неголономных связей (4.13) кэтой вариации скорости.Рис.
I.6.2 дает геометрическую иллюстрацию сказанному на примере движения одной материальной точки при наличии одной идеальной неголономной связи f11 (t, q, q̇) = 0. Как ив предыдущем пункте, роль исходной криволинейной системы координат q = (q 1 , q 2 , q 3 ) играет декартовая система Oy1 y2 y3 . В данный момент времени t точка, находясь в положении(q 1 , q 2 , q 3 ) ≡ (y1 , y2 , y3 ), имеет скорость, вектор которой V оканчивается в точке M , находящейся на поверхности, задаваемой в пространстве скоростей Oẏ1 ẏ2 ẏ3 уравнением неголономной связи f11 = 0 (эта поверхность, обозначенная выше как V (t, q, q̇), на рис. I.6.2 не указана; tи q считаются фиксированными параметрами). На рисунке изображена плоскость, являющаяся касательной плоскостью к рассматриваемой поверхности в точке M . В общем случае онаобозначалась как T (t, q, q̇).
В этой плоскости лежат векторы ε 1 , ε 2 (на рисунке они не указаны) основного базиса L-пространства, по которым согласно формуле (5.13) разлагается вектор вариации скорости δ ′ V. Перпендикулярно к этой плоскости нарисован вектор ε 3 = ∇ ′ f11 ,являющийся вектором взаимного базиса K-пространства, вдоль этого вектора направленареакция идеальной неголономной связи.
Поэтому очевидна ортогональность пространств Kи L, и, тем самым, наглядным становится выражение принципа Суслова–Журдена, записанного в виде (6.4).Составляющая скорости VK задается выражением неголономной связи f11 (t, q, q̇) = 0 и помодулю равна расстоянию от начала координат до касательной плоскости. Она не участвует в−−→e является суммой V+δ ′ V и равна вектору OMf,вариировании, поэтому возможная скорость Vудовлетворяющему с точностью до малых выше первого уравнению неголономной связи.Если конфигурацию векторов перенести в конец вектора y, то наглядным становитсяопределение Четаева для "возможного перемещения" неголономной системы, когда принимается, что δq σ = τ0 δ ′ q̇ σ , где τ0 является бесконечно-малым промежутком времени, введеннымГауссом.Принцип Гаусса.
Похожим образом обсуждается и геометрическая интерпретация прин37ципа Гаусса. Теперь уравнения линейных неголономных связей второго порядка (4.22) разбивают касательное пространство на два ортогональных подпространства K и L с базисами{εεl+1 , . . . , ε s } и {εε1 , . . . , ε l }. Сами связи в пространстве ускорений задают l-мерную плоскость T (t, q, q̇, q̈), для которой t, q и q̇ являются заданными параметрами.
На этой плоскостидолжны находиться концы векторов ускорения W механической системы. В ней же находятся векторы ε λ , λ = 1, l, по которым согласно формуле (5.35) раскладывается векторвариации ускорения δ ′′ W. Из формул (5.37) и (5.38) легко получить, что реакция идеальныхнеголономных связей второго порядка равна R = Λκ ∇ ′′ f2κ ≡ Λκ ε l+κ , то есть принадлежитпространству K.Рис.
I.6.3. Ускорения точки при наличии неголономной связи второго порядкаЗапись принципа Гаусса в форме (5.39) показывает, что в случае наложения идеальныхлинейных неголономных связей второго порядка их реакция R/M = W − Y/M "принуждает" двигаться механическую систему с минимальным значением величины этой реакции.Все эти рассуждения в случае движения одной материальной точки при наложении идеальной неголономной связиf21 (t, q, q̇, q̈) ≡ a32σ (t, q, q̇) q̈ σ + a320 (t, q, q̇) = 0 ,σ = 1, 3 ,поясняются рисунком I.6.3.При обобщении условий Четаева (5.30) на связи второго порядка (4.22) в виде∂f2κ σδq = 0 ,∂ q̈ σκ = 1, k ,(для случая одной связи такие условия впервые ввел Г. Гамель [107], 1938 г.) "возможныеперемещения" можно воспринимать как вариации возможных обобщенных ускорений с множителем τ02 /2 (см.
работу [53]):τ02 ′′ σδ q̈ , σ = 1, s .(6.7)2Здесь τ0 является бесконечно-малым промежутком времени, введенным Гауссом. "Возможδq σ =ные перемещения" неголономной системы, задаваемые формулами (6.7), удобно представлять себе приложенными к концу "радиуса-вектора" y механической системы.38Г л а в а IIДВЕ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХСИСТЕМ С ЛИНЕЙНЫМИ СВЯЗЯМИВЫСОКОГО ПОРЯДКАВ главе излагаются две теории движения неголономных систем с линейными связямивысокого порядка.
Связи рассматриваются как идеальные программные связи, а их реакция— как искомая управляющая сила.В первой теории строится совместная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат и множителей Лагранжа. Применение теории иллюстрируется решением первого в истории механики примера задания реальнойнеголономной нелинейной связи второго порядка, отражающей требование движения космического аппарата с постоянным ускорением.Вторая теория базируется на использовании обобщенного принципа Гаусса. В двух последующих главах эта теория применяется для решения одной из важнейших задач теорииуправления — о выборе управляющей силы, переводящей механическую систему за заданноевремя из одного фазового состояния в другое.§ 1. Первая теория движения неголономных системсо связями высокого порядка.Постановка задачиКак следовало из материала предыдущей главы, в классической неголономной механикеудается найти множители Лагранжа как известные функции времени и обобщенных координат и скоростей при задании идеальных неголономных нелинейных связей первого порядка илинейных неголономных связей второго порядка.
Напомним, что существует единственныйпример появления линейной неголономной связи второго порядка, осуществляемой контактным путем при движении материальной точки [118].Рассмотрим теперь движение механической системы, описываемое в системе криволинейных координат q = (q 1 , ... , q s ) с базисами{e1 , ... , es } ,{e1 , ... , es }(1.1)в случае, когда на движение этой системы наложены линейные идеальные неголономные39связи высокого порядкаfnκ ≡ aκnσ (t, q, q̇, ... ,σ = 1, s ,(n−1) (n)σq )q + aκn0 (t, q, q̇, ...
,κ = 1, k ,k 6 s,(n−1)q ) = 0,(1.2)n > 3.Отметим, что если дифференциальное уравнение, которому должно подчиняться движение,(n)нелинейно зависит от старших производных q σ(n)fnκ (t, q, q̇, ... , q ) = 0 ,то, дифференцируя его по времени, придем к уравнению, которое линейно зависит от произ(n+1)водных q σ . Следовательно, излагаемая ниже теория может быть применена и к нелинейнымуравнениям высших порядков.
Этот прием будет использован в дальнейшем при изучениидвижения космического аппарата с постоянным по модулю ускорением.Как известно, в классической механике считается, что силы могут зависеть от времени,координат и скоростей и не могут зависеть от ускорений (см., наример, [51], [62]). Поэтомупостановка подобной задачи у многих известных механиков изначально вызывала недоверие, связанное с тем, что при таких связях ожидалось появление зависимости сил от ускорений и от более высоких производных от обобщенных координат. Избежать этих опасений С.А.
Зегжде, Ш.Х. Солтаханову, М.П. Юшкову, авторам излагаемой теории, удалось засчет того, что они предложили рассматривать искомые реакции связей (1.2) как неизвестные функции времени и предложили построение совместной системы дифференциальныхуравнений относительно неизвестных обобщенных координат и множителей Лагранжа. Овозможности наложения связей (1.2) они пишут [28], стр. 153-154: "...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
