Диссертация (1149642), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если воспользоваться представлением вариации обобщенной скорости (5.20), то скалярное произведение(5.25) можно переписать в виде (5.23). Из этой формулы ввиду независимости вариаций δ ′ v∗λ ,λ = 1, l, приходим к уравнениям Маджи (4.18).Получим теперь из (5.25) уравнения (4.21).
Скалярное произведение (5.25) перепишем ввиде (5.24) и вычтем из него нулевое выражение (5.28), получим запись (5.26). Будем считатьвариации скоростей δ ′ q̇ λ , λ = 1, l, независимыми, а вариации δ ′ q̇ l+κ , κ = 1, k, выражающимися через них по формулам (5.18). Тогда, подбирая Λκ , κ = 1, k, в множителях последнихk слагаемых таким образом, чтобы эти коэффициенты обращались в нули, и приравниваюнулю коэффициенты в первых l слагаемых при независимых вариациях, получим уравнения(4.21).Таким образом, запись (5.25) выражает принцип механики, имеющий место при наличииидеальных неголономных связей (4.13). Как отмечалось во "Введении" , его справедливо называть принципом Суслова–Журдена [55]. Этот принцип утверждает, что при наложении надвижение системы идеальных удерживающих неголономных связей скалярное произведениесил инерции и активных сил, действующих на механическую систему, на вектор вариацииобобщенной скорости равно нулю.Многие исследователи вместо получения принципа в форме Суслова–Журдена пыталисьраспространить принцип Даламбера–Лагранжа, справедливый исходно лишь для голономных связей, на случай наложения неголономных связей.
Но для этого требовалось определить понятие возможных перемещений для неголономных систем. Необходимость такогоопределения была отражена во "Введении" в цитате В.И. Киргетова [33], 1959 г. С этой цельюН.Г. Четаев [81] постулятивно подчинил возможные перемещения при неголономных связях(4.13) условиям∂f1κ σ(5.30)δq = 0 , κ = 1, k .∂ q̇ σСвязи, удовлетворяющие этим условиям, стали называться связями типа Четаева. Напомним, что этим вопросом занимались многие видные ученые того времени, поэтомуДж. Папаставридис [130] называет этот постулат определением Маурера–Аппеля–Четаева–Гамеля. Много внимания этому уделял и Л. Юнсен [113].Но условия Четаева (5.30) на возможные перемещения совпадают с ограничениями, накладываемыми неголономными связями (4.13) на вариации скорости.
Действительно, еслиуравнения (5.30) разделить на бесконечно малый промежуток времени τ0 , введенный Герцем,то появившиеся множители δq σ /τ0 можно трактовать как возможные скорости δ ′ q̇ σ . Поэтому принцип Суслова–Журдена оказывается эквивалентным принципу Даламбера–Лагранжа(5.10), но в котором контравариантные компоненты возможного перемещения δy = δq σ eσудовлетворяют уравнениям (5.30). Принцип Даламбера–Лагранжа, распространенный длянеголономных систем в случае наложения связей типа Четаева, получил название обобщенного принципа Даламбера–Лагранжа.
Вопросу взаимосвязи дифференциальных вариационных32принципов механики, и, прежде всего, принципа Суслова–Журдена и обобщенного принципаДаламбера–Лагранжа посвящена статья [46].Принцип Гаусса. Применим теперь логику предыдущих пунктов для вывода принципаГаусса, справедливого при наложении идеальных линейных неголономных связей второгопорядка (4.22) при изучении движения механической системы в криволинейной системе координат q = (q 1 , .
. . , q s ) с базисами (4.1). В этом случае будем опираться на обобщенныеуравнения Маджи (4.28) и на обобщенные уравнения Лагранжа второго рода с множителями (4.33).Свяжем обобщенные ускорения q̈ σ , σ = 1, s, с псевдоускорениями w∗ = (w∗1 , . . . , w∗s )преобразованиями (4.23), задающими неголономные базисы (4.24).
В случае формул (4.25)касательное пространство разбивается на прямую сумму подпространств K и L.По преобразованиям (4.23) напишем вариации обобщенных ускорений и квазиускорений,считая t, q, q̇ параметрами:δ ′′ w∗ρ =∂w∗ρ ′′ σδ q̈ ,∂ q̈ σδ ′′ q̈ σ =∂ q̈ σ ′′ ρδ w∗ ,∂w∗ρρ, σ = 1, s .(5.32)В случае преобразований (4.25) формулы (5.32) перепишутся следующим образом:δ ′′ w∗λ =∂w∗λ ′′ σδ q̈ ,∂ q̈ σδ ′′ w∗l+κ =δ ′′ q̈ σ =∂ q̈ σ ′′ λδ w∗ ,∂w∗λ∂f2κ ′′ σδ q̈ = 0 ,∂ q̈ σσ = 1, s ,σ = 1, s ,λ = 1, l ,κ = 1, k .(5.33)(5.34)Введем теперь векторδ ′′ W = δ ′′ q̈ σ eσ =∂ q̈ σ ′′ λδ w∗ eσ = δ ′′ w∗λ ε λ∂w∗λ(5.35)и построим наряду с вектором W новый векторf = W + δ ′′ W = (q̈ σ + δ ′′ q̈ σ ) eσ .WПо аналогии с тем, как мы поступали с формулой (5.21), разложим в ряды Тейлора уравнения связей (4.22) по переменным q̈ σ в окрестности точки с координатами (q 1 , .
. . , q s ) иобобщенными скоростями (q̇ 1 , . . . , q̇ s ), соответствующими моменту времени t:f2κ (t, q, q̇, q̈ + δ ′′ q̈) = f2κ (t, q, q̇, q̈) + ∇ ′′ f2κ · δ ′′ W + o(|δ ′′ W|) ,κ = 1, k .(5.36)Из равенств (5.36) следует, что если в момент t для точки, имеющей фазовое состояние(q 1 , . . . , q s , q̇ 1 , . . .
, q̇ s ), кинематически возможно обобщенное ускорение W, то с точностьюf = W + δ ′′ W придо малых порядка выше первого кинематически возможно и ускорение Wусловии, что∇ ′′ f2κ · δ ′′ W = 0 ,κ = 1, k .(5.37)Другими словами, множество векторов δ ′′ W, удовлетворяющих уравнениям (5.37), характеризует кинематически возможные изменения обобщенного ускорения W, допускаемые33неголономными связями (4.22) в момент времени t, когда система находится в фазовом состоянии (q 1 , . .
. , q s , q̇ 1 , . . . , q̇ s ). Произвольный вектор δ ′′ W, удовлетворяющий соотношениям(5.37), называется вариацией ускорения W.Теперь, пользуясь полной аналогией с рассуждениями предыдущего пункта, легко показать, что при векторном представлении вариации обобщенного ускорения (5.35) при произвольности его контравариантных компонент δ ′′ w∗λ , λ = 1, l, и в случае произвольности задания компонент δ ′′ q̈ 1 , . .
. , δ ′′ q̈ l с последующим определением через них по формулам (5.34)оставшихся компонет δ ′′ q̈ l+1 , . . . , δ ′′ q̈ s , при использовании формул (5.33) из уравнений (4.28)и (4.33) может быть получено выражение()M W − Y · δ ′′ W = 0 .(5.38)И наоборот, из формулы (5.38) могут быть получены уравнения движения (4.28) и (4.33).Поэтому утверждение (5.38) можно принять за вариационный дифференциальный принцип механики.
Он называется принципом Гаусса и утверждает, что при наложении на движение механической системы идеальных удерживающих линейных неголономных связей второго порядка скалярное произведение сил инерции и активных сил, действующих на систему,на вариацию обобщенного ускорения равно нулю.Обычно этот принцип записывают в видеδ ′′ Z = 0 ,где введено обозначениеMZ=2()2YW−.M(5.39)(5.40)Использованная в формулах (5.39), (5.40) функция Z называется принуждением по Гауссу 4 .Поэтому принцип Гаусса иногда называют и принциом наименьшего принуждения. Интересно, что идея функции принуждения ранее использовалась Гауссом при создании им теорииошибок.
Напомним, что два штриха в формуле (5.39) подчеркивают, что вариируются тольковторые производные от обобщенных координат.§ 6. Геометрическая интерпретациявариационных дифференциальных принциповПринцип Даламбера–Лагранжа. Принцип (5.10) можно переписать в видеR · δy = 0 .(6.1)Сравнивая формулы (6.1) и (5.8), заключаем, чтоR = Λκ ∇f0κ .4От немецкого слова der Zwang — принуждение, насилие.34(6.2)Формула (6.2) показывает, что вектор реакции идеальных голономных связей может бытьразложен по векторам el+κ=∗∇f0κ , κ = 1, k, базиса K-пространства (при голономныхсвязях это пространство можно назвать "подпространством реакций" ).
Уравнениями голономных связей в касательном пространстве задается l-мерная поверхность V (t, q), на которой должна в данный момент времени t находиться точка, соответствующая положениюсистемы. Криволинейной системе координат q∗ = (q∗1 , . . . , q∗l ) соответствует базис e∗1 , . . . , e∗l ,расположенный в плоскости T (q, V ), касательной к поверхности V (t, q). В этой плоскостилежат векторы δy возможных перемещений системы (при голономных связях это пространство можно назвать "подпространством возможных перемещений" ).
Таким образом, принцип Даламбера–Лагранжа в форме (6.1) утверждает, что для идеальных голономных связей подпространство реакций (K-пространство) ортогонально подпространству возможныхперемещений (L-пространству).Рис. I.6.1. Перемещения точки при наличии голономной связиПриведенные рассуждения поясняются на примере движения одной материальной точки. В данный момент t она находится на поверхности, задаваемой уравнением голономнойсвязи f01 (t, y1 , y2 , y3 ) = 0, в точке M , имеющей радиус-вектор y.
На рис. I.6.1 изображенакасательная плоскость, проведенная к этой поверхности в точке M (сама поверхность нарисунке не указана, она является аналогом двумерной поверхности V (t, q), а касательнаяплоскость соответствует плоскости T (q, V )). В нашем примере декартовые координанатыточки y = (y1 , y2 , y3 ) играют роль исходной криволинейной системы координат q = (q 1 , q 2 , q 3 ).Так как декартовая система координат ортонормированная с ортами iσ , σ = 1, 3, то имеемeσ = eσ = iσ , σ = 1, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
