Диссертация (1149642), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Дифференциальные вариационные принципы механикиПринцип Даламбера–Лагранжа. Рассмотрим движение голономной механической системы в криволинейных координатах q = (q 1 , . . . , q s ) с базисами (4.1). В этом случае приналожении идеальных голономных связей (4.3) движение описывается уравнениями Лагранжа первого рода в криволинейных координатах (4.12)M Wσ ≡d ∂T∂T∂f0κ−=Q+Λ,σκdt ∂ q̇ σ ∂q σ∂q σσ = 1, s .(5.1)Если от системы координат q = (q 1 , .
. . , q s ) перейти к системе q∗ = (q∗1 , . . . , q∗s ) по формулам(4.7), учитывающим наложенные голономные связи (4.3), то движение будет описыватьсясистемой уравнений Лагранжа второго рода (4.10)M Wλ∗ ≡d ∂T∂T− λ = Q∗λ ,λdt ∂ q̇∗∂q∗λ = 1, l .(5.2)Как видим, запись дифференциальных уравнений движения зависит от выбранной системы координат.
Найдем выражение, эквивалентное этим уравнениям, инвариантное относительно выбора координатной системы.Используя формулы (4.15), при фиксированном t составим частные дифференциалы (вариации координат) δq∗ρ и δq σ :δq∗ρ =3∂q∗ρ σδq ,∂q σδq σ =∂q σ τδq ,∂q∗τ ∗См. статью Г. Гамеля в предыдущей ссылке.27ρ, σ, τ = 1, s .(5.3)При конкретизации формул перехода (4.5) в виде (4.7) за счет выполнения связей (4.3) формулы (5.3) перепишем следующим образомδq∗λ =∂q∗λ σδq ,∂q σпричемδq∗l+κδq σ =∂q σ λδq ,∂q∗λ ∗∂f0κ σ= σ δq = 0 ,∂qσ = 1, s ,σ = 1, s ,λ = 1, l ,κ = 1, k .(5.4)(5.5)Таким образом, согласно формулам (5.4) и (5.5) вариации δq∗λ , λ = 1, l, оказываютсясвободными, вариации δq∗l+κ , κ = 1, k, оказываются равными нулю, а вариации δq σ , σ =1, s, связаны соотношениями (5.5) (то есть l из них можно задать произвольным образом, аостальные k по ним определятся из формул (5.5)).Умножим теперь уравнения (5.1) на вариации координат δq σ и сложим.
Тогда получим()d ∂T∂T∂f0κ−− Qσ − Λκ σ δq σ = 0 .(5.6)dt ∂ q̇ σ ∂q σ∂qРассмотрим появившуюся здесь двойную суммуΛκ∂f0κ σδq .∂q σ(5.7)Умножим условия (5.5), наложенные на вариации, на величины Λκ и сложим. Тогда получимΛκ∂f0κ σδq = 0 .∂q σ(5.8)Таким образом, двойная сумма (5.7) оказывается равной нулю, и поэтому уравнение (5.6)перепишется в виде(d ∂T∂T− σ − Qσσdt ∂ q̇∂q)δq σ = 0 .(5.9)Но полученное выражение (5.9) является следующим скалярным уравнением:()M W − Y · δy = 0 .(5.10)δy = δq σ eσ(5.11)Здесь векторявляется возможным перемещением системы, если δq σ , σ = 1, s, удовлетворяют условиям(5.5).Покажем теперь, что к этому же выражению (5.10) можно свести и уравнения (5.2).Действительно, умножая последние на δq∗λ и складывая все полученные выражения, будемиметь(M Wλ∗ − Q∗λ ) δq∗λ = 0 .(5.12)Отсюда опять получим выражение (5.10), в котором теперь возможное перемещение представлено в видеδy = δq∗λ e∗λ .28(5.13)Таким образом, из уравнений движения (5.1) и (5.2) получено уравнение (5.10), не зависящее от выбора криволинейной системы координат.
Докажем теперь обратное утверждениео том, что, если справедливо утверждение (5.10), то из него можно получить уравнениядвижения (5.1) и (5.2).Действительно, переписывая скалярное произведение (5.10) в виде суммы произведенийковариантных и контравариантных компонент векторных сомножителей с учетом представления (5.13), получим формулу (5.12). А из этой формулы ввиду произвольности величин δq∗λ ,λ = 1, l, получаем равенство нулю коэффициентов при этих множителях, то есть выполнениеуравнений Лагранжа второго рода (5.2).Несколько длиннее получаются из формулы (5.10) уравнения движения в форме (5.1).Теперь расписывать скалярное произведение (5.10) двух векторов будем, используя представление (5.11).
Тогда из формулы (5.10) получим выражение (5.9). Вычитая из него нулевую двойную сумму (5.8), получим выражение (5.6). Теперь имеющиеся в (5.6) s слагаемыхразделим на две группы. В первую группу выделим слагаемые с δq λ , λ = 1, l, l = s − k,считая, что эти вариации являются независимыми. Остальные (зависимые) вариации δq l+κ ,κ = 1, k, можно выразить через них из условий (5.5). В этой второй группе слагаемых сδq l+1 , . . . , δq s в коэффициентах при них выберем такие Λκ , κ = 1, k, при которых будутобращаться в нули коэффициенты при них, то есть потребуем выполнения соотношенийM Wl+κ − Ql+κ − Λκ∂f0κ= 0,∂q l+κκ = 1, k .(5.14)В оставшихся в сумме (5.6) первых l слагаемых величины δq 1 , .
. . , δq l являются независимыми, поэтому равенство нулю этой суммы может быть лишь при обращении в нули коэффициентов при них, то есть при выполнении соотношенийM Wλ − Qλ − Λκ∂f0κ= 0,∂q λλ = 1, l .(5.15)Таким образом, из выполнения выражения (5.10) получены уравнения Лагранжа первогорода в криволинейных координатах (5.14), (5.15).Итак, из основных форм уравнений динамики голономных систем (5.1), (5.2), с однойстороны, получена формула (5.10), а, с другой стороны, оказывается, что при выполненииутверждения (5.10) имеют место дифференциальные уравнения движения голономных систем (5.1), (5.2).Поэтому запись (5.10) можно принять за принцип механики, свойственный движениюголономных систем.
Он называется принципом Даламбера–Лагранжа и утверждает, что приналожении идеальных удерживающих голономных связей работа сил инерции и активныхсил, действующих на систему, на возможном перемещении системы равна нулю.Принцип Суслова–Журдена. Перейдем к рассмотрению дифференциального вариационного принципа, свойственного неголономным системам. Логика рассуждений будетпохожа на рассуждения, применявшиеся в предыдущем пункте.
Пусть теперь на движе29ние механической системы, описываемой по-прежнему криволинейными координатами q =(q 1 , . . . , q s ) с базисами (4.1), наложены идеальные неголономные связи (4.13).Свяжем обобщенные скорости q̇ = (q̇ 1 , . . . , q̇ s ) и псевдоскорости (квазискорости) v∗ =(v∗1 , . . . , v∗s ) преобразованиями (4.15) при t и q, рассматриваемыми как параметры. Как былопоказано в предыдущем параграфе, при этом вводятся неголономные базисы (4.16), причем вслучае преобразования, учитывающего неголономные связи, касательное пространство разбивается на прямую сумму подпространств K и L.Составим частные дифференциалы δ ′ v∗ρ и δ ′ q̇ σ преобразований (4.15), считая t и q параметрами:δ ′ v∗ρ =∂v∗ρ ′ σδ q̇ ,∂ q̇ σδ ′ q̇ σ =∂ q̇ σ ′ ρδ v∗ ,∂v∗ρρ, σ = 1, s .(5.16)Если в преобразованиях (4.15) квазискорости v∗l+κ , κ = 1, k, приравнять функциям f1κ , κ =1, k, задаваемым уравнениями связей (4.13), то формулы (5.16) примут видδ ′ v∗λ =∂v∗λ ′ σδ q̇ ,∂ q̇ σδ ′ q̇ σ =∂ q̇ σ ′ λδv ,∂v∗λ ∗σ = 1, s ,λ = 1, l ,(5.17)и при этом будут выполняться условияδ ′ v∗l+κ =∂f1κ ′ σδ q̇ = 0 ,∂ q̇ σσ = 1, s ,κ = 1, k .(5.18)Введем в рассмотрение векторδ ′ V = δ ′ q̇ σ eσ =∂ q̇ σ ′ λδ v∗ eσ = δ ′ v∗λ ε λλ∂v∗(5.20)и построим наряду с вектором V новый векторe = V + δ ′ V = (q̇ σ + δ ′ q̇ σ ) eσ .Ve в уравнения связей (4.13) и разложимПодставим координаты q̇ σ + δ ′ q̇ σ вектора скорости Vфункции f1κ (как функции лишь переменных q̇ σ ) в ряды Тейлора в окрестности точки скоординатами (q 1 , .
. . , q s ), соответствующими моменту времени t:f1κ (t, q, q̇ + δ ′ q̇ σ ) = f1κ (t, q, q̇) + ∇′ f1κ · δ ′ V + o(|δ ′ V|) ,κ = 1, k .(5.21)Из этих равенств получаем, что если в момент t для точки с координатами (q 1 , . . . , q s ) кинематически возможна обобщенная скорость V, то с точностью до малых порядка вышеe = V + δ ′ V при условии, чтопервого кинематически возможна и скорость V∇ ′ f1κ · δ ′ V = 0 ,κ = 1, k .(5.22)Таким образом, множество векторов δ ′ V, удовлетворяющих уравнениям (5.22), характеризует кинематически возможные изменения обобщенной скорости V, допускаемые неголономными связями в момент времени t, когда система находится в положении (q 1 , . .
. , q s ).Произвольный вектор δ ′ V, удовлетворяющий соотношениям (5.22), называется вариациейскорости V.30Уравнения движения неголономных систем в форме уравнений Маджи (4.18) и в формеуравнений Лагранжа первого рода в криволинейных координатах для неголономных систем(4.21) зависят от выбранной системы криволинейных координат. Построим соответствующееим выражение, инвариантное относительно выбора системы координат.Начнем с уравнений Маджи (4.18). Умножим каждое уравнение на δ ′ v∗λ и результатысложим.
Тогда окажется, что уравнения Маджи (4.18) эквивалентны одному уравнению(M Wσ − Qσ) ∂ q̇ σ ′ λδ v = 0,∂v∗λ ∗(5.23)которое согласно формулам (5.17) может быть записано в виде()M Wσ − Qσ δ ′ q̇ σ = 0 .(5.24)Если теперь учесть представление вариации обобщенной скорости (5.20), то выражение (5.24)может быть пpедставлено в векторной форме()M W − Y · δ′V = 0 .(5.25)Приведем теперь уравнения (4.21) к виду (5.25). Умножим эти уравнения на вариации′ σδ q̇ и сложим.
Тогда получим:)(∂f1κM Wσ − Qσ − Λκ σ δ ′ q̇ σ = 0 .∂ q̇(5.26)Рассмотрим имеющуюся в этой формуле двойную суммуΛκ∂f1κ.∂ q̇ σ(5.27)Но если умножить условия на вариации δ ′ q̇ σ (5.18) на Λκ и сложить, то получимΛκ∂f1κ ′ σδ q̇ = 0 ,∂ q̇ σ(5.28)то есть выражение (5.27) оказывается равным нулю, и формула (5.26) переписывается в виде()M Wσ − Qσ δ ′ q̇ σ = 0 .(5.29)Но при учете векторного представления вариации обобщенной скорости (5.20) формулу (5.29)можно представать в виде (5.25), что и хотели показать.Итак, из уравнений (4.18) и (4.21), являющихся выражением второго закона Ньютонапри наличии идеальных неголономных связей (4.13), получили справедливость записи выражения (5.25).
Докажем теперь обратное утверждение: если принять выражение (5.25) заисходное, то из него будут следовать уравнения движения (4.18) и (4.21). Если это удастсясделать, то выражение (5.25) можно будет принять за прицип механики, справедливый приналожении идеальных неголономных связей.31Итак, за исходное положение механики принимаем утверждение (5.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
