Диссертация (1149642), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Используяпонятие оператора Гамильтона (оператора "набла" )∇f1 =∂f1iσ ,∂xσпервую сумму в выражении (1.7) можно представить в виде∂f1ẋσ = ∇f1 · v ,∂xσv = ẋσ iσ .(1.8)Н.Н. По́ляхов ввел в научный оборот новый оператор [53]∇ ′ f1 =∂f1iσ ,∂ ẋσ(1.9)который он назвал обобщенным оператором Гамильтона (о его связи с обычным операторомГамильтона см. ниже). Используя выражения (1.8) и (1.9), формулу (1.7) представим в виде∂f1f˙1 =+ ∇f1 · v + ∇ ′ f1 · w = 0 .∂t(1.10)Если теперь умножить закон Ньютона (1.6) на ∇ ′ f1 , а уравнение (1.10) на массу m, тоиз полученной системы уравнений будем иметь выражение()∂f1′′R · ∇ f1 = − m+ m∇f1 · v + F · ∇ f1 .∂t12(1.11)Из формулы (1.11) для реакции R можно получить представлениеR = RK + RL ,гдеK′R = Λ∇ f1 ,Λ=−1(m ∂f+ m∇f1 · v + F · ∇ ′ f1 )∂t|∇ ′ f1|2(1.12),RL ⊥ ∇ ′ f1 .(1.13)Обозначения RK и RL соответствуют векторам, которые ниже будут вводиться в общемслучае. Обратим внимание на то, что согласно формуле (1.13) множитель Λ, называемыймножителем Лагранжа, оказывается известной функцией величин t, x, ẋ.

Эта функцияопределяется видом неголономной связи (1.5), движением системы и заданием активной силыF = F(t, x, ẋ). В свою очередь, вектор RL никак не определяется математическим заданиемуравнения связи (1.5), к нему предъявляется единственное требование — быть ортогональным к вектору RK .

В частности, уравнение связи (1.5) будет удовлетворяться и приRL = 0 .(1.14)Неголономные связи, обладающие свойством (1.14), называются идеальными. Понятие идеальной связи является идеализированным математическим понятием, в природе обычно вектор RL не равен нулю. Но так как он никак не описывается математическим заданием связи(1.5), то его нужно дополнительно характеризовать, исходя из физических соображений реального осуществления связи (более понятно это будет видно ниже при обсуждении заданияголономной связи).

Итак, при задании реальной неголономной связи (1.5) обычно RL неравно нулю, но в ряде задач электромеханики можно считать, что фактически выполняетсяусловие (1.14).Случай голономной связи. Пусть на движение материальной точки наложена голономная связьf0 (t, x) = 0 .(1.15)Чтобы воспользоваться предыдущими результатами, запишем ее формально в виде неголономной связи, продифференцировав выражение (1.15) по времени∂f0∂f0+ẋσ = 0 .f1 (t, x, ẋ) ≡ f˙0 (t, x) =∂t∂xσ(1.16)Находя из выражения (1.16) производные ∂f1 /∂ ẋσ , получаем∂f0∂f1=,∂ ẋσ∂xσ(1.17)поэтому в нашем случае оператор По́ляхова (обобщенный оператор Гамильтона) совпадаетс обычным оператором Гамильтона∇ ′ f1 = ∇f0 .13(1.18)Таким образом, введенный для неголономной связи (1.5) обобщенный оператор Гамильтона∇ ′ f1 в случае задания голономной связи (1.15) вырождается в привычный оператор "набла" .При этом формулы (1.11), (1.13) принимают вид()∂f02∂ 2 f0R · ∇f0 = − m 2 + 2mẋσ + F · ∇f0 ,∂t∂t∂xσ∂f 2R = Λ ∇f0 ,KΛ=−(1.19)2∂ f0m ∂t20 + 2m ∂t∂xẋσ + F · ∇f0σ|∇f0 |2,RL ⊥ ∇f0 .(1.20)Рис.

I.1.1. Движение точки при стационарной голономной связиПолученные результаты легко представить геометрически в случае движения одной точки. Особенно наглядно расположение векторов получается для случая стационарной голономной связи (см.рис. I.1.1). В этом случае траектория точки лежит на поверхности f0 (x) = 0,при движении точки по этой поверхности перпендикулярно к ней (то есть перпендикулярнок касательной плоскости, проведенной к поверхности в рассматриваемом положении материальной точки в ее положении в геометрической точке M ) по нормали к поверхности ∇f0направлена нормальная составляющая реакции RK , причем этот вектор равен RK = Λ∇f0 .Если связь выполнена в виде реальной поверхности, то при движении по ней со скоростью vсо стороны поверхности на материальную точку будет действовать сила трения RL , направленная в противоположную сторону скорости v.

Величина этой силы может быть выраженапо закону трения Кулона, поэтому vRL = −k тр RK ,|v|(1.21)где k тр — коэффициент трения. Именно эта величина в рассматриваемом случае задаетсядополнительно для характеристики составляющей реакции RL . Чем лучше отполированаповерхность, тем меньше коэффициент трения k тр , в идеальном случае он будет равен нулю.

Это и соответствует идеальной связи (1.15), задаваемой в виде реальной поверхности,которую не должна покидать материальная точки при движении по ней.14Случай задания двух неголономных связей. Пусть на движение материальной точки наложены две неголономные связиf1κ (t, x, ẋ) = 0 ,κ = 1, 2 .Как и ранее, можно получить выражения типа (1.11)()∂f1κκ′ κ′ κR ≡ R · ∇ f1 = − m+ m∇f1 · v + F · ∇ f1 ,∂t(1.22)κ = 1, 2 .(1.23)Покажем, что в предполагаемом представленииR = RK + RL = R1 + R2 + RL = Λκ ∇ ′ f1κ + RL ,RL ⊥ ∇ ′ f1κ ,κ = 1, 2 ,(1.24)множители Лагранжа Λ1 , Λ2 могут быть найдены единственным образом.Действительно, умножая формулу (1.24) скалярно на векторы ∇ ′ f1κ , κ = 1, 2, будемиметьΛ1 ∇ ′ f11 · ∇ ′ f11 + Λ2 ∇ ′ f11 · ∇ ′ f12 = R1 ,Λ1 ∇ ′ f12 · ∇ ′ f11 + Λ2 ∇ ′ f12 · ∇ ′ f12 = R2 .(1.25)Получили систему линейных алгебраических неоднородных уравнений относительно неизвестных Λ1 , Λ2 .

Неоднородность системы (1.25) характеризуется известными функциями(1.23). Если определитель этой системы не равен нулю ′ κ∇ f1 · ∇ ′ f1κ∗ ̸= 0 ,κ, κ ∗ = 1, 2 ,(1.26)то из системы (1.25) можно получить для Λ1 , Λ2 единственное решение. Этот результатдля системы материальных точек, подчиненных голономным связям, был впервые полученв начале прошлого века Г.К. Сусловым [72] и А.М. Ляпуновым [40], а для случая наложениянеголономных связей был приведен впервые в 1981 г. в статье Н.Н. По́ляхова, С.А. Зегжды,М.П. Юшкова [54], а затем повторен в 1985 г. в их первом издании учебника для университетов "Теоретическая механика" [58].§ 2. Касательное пространство.

Векторное уравнениедвижения механической системы общего видаВекторное уравнение движения свободной механической системы общего вида. Пусть движение свободной механической системы описывается в системе криволинейныхкоординат q = (q 1 , ... , q s ). Ее движение характеризуют уравнения Лагранжа второго родаd ∂T∂T− σ = Qσ ,σdt ∂ q̇∂qσ = 1, s .(2.1)Здесь T — кинетическая энергия, а Qσ — обобщенная сила, соответствующая координате q σ .В общем случае кинетическая энергия имеет вид (см. [58])T = T (2) + T (1) + T (0) ,15гдеT (2) =MMgστ q̇ σ q̇ τ , T (1) = M gασ q̇ σ , T (0) =g ,22 00σ, τ = 1, s , α = 0, s , q 0 = t , q̇ 0 = 1 .Здесь M — масса всей системы и для удобства записи наряду с обычными криволинейнымикоординатами q σ , σ = 1, s, введена дополнительная условная координата q 0 , под которойподразумевается время t.Обсудим, каким образом систему скалярных уравнений (2.1) можно записать в виде векторного уравнения, характеризующего движение рассматриваемой механической системыобщего вида в касательном пространстве.

Перейдем к обсуждению понятия касательногопространства.Введем в рассмотрение дифференцируемое абстрактное многообразие всех положениймеханической системы, которые она может иметь в данный момент времени t. Зафиксируемнекоторую точку q σ , σ = 1, s, этого многообразия. Наряду с изучением движения механической системы в системе координат q = (q 1 , ... , q s ) будем изучать ее движение и в системекоординат q∗ = (q∗1 , ... , q∗s ).

В этой новой системе координат уравнения Лагранжа будут иметьвид∂Td ∂T− σ = Q∗σ ,σdt ∂ q̇∗∂q∗σ = 1, s ,T =M ∗ α βg q̇ q̇ ,2 αβ ∗ ∗(2.2)α, β = 0, s .Пусть координаты этих двух систем связаны прямым и обратным преобразованиямиq∗ρ = q∗ρ (t, q) ,q σ = q σ (t, q∗ ) ,ρ, σ = 1, s .(2.3)Конечные преобразования (2.3) можно переписать в дифференциальной форме (время t считается параметром)δq∗ρ =∂q∗ρ σδq ,∂q σδq σ =∂q σ ρδq ,∂q∗ρ ∗ρ, σ = 1, s .(2.4)Важно, что если величины δq∗ρ и δq σ связаны между собой соотношениями (2.4), то их можнорассматривать как контравариантные компоненты некоторого вектора δy [17], а все множество этих векторовδy = δq σ eσ = δq∗ρ e∗ρ(2.5)образует касательное пространство к введенному выше дифференцируемому многообразиюв выделенной точке q = (q 1 , ...

, q s ) (или q∗ = (q∗1 , ... , q∗s )) [17].Этот вектор можно рассматривать как вектор возможного перемещения системы. Опираясь на инвариантность положительно определенной квадратичной формы, равной квадратудлины введенного вектора (2.5)(δy)2 = gστ δq σ δq τ = g∗σ∗ τ ∗ δq∗σ∗ δq∗τ∗ ,16можно в касательном пространстве ввести евклидову структуру, задаваемую при использовании первой системы координат матрицей (gστ ), а при второй — матрицей (g∗σ∗ τ ∗ ).

Элементыэтих матриц задаются коэффициентами положительно определенных квадратичных формT (2) =Mgστ q̇ σ q̇ τ ,2T∗(2) =M ∗∗∗gσ∗ τ ∗ q̇∗σ q̇∗τ2соответственно. Задание этих матриц позволяет вычислять скалярное произведение любыхдвух векторов∗∗a = aσ eσ = aσ∗ e∗σ∗b = bτ eτ = bτ∗ e∗τ ∗ ,пользуясь формулой∗∗a · b = gστ aσ bτ = g∗σ∗ τ ∗ aσ bτ ,σ, τ, σ ∗ , τ ∗ = 1, s .Таким образом, опираясь на выражение кинетической энергии и на инвариантность длины вектора возможного перемещения системы, нам удалось построить касательное пространство с основным метрическим тензором (gστ ) (или (g∗σ∗ τ ∗ )) и с основным базисом {e1 , ... , es }(или {e∗1 , ...

Характеристики

Список файлов диссертации