Диссертация (1149642), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. . ,q∗s ),так как согласно формулам (4.2) справедлива цепочка равенств:1 , ρ = σ ,τρτρ∂q∗ ∂q∂q∗ σ∗ ∂qρρ∗e∗ · eσ = σ∗ e · σ eτ = τ σ = δσ =0 , ρ =∂q∂q∗∂q ∂q∗̸ σ.Конкретизируем формулы перехода (4.5), задаваяq∗λ = q∗λ (t, q) ,λ = 1, l ,l = s−k,q∗l+κ = q∗l+κ (t, q) ≡ f0κ (t, q) ,κ = 1, k .(4.7)Обратим внимание на то, что здесь функции от (t, q) в первых формулах при λ = 1, l,выбираются исследователем, а следующие при l + κ, κ = 1, k, учитывают уравнения связей(4.3), и потому координаты q∗l+κ , κ = 1, k, в процессе движения равны нулю.Согласно формулам (4.6) и (4.7) уравнения связей (4.3) задают k векторовe∗l+κ =∂q∗l+κ σ ∂f0κ σe =e = ∇f0κ ,∂q σ∂q σκ = 1, k ,(4.8)образующих взаимный базис K-пространства, а согласно соотношениям (4.6) ортогональноек нему L-пространство формируется векторами основного базисаeλ∗ =∂q τeτ ,∂q∗λλ = 1, l .Учитывая формулы (4.8), уравнение движения (4.4) перепишем в видеM W = Y + Λκ e∗l+κ .22(4.9)Умножая его на векторы eλ∗ , λ = 1, l, получаем две группы уравнений Лагранжа второгорода:M Wλ∗ = Q∗λ ,λ = 1, l ,∗M Wl+λ= Q∗l+λ + Λκ ,l = s−k,(4.10)κ = 1, k .Напомним, чтоM Wσ =d ∂T∂T− σ,σdt ∂ q̇∂qσ = 1, s .(4.11)Используя формулы (4.8), уравнение (4.9) можно переписать следующим образом:M W = Y + Λκ∂f0κ τe .∂q τУмножая его на векторы eσ , σ = 1, s, запишемM Wσ = Qσ + Λκ∂f0κ,∂q σσ = 1, s .(4.12)Система s скалярных уравнений (4.12) содержит s + k неизвестных q 1 , .

. . , q s , Λ1 , . . . , Λk . Дополнить её следует уравнениями связей (4.3). Эта процедура аналогична случаю уравненийЛагранжа первого рода для движения системы материальных точек. Поэтому систему уравнений (4.12) можно назвать уравнениями Лагранжа первого рода в криволинейных координатах [7]. В литературе часто называют её системой уравнений Лагранжа второго рода смножителями [15].Уравнения движения неголономных систем.

Пусть теперь на движение механической системы общего вида, описываемой криволинейными координатами q = (q 1 ,. . . ,q s ) сбазисами (4.1), наложены идеальные неголономные связиf1κ (t, q, q̇) = 0 ,κ = 1, k .(4.13)Тогда согласно формулам (3.20) векторное уравнение несвободного движения имеет видM W = Y + Λκ ∇ ′ f1κ .(4.14)В этом случае для обсуждения несвободного движения механической системы недостаточновведения новой системы криволинейных координат, а приходится наряду с вектором обобщенных скоростей q̇ = (q̇ 1 ,. .

. ,q̇ s ) вводить новый вектор псевдоскоростей (квазискоростей)v∗ = (v∗1 ,. . . ,v∗s ). Зададим формулы перехода между ними, считая, что при этом t и q являются параметрами:v∗ρ = v∗ρ (t, q, q̇) ,q̇ σ = q̇ σ (t, q, v∗ ) ,ρ, σ = 1, s .(4.15)По преобразованиям (4.15) можно построить две системы векторовερ =∂v∗ρ σ∗e ,∂ q̇ σ∗εσ =∂ q̇ τeτ ,∂v∗σ23ρ, σ, σ∗ , τ = 1, s .(4.16)Обратим внимание на то, что эти векторы вычисляются для конкретного положения системыq = (q 1 ,. . . ,q s ), занимаемого ею в данный момент времени t и имеющей обобщенные скорости q̇ = (q̇ 1 ,.

. . ,q̇ s ). Иными словами, векторы (4.16) вычисляются по фазовому состояниюмеханической системы, имеющемуся в момент времени t.Введенные векторы (4.16) можно назвать векторами неголономных базисов, так как они,благодаря формулам (4.2), обладают свойством:ε ρ · εσ =∂v∗ρ∂ q̇ σ∗e σ∗ ·∂v∗ρ∂ q̇ ττ∂ q̇eτ =∂v∗σ1 , ρ = σ ,∂ q̇ρ==δσ0 , ρ ̸= σ .∂v∗στЕсли в преобразованиях (4.15) учитывать уравнения связей (4.13) формуламиv∗λ = v∗λ (t, q, q̇) ,λ = 1, l ,v∗l+κ = v∗l+κ (t, q, q̇) ≡ f1κ (t, q, q̇) ,l = s−k,κ = 1, k ,то последние векторы взаимного неголономного базиса примут видε l+κ =∂v∗l+κ σ ∂f1κ σe =e = ∇ ′ f1κ (t, q, q̇) ,∂ q̇ σ∂ q̇ σκ = 1, k .(4.17)Векторы (4.17) образуют в s-мерном касательном пространстве k-мерное K-пространство, аортогональное ему l-мерное пространство L согласно формулам (4.16) задается векторамиελ =∂ q̇ τeτ ,∂v∗λλ = 1, l .Подчеркнём, что полученное разбиение исходного s-мерного касательного пространства напрямую сумму подпространств K и L задается при фиксированных t, q и q̇.Теперь векторное уравнение (4.14) согласно формулам (4.17) принимает видM W = Y + Λκε l+κ .Умножая это уравнение на векторы ε ρ =Мàджи:∂ q̇ τ∂v∗ρeτ , ρ = 1, s, получаем две системы уравнений∂ q̇ σ(M Wσ − Qσ ) λ = 0 ,∂v∗(M Wσ − Qσ )λ = 1, l ,∂ q̇ σ= Λκ ,∂v∗l+κl = s−k,κ = 1, k .(4.18)(4.19)Напомним, что здесь выражения M Wσ можно представить в виде (4.11).В l уравнений (4.18) войдут, вообще говоря, все обобщенные координаты q 1 , .

. . , q s , поэтому их интегрировать приходится совместно с уравнениями связей (4.13). Для численногоинтегрирования последние удобно продифференцировать по времени. После задания начальных условий может быть получено решение этой замкнутой системы дифференциальныхуравненийq σ = q σ (t) ,24σ = 1, s .(4.20)Подставляя решение (4.20) в формулы (4.19), найдём изменение обобщенных реакцийκ = 1, k .Λκ = Λκ (t) ,По этим формулам, в частности, можно находить условия освобождения от связей (4.13).Подчеркнём, что как следует из изложенного, при движении неголономных систем числоl = s − k не является количеством степеней свободы механической системы.

В зависимостиот задания начальных условий интегрированием уравнений Маджи (4.18) совместно с уравнениями связей (4.13) механическая система для заданного момента времени t может занятьлюбое положение q 1 , . . . , q s . Поэтому для неголономных систем число степеней свободы равноs, а l определяет количество независимых квазискоростей v∗1 , . . . , v∗l .Перепишем теперь векторное уравнение движения при использовании формул (4.17) ввиде∂f1κ τe .∂ q̇ τM W = Y + ΛκУмножая его на векторы eσ , σ = 1, s, получим уравнения Лагранжа первого рода в криволинейных координатах для неголономных систем [7]:M Wσ = Qσ + Λκ∂f1κ,∂ q̇ σσ = 1, s .(4.21)Уравнения движения неголономных систем общего вида при наличии линейных неголономных связей второго порядка.

Пусть на движение механической системыобщего вида, движение который описывается криволинейными координатами q = (q 1 ,. . . ,q s )с базисами (4.1), наложены линейные неголономные связи второго порядкаσl+κf2κ (t, q, q̇, q̈) ≡ al+κ2σ (t, q, q̇) q̈ + a20 (t, q, q̇) = 0 ,1κ = 1, k .(4.22)Считая t, q, q̇ параметрами, введём между обобщенными ускорениями q̈ = (q̈ 1 , . . . , q̈ s ) иквазиускорениями (псевдоускорениями) w∗ = (w∗1 , . . . , w∗s ) формулы преобразованийw∗ρ = w∗ρ (t, q, q̇, q̈) ,q̈ σ = q̈ σ (t, q, q̇, w∗ ) ,ρ, σ = 1, s .(4.23)По формулам перехода (4.23) построим две системы векторовερ =∂w∗ρ σ∗σ∗e = al+κ,2σ∗ e∂ q̈ σ∗εσ =∂ q̈ τeτ ,∂w∗σρ, σ, σ∗ , τ = 1, s .(4.24)Векторы (4.24) образуют взаимный и основной неголономные базисы, так в силу формул (4.2)выполняются соотношенияε ρ · εσ =1∂w∗ρ∂ q̈ σ∗e σ∗ ·τ∂ q̈eτ =∂w∗σ∂w∗ρ∂ q̈ τ1 , ρ = σ ,∂ q̈ρ= δσ =0 , ρ ̸= σ .∂ ẅ∗ρτНапомним, что в настоящее время известен единственный механический пример связи второго поряд-ка при движении тяжёлой точки, находящейся на конце нити, навивающейся на вертикальный круговойцилиндр (см.

статью: F. Kitzka. An example for the application of a nonholonomic constraint of 2nd order inparticle mechanics // ZAMM. 1986. Vol. 66. № 7. S. 312-314). Однако класс обсуждаемых задач значительнорасширяется, если в виде (4.22) задается программа движения.25Зададим формулы переходя (4.23) в видеw∗λ = w∗λ (t, q, q̇, q̈) ,λ = 1, l ,l = s−k,w∗l+κ = w∗l+κ (t, q, q̇, q̈) ≡ f2κ (t, q, q̇, q̈) ,κ = 1, k .(4.25)Из-за выполнения связей (4.22) последние квазискоростиw∗l+κ ,κ = 1, k, в процессе движенияоказываются равными нулю. Формулы (4.25) формируют векторы [53]ε l+κ =∂w∗l+κ σ ∂f2κ σe =e = ∇ ′′ f2κ ,∂ q̈ σ∂ q̈ σκ = 1, k ,(4.26)являющиеся взаимным базисом для K-пространства, выделяемого в s-мерном касательном пространстве уравнениями связей (4.22).

Ортогональное к нему дополнение в виде Lпространства создается согласно формулам (4.24) векторами его основного базисаελ =∂ q̈ τeτ ,∂w∗λλ = 1, l .В силу формул (4.26) векторное уравнение движения при идеальных неголономных связях второго порядка (4.22) имеет видM W = Y + Λκε l+κ .(4.27)Умножая его на векторыε ρ = (∂ q̈ τ /∂w∗ρ ) eτ ,ρ = 1, s ,получаем две группы обобщенных уравнений Мàджи 2 :(M Wσ − Qσ )∂ q̈ σ= 0,∂w∗λλ = 1, l ,l = s−k,(4.28)∂ q̈ σ= Λκ , κ = 1, k .(4.29)∂w∗l+κНапомним, что для развернутого представления левых частей этих уравнений можно вос(M Wσ − Qσ )пользоваться формулами (4.11).Интегрируя при заданных начальных условиях уравнения (4.28) совместно с уравнениямисвязей (4.22), получим уравнения движения рассматриваемой механической системы общеговидаq σ = q σ (t) ,σ = 1, s .(4.30)Подставляя найденные функции (4.30) в формулы (4.29), найдём закон изменения обобщенных реакцийΛκ = Λκ (t) ,κ = 1, k .(4.31)Полученные функции (4.31) позволяют, в частности, находить условия освобождения механической системы от связей (4.22).2Эти уравнения впервые были опубликованы в статьях: A.

Przeborski. Die allgemeinsten Gleichungen derklassischen Dynamik // Math. Zeitschrift. 1931-1932. Bd. 36. H. 2. S. 184-194; G. Hamel. Nichtholonome Systemehöherer Art // Sitzungsberichte der Berliner Math. Gesellschaft. 1938. Bd. 37. S. 41-52.26Обратим внимание но то, что аналогично предыдущему пункту при связях (4.22) числоl = s − k равно числу независимых квазиускорений w∗λ , λ = 1, l, а не количеству степенейсвободы рассматриваемой неголономной механической системы общего вида.Если теперь переписать уравнение (4.27) в видеM W = Y + Λκ∂f2κ τe∂ q̈ τ(4.32)и умножить уравнение (4.32) на векторы eσ , σ = 1, s, то в силу выполнения формул (4.2) получим уравнения Лагранжа первого рода в криволинейных координатах при связях второгопорядка (уравнения Лагранжа второго рода с множителями при связях второго порядка)3:M Wσ = Q σ + Λ κ∂f2κ,∂ q̈ σσ = 1, s .(4.33)Интегрируя при заданных начальных условиях уравнения (4.33) совместно с уравнениямисвязей (4.22), получаем уравнения движения механической системы.В заключение параграфа ещё раз подчеркнем, что в изучаемом случае система векторов основного и взаимного неголономных базисов определеляется при конкретном фазовомсостоянии системы (q, q̇), имеющемся при рассматриваемом моменте времени t.§ 5.

Характеристики

Список файлов диссертации