Диссертация (1149642), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

, e∗s }).Перейдем теперь к использованию еще одного инварианта относительно выбора системыкоординат — к величине возможной элементарной работы.Пусть на рассматриваемую механическую систему в точках с декартовыми координатамиx1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 и т.

д. действуют силы с проекциями X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ,X6 , X7 , X8 , X9 и т. д. Тогда элементарную работу можно представить в виде (µ учитываетвсе координаты точек приложения всех сил)δA = Xµ δxµ .В то же время элементарную работу можно записать в видеδA = Qσ δq σ = Q∗ρ δq∗ρ .(2.6)В результате, учитывая взаимосвязь между вариациями координат, можно записать цепочкуравенствδA = Xµρ∂xµ σ∂xµ ρ∂q σ ρ∗ ∂q∗δq=Xδq=Qδq=Qδq σ .µσρρ∗∗ρ∂q σ∂q∗∂q∗∂q σ(2.7)Сравнивая записи (2.6) и (2.7), получаем формулы пересчета обобщенных сил при переходеот одной криволинейной системы координат к другой:Q∗ρ =∂q σQσ ,∂q∗ρQσ =∂qρ∗ ∗Q ,∂q σ ρσ, ρ = 1, s .(2.8)Но формулы (2.8) соответствуют пересчету ковариантных компонент вектора [17], поэтомуможно говорить о ковариантном векторе Y с этими компонентамиY = Qσ eρ = Q∗ρ eρ∗ .17Таким образом, в касательном пространстве вводятся и взаимные базисы {e1 , ...

, es } и{e1∗ , ... , es∗ }. Поэтому элементарную работу можно записать в видеδA =Y · δy.Теперь при описании движения в системе координат q = (q 1 , ..., q s ) уравнения движения(2.1) можно представить в касательном пространстве одним векторным уравнениемMW = Y ,(2.9)где в касательном пространстве вводится понятие вектора ускорения механической системыобщего типа1W=M(∂Td ∂T− σσdt ∂ q̇∂q)eσ = (gστ q̈ τ + Γσ,αβ q̇ α q̇ β ) eσ = (q̈ σ + Γσαβ q̇ α q̇ β ) eσ ,(2.10)σ, τ = 1, s, α, β = 0, s .Здесь Γσ,αβ и Γσαβ являются символами Кристоффеля первого и второго рода и аналогичнымиим величинами в случае движения нестационарной системы.Если изучается движение в системе координат q∗ = (q∗1 , ...

, q∗s ), описываемое дифференциальными уравнениями (2.2), то им сопоставляется то же векторное уравнение (2.9), нотеперь в формулах (2.10) появятся ”звездочки”, то есть, например, вместо gστ будут стоятьg∗σ∗ τ ∗Векторное уравнение движения несвободной системы общего вида. Если надвижение системы наложены связи, то, как и при изучении движения одной точки, рассмотренного в § 1, вместо уравнения (2.9) будем иметь векторное уравнениеMW = Y + R ,(2.11)где R является вектором касательного пространства, который характеризует влияние наложенных связей. Исследованию структуры этого вектора посвящен следующий параграф.§ 3. Разбиение уравнениями связей касательного пространствана два ортогональных подпространства.Идеальность связейРазбиение касательного пространства уравнениями связей на два ортогональных подпространства.

Пусть на движение системы наложены неголономные связиf1κ (t, q, q̇) = 0 ,κ = 1, k .(3.1)Для выяснения того, как они влияют на вектор R в уравнении (2.11), продифференцируемих по времени (применяется подход, аналогичный рассуждениям, проведенным в § 1)f2κ (t, q, q̇, q̈)∂f1κ ∂f1κ σ ∂f1κ σκ˙≡ f1 =+ σ q̇ + σ q̈ = 0 ,∂t∂q∂ q̇18κ = 1, k .(3.2)Для исследования нам важно выделить в уравнениях связей обобщенные ускорения q̈ σ ,σ = 1, s, поэтому мы стремились представить неголономные связи (3.1) в виде линейнойзависимости (3.2) от этих ускорений. К такому же виду мы приведем и голономные связиf0κ (t, q) = 0 ,κ = 1, k ,(3.3)путем их двойного дифференцирования по времени.Отметим, что в виде (3.2) могут задаваться и непосредственно линейные неголономныесвязи второго порядка. Правда, в настоящее время известен единственный пример [17] задания подобной связи механическим путем, который отражает навивание нити с тяжелойточкой на конце на поверхность вертикального кругового цилиндра.

Отметим, что класссвязей типа (3.2) может быть значительно расширен, если в виде таких выражений задаватьпрограмму для движения механической системы. В следующей главе основное внимание будет уделено созданию теории движения неголономных систем со связями высокого порядка.Так как они будут задаваться как программа движения, то эти связи будем называть программными.Перейдем к обсуждению связей, заданных в виде (3.2). Выделим в них выражения контравариантных составляющих вектора W, задаваемых формулами (2.10)W σ = q̈ σ + Γσαβ q̇ α q̇ β ,σ = 1, s ,α, β = 0, s .(3.4)Если связи (3.2) представить в видеσl+κf2κ (t, q, q̇, q̈) = al+κσ = 1, s , κ = 1, k ,2σ (t, q, q̇) q̈ + a20 (t, q, q̇) = 0 ,κκ∂f1∂f1∂f1κ σl+κal+κ=,a=+q̇ ,2σ20∂ q̇ σ∂t∂q σl = s−k,(3.5)то с использованием формул (3.4) связи (3.5) можно записать следующим образомσκal+κ2σ W = χ2 (t, q, q̇) ,σ α βl+κχκ2 (t, q, q̇) = al+κ2σ Γαβ q̇ q̇ − a20 ,κ = 1, k .(3.6)Подчеркнем, что правые части χκ2 в формулах (3.6) являются заданными функциями переменных t, q, q̇.Так как скалярное произведение двух векторов a = aσ eσ , b = bρ eρ удобно представлять ввиде суммы a · b = aσ bσ , то левые части формул (3.6) можно рассматривать как скалярныепроизведения векторов ε l+κ · W, κ = 1, k, где введены векторыσε l+κ = al+κ2σ e ,κ = 1, k .(3.7)Обратим внимание на то, что ковариантные компоненты этих векторов определяются коэффициентами al+κ2σ , σ = 1, s, задаваемыми уравнениями связей (3.5).Итак, наложение на движение механической системы связей (3.5) выделяет в касательномs-мерном пространстве K-пространство размерности k с базисом {εεl+1 , .

. . , ε s }. Удобно ввестиl-мерное ортогональное к нему L-пространство с базисом {εε1 , . . . , ε l }, так чтоε λ · ε l+κ = 0 ,λ = 1, l ,19l = s−k,κ = 1, k .(3.8)Таким образом, наложение связей разбивает касательное пространство на прямую суммуподпространств K и L, имеющих соответственно размерности k и l. При этом уравнениясвязей (3.6) можно записать в видеε l+κ · W = χκ2 (t, q, q̇) ,κ = 1, k .(3.9)Идеальность связей.

Используя ортогональность введенных двух подпространств, разложим интересующие нас векторы на две перпендикулярные составляющиеW = WK + WL ,Y = Y K + YL ,R = RK + RL ,fl+κ εl+κ ,WK = Wf λ ελ ,WL = Wel+κ ε l+κ ,YK = QRK = Λκ ε l+κ ,eλ ε λ ,YL = QRL = Rλ ε λ ,WK · WL = 0 ,Y K · YL = 0 ,(3.10)RK · RL = 0 .Здесь значок "волны" отмечает разложение векторов по введенным нами базисам{εεl+1 , . .

. , ε s } и {εε1 , . . . , ε l }, а ковариантные компоненты вектора RK обозначены через Λκ ,κ = 1, k, так как они являются именно множителями Лагранжа.Перепишем векторное уравнение движения (2.11) в виде двух уравненийM WK = YK + RK ,(3.11)M WL = YL + RL .(3.12)Обсудим вначале уравнение (3.11). В нем вектор WK полностью определяется уравнениями связей (3.9). Действительно, так как W=WK +WL , то подставляя эту сумму в формулы(3.9) и учитывая ортогональность подпространств K и L, получаем, что эти формулы принимают видε l+κ · WK = χκ2 (t, q, q̇) ,κ = 1, k .(3.13)f l+κ = χκ (t, q, q̇), κ = 1, k, и как отмечалось, функции χκ полностью определяютсяТо есть W22уравнениями связей.

Поэтому левая часть уравнения (3.11) задана уравнениями связей идля выполнения равенства к заданной силе YK требуется добавить реакцию связейRK = Λκ ε l+κ .(3.14)В свою очередь на составляющую WL , входящую в уравнение (3.12), математическоезадание связей (3.2) никаких ограничений не накладывает, поэтому это уравнение можетвыполняться при любом векторе RL , в частности и приRL = 0 .(3.15)Связи, для которых выполняется (3.15), называются идеальными. Если RL ̸= 0, то формирование этого вектора должно объясняться из физической реализации материального заданиясвязей.20Частные случаи разбиения касательного пространства. Уравнениями связей второго порядка (3.5) касательное пространство разбилось на прямую сумму подпространств Kи L, при этом K-пространство имело базисные векторыκ = 1, k .ε l+κ = a2σ eσ ,(3.16)Если продифференцировать функции f2κ в формулах (3.5) по q̈ σ , то получим∂f2κ= al+κ2σ ,∂ q̈ σκ = 1, k .(3.17)Поэтому векторы (3.16) можно переписать в видеεl+κ =∂f2κ σe ≡ ∇ ′′ f2κ ,σ∂ q̈κ = 1, k ,(3.18)где использовано обозначение Н.Н.

Поляхова для обобщенного оператора Гамильтона, соответсвующего неголономной связи второго порядка.Если мы в виде (3.5) записываем неголономные связи (3.1), то коэффициенты al+κ2σ взаписи (3.5) оказываются равными производнымal+κ2σ =∂f1κ,∂ q̇ σκ = 1, k .(3.19)Поэтому неголономные связи в касательном пространстве выделяют K-пространство с базисомε l+κ =∂f1κ σe ≡ ∇ ′ f1κ ,σ∂ q̇κ = 1, k .(3.20)Здесь векторы ∇ ′ f1κ являются обобщенными операторами Гамильтона для неголономныхсвязей первого порядка.Наконец, если в виде (3.5) записываются голономные связи (3.3) после их двойного дифференцирования по времени, то оказывается, чтоal+κ2σ =∂f0κ,∂q σκ = 1, k ,(3.21)поэтому∂f0κ σe ≡ ∇f0κ , κ = 1, k ,∂q σто есть являются обычными операторами Гамильтона.ε l+κ =(3.22)§ 4.

Уравнения несвободного движения механических систем общего видаУравнения движения голономных систем. Движение механической системы общеговида с s степенями свободы будем описывать криволинейными координатами q = (q 1 ,. . . ,q s ),задающими основной и взаимный базисы{e1 , . . . , es } ,{e 1 , .

. . , e s } .21(4.1)Для векторов этих базисов, очевидно, выполняются соотношения:1 , ρ = σ ,e ρ · eσ = δσρ =0 , ρ ̸= σ .(4.2)Пусть на движение системы наложены идеальные голономные связиf0κ (t, q) = 0 ,κ = 1, k .(4.3)Тогда согласно формулам (3.22) векторное уравнение движения в касательном пространствеимеет вид:M W = Y + Λκ ∇f0κ .(4.4)Введем в рассмотрение новую систему криволинейных координат q∗ = (q∗1 ,. . . ,q∗s ) и зададим формулы перехода между двумя рассматриваемыми системами:q∗ρ = q∗ρ (t, q) ,q∗σ = q∗σ (t, q∗ ) ,ρ, σ = 1, s .(4.5)Опираясь на формулы (4.5), построим две системы векторовe∗ρ =∂q∗ρ σ∗e ,∂q σ∗eσ∗ =∂q τeτ ,∂q∗σρ, σ, σ∗ , τ = 1, s .(4.6)Эти векторы создают взаимный и обратный базисы новой системы координат q∗ = (q∗1 ,.

Характеристики

Список файлов диссертации