Диссертация (1149642), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Разработанныйздесь проективный метод является фактически своеобразной формой уравнений Маджи иоказывается приспособленным для использования компьютеров.Определенные трудности вызывало исследование устойчивости неголономных систем.Одна из первых работ, правильно объяснявшая влияние неголономности на устойчивость механической системы, принадлежала О. Боттема [99].
В дальнейшем этими сложными вопросами занимались такие известные ученые, как М.А. Айзерман, В.И. Калёнова, В.М. Морозов,А.В. Карапетян, В.В. Козлов, В.В. Румянцев, В.Н., Тхай и другие [92], [30], [31], [34], [61], [74].Внимание исследователей привлекали вопросы движения неголономных систем с переменными массами [105], [146], стохастических неголономных систем [10], [44] и в других областях неголономной механики.
Классическая теория движения неголономных систем успешноприменялась при решении многих практически важных технических задач (движение велосипеда, мотоцикла, автомобиля, в том числе и при заносе, когда происходит освобождениеот неголономных связей, при исследовании явления "шимми" колеса, в различных машинахс вариаторами скорости, в создании теории движения электрических машин и в целом ряде других областей техники, например, при изучении обкатки ротора по подшипнику.).
Этатеория может применяться, например, и при изучении движения спортсмена на скейтбордеи на снейкборде [37], [119].Основные разделы неголономной механики описаны в известных учебниках и монографиях [1], [2], [3], [6], [7], [12], [13], [14], [15], [18], [28], [28], [35], [39], [41], [47], [48], [50], [51], [52],7[58], [70], [73], [78], [83], [108], [110], [122], [130], [133], [140], [141], [144].Здесь приведен краткий обзор развития неголономной механики, при этом часто давалисьссылки лишь на ограниченное число работ, относящихся к данному вопросу, а многие не менее интересные работы, к сожалению, остались без упоминания.
Подробное и обстоятельноеизложение этапов формирования неголономной механики приведено в монографии [58].Из всех возможных дальнейших направлений развития неголономной механики остановимся еще на двух — на возможности решать некоторые задачи теории управления методамианалитической механики и на развитии теории движения неголономных систем при наличиисвязей высокого порядка.Первое из этих направлений начало развиваться с момента введения А. Бегеном [4] понятия сервосвязей. Ими очень заинтересовались современники, П. Аппель изложил их теориюв своем трактате [1]. В.И. Киргетов [33] с помощью сервосвязей (он их называет условнымисвязями) решает ряд задач динамики полета. Аналогичные задачи рассмотрены и в статье[38].
В работе [57] развивается теория управления движением с помощью связей, зависящихот параметров.Одним из первых вопросами движения неголономных систем при наложении связей высокого порядка начал заниматься Г. Гамель [107]. Он рассмотрел изящную, но лишеннуюфизического смысла нелинейную неголономную связь в виде равенства проекции ускоренияточки на одну декартовую ось произведению проекций ускорения на две оставшиеся оси.Более детально этим вопросом занимались He Ye-Qi, До шань, К. Янковский [109], [16], [112].Последний называет связи высокого порядка, обязательные для выполнения движущейсямеханической системой, программными связями.
Мэй Фунсян посвящает статью [124] выводу уравнений Эйлера и Нильсена при наложении связей высокого порядка. Дальнейшееразвитие его теории движения систем при наложении связей высокого порядка приведено вработах [126], [135].Стройную и законченную теорию движения неголономных систем при наличии связейвысокого порядка построили и изложили в монографии [28] С.А. Зегжда, Ш.Х Солтаханов иМ.П. Юшков. Связи высокого порядка они рассматривают как программу движения, которую должна выполнять движущаяся система.
Тем самым строится некоторый новый классзадач управления, в которых программа задается в виде дополнительной системы обыкновенных дифференциальных уравнений выше второго порядка. Такая постановка задачи вызывала возражения даже некоторых ведущих ученых-механиков Советского Союза, поэтомуособое значение имели первые примеры задания реальных связей из области космонавтики:в статьях [71] рассматривается движение спутника Земли в случае фиксации величины егоускорения в некоторый момент времени (то есть вводится нелинейная неголономная связьвторого порядка, которая согласно используемой теории после дифференцирования приводится к виду линейной неголономной связи третьего порядка) и плавный перелет спутника содной круговой орбиты на другую (линейная неголономная связь третьего порядка). Реакции8введенных неголономных связей высокого порядка оказываются искомыми управляющимисилами, обеспечивающими выполнение программы, заданной в виде дополнительной системы дифференциальных уравнений третьего порядка.В классической неголономной механике рассматриваются связи до линейных связейвторого порядка включительно.
Как указывалось выше, тогда удается найти множителиЛагранжа в виде функций времени и обобщенных координат и скоростей. При учете связейболее высокого порядка авторы упомянутой теории рассматривают множители Лагранжакак дополнительные неизвестные функции времени. Тем самым снимался вопрос противников этой теории, опасавшихся, что при связях высокого порядка силы реакции будут зависетьот производных выше первого порядка от обобщенных координат.
Для нахождения неизвестных (как функций времени) обобщенных координат и множителей Лагранжа в теориистроится совместная система дифференциальных уравнений.В рамках создания теории движения неголономных систем со связями высокого порядкав 1983 г. был предложен обобщенный принцип Гаусса [56]. Он оказался неожиданно весьма востребованным спустя четверть века после появления в 2010 г.
статьи [21]. Эта статьяоказалась первой в цикле работ авторов этой теории, посвященных возможности применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка для определенияуправляющей силы для решения одной из важнейших задач теории управления о переводе зафиксированный промежуток времени механической системы из заданного начального фазового состояния в новое заданное конечное фазовое состояние. При решении подобных задачс помощью указанной теории центральным и оказалось применение обобщенного принципа Гаусса. Дело в том, что было показано, что в случае решения сформулированной задачитеории управления с помощью применения принципа максимума Понтрягина при минимизации функционала от квадрата управляющей силы непрерывно выполняется связь высокогопорядка (например, при управлении горизонтальным движением тележки с двумя маятниками связь имеет восьмой порядок!).
Поэтому представляется удобным для решения тойже задачи теории управления применить теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка. Но тогда вместо принципа максимума Понтрягина уместно воспользоваться обобщенным принципом Гаусса, свойственным этой теории. При этом оказалось,что при кратковременном движении механической системы результаты расчетов по обоимметодам практически совпадают, а при более длительном времени движения они заметноразличаются, причем применение обобщенного принципа Гаусса дает более плавное движение системы.
Помимо этого, применение этого принципа дает возможность дополнительногоулучшения решения поставленной задачи. Например, оказалось, что возможно сформулировать и решить так называемую расширенную (обобщенную) краевую задачу, требующуюдополнительного обращения в нуль ускорений системы.
Это позволяет найти управление безскачков управляющей силы в начале и в конце движения системы, свойственных решениям, полученным с помощью стандартных методов теории управления. Важно, что решитьсформулированную расширенную краевую задачу, например, с помощью принципа максиму9ма Понтрягина не имеется возможности, в то время как применение обобщенного принципаГаусса это позволяет, для этого достаточно увеличить порядок принципа.Законченному изложению возможности применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка для решения сформулированной выше задачи теорииуправления и некоторому развитию применения этой теории и посвящена представленнаядиссертационная работа.10Глава IНЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫНЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИВ главе рассматривается реакция неголономной связи, наложенной на движение материальной точки. С помощью понятия касательного пространства изучается несвободноедвижение механической системы общего вида, обсуждается понятие идеальности связей,выводятся дифференциальные уравнения движения, обсуждаются дифференциальные вариационные принципы.
Рассматривается связь принципа Даламбера–Лагранжа с принципомСуслова–Журдена.§ 1. Несвободное движение материальной точкиДвижение свободной материальной точки. Движение материальной точки массыm под действием силы F подчиняется второму закону Ньютонаmw = F .(1.1)Вводя декартову систему координат Ox1 x2 x3 с ортами i1 , i2 , i3 , вместо векторного уравнения(1.1) запишем три скалярных уравненияmẍσ = Xσ (t, x, ẋ), σ = 1, 2, 3 .(1.2)Движение материальной точки, описываемое системой дифференциальных уравнений (1.2),будем называть свободным, подразумевая под этим, что точка при действии силы F в моментвремени t∗ может оказаться в любом заданном положении x∗ = (x∗1 , x∗2 , x∗3 ), имея при этомлюбую наперед заданную скорость ẋ∗ = (ẋ∗1 , ẋ∗2 , ẋ∗3 ).Действительно, система дифференциальных уравнений шестого порядка (1.2) имеет интегралы движенияϕj (t, x, ẋ) = Cj , j = 1, 6 ,(1.3)поэтому значения произвольных постоянных Cj∗ , j = 1, 6, соответствующих заданным условиям, вычисляются следующим образомCj∗ = ϕj (t∗ , x∗ , ẋ∗ ) , j = 1, 6 .(1.4)Таким образом, движение с выделенными Cj∗ , j = 1, 6, можно обеспечить подбором соответствующих начальных данных t0 , x0 = x(t0 ), ẋ0 = ẋ(t0 ).11Реакция неголономной связи.
Если при движении материальной точки должны выполняться некоторые условия, наложенные на время, ее координаты и скорости, то такоедвижение называется несвободным. Рассмотрим случай наложения неголономной связиf1 (t, x, ẋ) = 0 .(1.5)Здесь индекс "1" показывает, что в уравнении связи старшей производной является производная первого порядка.Так как теперь движение точки является несвободным, ибо в процессе движения должновыполняться условие (1.5), то ускорение точки будет отличаться от ускорения, задаваемогоуравнением (1.1).
Это изменение ускорения объясняется появлением наряду с активной силойF некоторой дополнительной силы R, возникающей из-за наложения связи (1.5). Эта сила Rназывается силой реакции связи. Теперь уравнение движения несвободной точки имеет видmw = F + R .(1.6)Выясним структуру силы реакции связи R.Так как сила характеризуется вызываемым ею ускорением, а реакция R появляется из-заналожения связи (1.5), то интересно выяснить ускорение, связанное с уравнением связи. Сэтой целью продифференцируем по времени уравнение (1.5)∂f1∂f1∂f1f˙1 =+ẋσ +ẍσ = 0 .∂t∂xσ∂ ẋσ(1.7)В записи (1.6) используется понятие "немого индекса" , в нашем случае σ = 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
