Диссертация (1149642), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Больцманне избежал этой участи. Отметим, что и П. Аппель не обратил первоначально внимания наошибку Е. Линделёфа и поместил его внешне привлекательное, но неверное решение в качестве примера на применение уравнений Лагранжа второго рода в первое издание своегознаменитого учебника [93]. Но после исследований Ж. Адамара и А. Фиркандта он изъялэтот пример из второго издания своей книги.Интересно, что этой проблемой серьезно заинтересовался и известный гидромеханикС.А. Чаплыгин, ставший впоследствии одним из создателей теории движения неголономныхсистем.
Он одним из первых выяснил существенную ошибку Е. Линделёфа, о чем и уведомил последнего. С.А. Чаплыгин сообщил об этом в докладе, сделанном 25 октября 1895 г.на заседании отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. Одновременно он впервые на этом заседании изложил свои уравнениядвижения неголономных систем, которые из печати вышли в 1897 г.
[77]. Это были первыеуравнения неголономной механики, не содержавшие множителей Лагранжа. Хотя они справедливы были лишь для неголономных связей, разрешенных относительно некоторых обобщенных скоростей (правда, таким свойством обладали все рассматривавшиеся в то времянеголономные задачи), но при этом получалось наименьшее количество дифференциальныхуравнений, которые можно было интегрировать без уравнений связей. Оставшиеся обобщенные координаты можно было найти, интегрируя непосредственно уравнения связей. Такиемеханические системы стали называть системами Чаплыгина.
Эти уравнения часто используются и в настоящее время.4Почти одновременно уравнения без множителей Лагранжа для случая линейных неголономных связей предложил и Г.А. Маджи [125]. Длительное время эти уравнения оставалисьбез должного внимания, но теперь они завоевывают все бо́льшую популярность. УравненияМаджи являются линейной комбинацией уравнений Лагранжа второго рода и составляются сравнительно просто. Позже А.
Пшеборский [132] и Г. Гамель [107] распространили этиуравнения на неголономные связи нелинейные относительно обобщенных скоростей и на линейные относительно обобщенных ускорений.Как самостоятельный раздел механики неголономная механика оформилась после работыГ. Герца [110], кстати, именно он ввел термины голономные и неголономные системы.В отличие от монографии Г.А. Маджи [125], статья С.А. Чаплыгина [77] привлекла большое внимание исследователей. При различных видах неголономных связей было предложенобольшое количество уравнений движения неголономных систем, не содержавших множителей Лагранжа (см., например, работы [143], [97], [106], [11], [145], [94], [95]). Интересно, чточасто разные авторы получали почти одновременно схожие результаты, этим объясняетсяподчас различие в названиях одних и тех же уравнений.
К вопросу вывода других уравненийнеголономной механики и к возможности расширения применимости имеющихся видов уравнений и позже обращались многие исследователи (см., например, работы В.С. Новоселова[48]).Своеобразный подход к составлению уравнений движения голономных систем предложилА. Пуанкаре [131]. Вот, что пишет по этому поводу В.В. Румянцев [64], 1994 г., с. 3: "замечательная идея Пуанкаpе [131] пpедставлять уpавнения движения голономных механическихсистем с помощью некотоpой тpанзитивной гpуппы Ли бесконечно малых пpеобpазованийбыла pазвита Четаевым [82], [83] на случай нестационаpных связей и зависимых пеpеменных, когда гpуппа пpеобpазований интpанзитивна.
Четаев пpеобpазовал уpавнения Пуанкаpе к виду канонических уpавнений и pазpаботал теоpию интегpиpования этих уpавнений".Теоpия Пуанкаpе–Четаева pаботами Л.М. Маpхашова, В.В. Румянцева, Фама Гуена [42], [64],[75] была pаспpостpанена и на неголономные линейные системы. В 1998 г. В.В. Румянцев [64]развил уравнения Пуанкаре–Четаева и для нелинейных неголономных связей. В работе [26]дается геометрическая интерпретация уравнений Пуанкаре–Четаева–Румянцева.Заметный резонанс вызвала в свое время, особенно в западной литературе, статья Кейна[117]. На основании этой методики было решено большое количество практических задач.М. Лессер дает геометрическую иллюстрацию этих уравнений [121], позже была показанапрямая связь уравнений Кейна с уравнениями Аппеля и Маджи [98], [121], [134].Большое внимание исследователи уделяли и развитию вариационных принципов неголономной механики.
Принцип, опирающийся на понятие возможных скоростей, в 1908-1909 гг.предложил Ф. Журден [114]. Но почти на десять лет ранее, пользуясь другой терминологией, его сформулировал в своем учебнике и Г.К. Суслов [72], [55]. Интересно, что другие ученые пытались применить для неголономных систем принцип Даламбера–Лагранжа, строгосправедливый лишь для голономных систем.
Для этого надо было распространить поня5тие возможного перемещения на неголономные системы. Вот, что пишет по этому поводуВ.И. Киргетов [33], 1959 г., с. 666: "Понятие "возможного перемещения" системы, без сомнения, является основным в аналитической механике. Это не просто одно из понятий аналитической механики, но понятие, на котором построено все здание аналитической механики, понятие, полностью обусловливающее характер аналитической механики, степень ее общности,границы ее приложения. Аналитическая механика распространяется только на те материальные системы, для которых установлено понятие "возможного перемещения" системы или,другими словами, указано определение "возможных перемещений" системы." Одним из первых это для случая нелинейных неголономных связей блестяще сделал Н.Г.
Четаев [81], с. 68,который стремился ". . . ввести для нелинейных связей понятие возможного перемещениятак, чтобы одновременно сохранить и принцип Даламбера, и принцип Гаусса . . . ". Для этогоон постулятивно подчинил возможные перемещения неголономной системы условиям, которые, как оказалось, совпадают с условиями, накладываемыми нелинейными неголономнымисвязями на возможные скорости. Связи, для которых выполняются указанные условия навозможные перемещения, получили название связей типа Четаева.
Надо отметить, что этоттонкий вопрос неголономной механики параллельно обсуждался многими учеными, поэтомуДж. Папаставридис [130] называет этот постулат определением Маурера–Аппеля–Четаева–Гамеля. Принцип Даламбера–Лагранжа, распространенный для неголономных систем в случае наложения связей типа Четаева, получил название обобщенного принципа Даламбера–Лагранжа. Исследовались и другие принципы механики [48], [63]. Полезно отметить, чтоосновные вопросы неголономной механики подробно и часто приоритетно обсуждались вработах норвежского ученого Л. Юнсена [113].Одновременное применение в неголономной механике принципа Суслова–Журдена иобобщенного принципа Даламбера–Лагранжа потребовало выяснения взаимосвязи этихпринципов.
В Советском Союзе яркими представителями первой точки зрения былН.Н. Поляхов [53], а второй — В.В. Румянцев [62]. Н.Н. Поляхов считал, что принципыСуслова-Журдена и Гаусса формулируются независимо от принципа Даламбера–Лагранжа,причем с точки зрения иерархии этих принципов каждый предыдущий являлся следствием последующего. В отличие от этого В.В. Румянцев утверждал, что принципы СусловаЖурдена и Гаусса являются следствием принципа Даламбера–Лагранжа. Интересно, что всвоих работах Н.Н.
Поляхов впервые, опираясь на бесконечно-малый промежуток временипо Гауссу, приводит возможную трактовку возможного перемещения при нелинейных неголономных связях как перемещение за этот промежуток времени при постоянной возможнойскорости, а при наличии линейных неголономных связей второго порядка — при постоянномвозможном ускорении. Но при этом он подчеркивает, что введенные подобные возможныеперемещения являются условными и не имеют ничего общего с возможными перемещениями,введенными Лагранжем.
Как показано в работе [46], оба подхода оказались справедливыми,в определенном смысле эквивалентными и плодотворными, при этом удачно дополняющимидруг друга.6Очень важным в работах Н.Н. Поляхова [53] было введение обобщенного оператора Гамильтона, формируемого своими ковариантными компонентами как частные производные отуравнений связей по обобщенным скоростям. Частным случаем его при наложении голономных связей оказался классический оператор Гамильтона.
С помощью этого нового оператораформируется реакция идеальной нелинейной неголономной связи. Существенно, что он имеет конкретное векторное представление, вычисляемое в данный момент в данном положениисистемы при имеющихся обобщенных скоростях.
Очевидно, что в случае неголономных связей он не имеет ничего общего с классическим оператором Гамильтона (оператором набла),поэтому понятно, в чем скрывалась ошибка Е. Линделёфа и других.В работе [54], 1981 г. было показано, что ускорение системы уравнениями нелинейныхнеголономных связей разбивается на две ортогональных составляющих, одна из которыхполностью задается идеальными связями. Через два года это было повторено в учебникедля университетов [58], 1985 г. Опираясь на этот результат, авторам впервые удалось найтивыражения для множителей Лагранжа в виде функций времени и обобщенных координати скоростей (Отметим, что аналогичный результат при наложении голономных связей вначале двадцатого века был получен так же представителями Петербургского университетаА.М.
Ляпуновым и Г.К. Сусловым). Примерно через десять лет аналогичные результаты,опираясь в основном на матричное исчисление, были получены в статьях [9], [96], [98], [100],[103], [138], [140]. В этих работах были выведены уравнения, позволявшие находить движениеи реакции голономных и неголономных связей для системы сочлененных тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
