Диссертация (1149642), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Из выражений (4.5), (4.3) следует, чтоΛ∗ =x403x40 ṙṙ·r̈−r · r̈ .r3r457(6.6)Рис. II.6.2 Движение КА с постоянным по модулю ускорением(безразмерные дифференциальные уравнения)Численное интегрирование уравнения (6.6) при подстановке в него величины Λ∗ велосьв декартовых координатах. Начальные данные (4.4) дополнялись начальными данными поускорениям:ẍ(0) = ẍ0 = −1/x20 ,ÿ(0) = ÿ0 = 0 .Расчеты показали, что даже при очень малом эксцентриситете, причем независимо от x0 ,траектория уходит на бесконечность. Она асимптотически приближается к движению попрямой с постоянным ускорением.
Из рис. II.6.2 видно, что с ростом величины e процессвыхода на прямую ускоряется. Все кривые соответствуют случаю, когда x0 = 1 − e. Выходна движение по прямой с постоянным ускорением после приблизительно трех оборотов привеличине e ≈ 4 · 10−6 , когда движение до наложения связи с большой точностью удовлетворяло этой связи, говорит о некоторой интересной особенности данного решения. Попытаемсяпонять причину этого.Принцип, сформулированный Гауссом, при отсутствии активных сил и связей приводит кдвижению с нулевым ускорением W, что согласуется с первым законом Ньютона. Отметим,что из этого принципа могут быть получены уравнения динамики.Обобщенный принцип Гаусса, примененный к случаю, когда активные силы и связи отсутствуют, приводит к движению не с нулевым ускорением W, а с нулевой производной n-гопорядка по времени от вектора W, где n — порядок принципа.
Следовательно, при n = 1применение обобщенного принципа Гаусса при отсутствии активных сил и связей приведет кравноускоренному движению по прямой. На такое "естественное" в рамках данного принципадвижение и стремится выйти спутник (превращающийся в космический аппарат) даже приe ≈ 4·10−6 . Ясно, что рассматриваемая задача о движении спутника (космического аппарата)с постоянным по модулю ускорением может иметь решение, при котором он асимптотически58выходит на движение по прямой с этим постоянным ускорением.
Такое решение, как видим,и дает применение к данной задаче обобщенного принципа Гаусса первого порядка.Сравним теперь использование двух теорий движения неголономных систем со связямивысокого порядка на примере решения задачи о движении спутника, превращающегося вкосмический аппарат при закреплении в некоторый момент времени величины имеющегосяу него ускорения.При использовании первой теории в § 4 было получено движение спутника между двумяконцентрическими окружностями, а в § 3 эти окружности почти совпали друг с другом, тоесть эта теория улавливает в изучаемой сложной задаче элементы движения с постояннымускорением по окружности. В отличие от этого применение второй теории, использующейобобщенный принцип Гаусса, как показывает исследование в данном параграфе, приводит касимптотическому стремлению к равноускоренному движению по прямой.
Таким образом,применение этих обеих теорий в рассматриваемой задаче дополняет друг друга и дает полноерешение задачи.Особенно удачным оказывается применение обобщенного принципа Гаусса для решениязадачи о переводе механической системы за фиксированный промежуток времени из одногофазового состояния в другое. Этот подход позволил построить новый эффективный методдля решения указанной, одной из важнейших задач теории управления. Изложению этогометода и некоторому его развитию посвящены следующие две главы диссертации.59Г л а в а IIIПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕГОЛОНОМНОЙМЕХАНИКИ СО СВЯЗЯМИ ВЫСОКОГОПОРЯДКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОЙИЗ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯВ этой главе для решения одной из центральных задач теории управления — о выборе оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему за заданное время из одного фазового состояния в другое — предлагается применять теорию движениянеголономных систем со связями высокого порядка.
Показывается, что при решении поставленной задачи с помощью принципа максимума Понтрягина при минимизации функционала от квадрата управляющей силы непрерывно выполняется связь высокого порядка. Поэтому для решения той же задачи удобно применить обобщенный принцип Гаусса, свойственный теории движения неголономных систем со связями высокого порядка.Это позволяет построить управляющую силу в виде полинома от времени. Применениепредлагаемой теории демонстрируется на решении модельной задачи о гашении колебанийтележки с маятниками.
Ставится и решается расширенная краевая задача, в которойзадаются значения и ускорения в начале и в конце движения системы. Благодаря этомуудается находить управляющую силу без скачков, свойственных решению, полученному сиспользованием принципа максимума Понтрягина.§ 1.
Постановка одной из центральных задач теории управленияРассмотрим одну из основных задач теории управления о нахождении управляющей оптимальной силы, переводящей за заданное время механическую систему с конечным числомстепеней свободы из одного фазового состояния с конкретными обобщенными координатами и скоростями в новое фазовое состояние с заданными обобщенными координатами искоростями. В качестве модельного примера будем отыскивать управляющую силу F , перемещающую горизонтально движущуюся вдоль оси x тележку массы m за заданное времяTe на расстояние S. На тележке укреплены оси s математических маятников с массами mσи длинами lσ , σ = 1, s. На рис.
III.1.1 для определенности изображена тележка с двумя маятниками. Требуется переместить данную систему из первоначального состояния покоя в60новое положение покоя (при такой постановке задачи обычно говорят, что решается задачао гашении колебаний).Рис. III.1.1. Тележка с маятникамиСистема имеет s + 1 степень свободы, для описания ее движения введем координатуx, характеризующую горизонтальное смещение тележки, и углы поворотов маятников φσ ,σ = 1, s. Кинетическая и потенциальная энергия системы в случае малых колебаний имеютвид (g — ускорение силы тяжести)2T = mẋ2 +s∑mσ (ẋ − lσ φ˙σ )2 ,2Π = gσ=1s∑lσ mσ φ2σ ,σ=1поэтому уравнения Лагранжа второго рода запишутся следующим образом:M ẍ −s∑mσ lσ φ̈σ = F ,M =m+σ=1s∑mσ ,(1.1)σ=1ẍ − lσ φ̈σ = gφσ ,σ = 1, s .Очевидно, что здесь первое уравнение выражает закон движения центра масс всей системы:∑smσ l σ φ σM ẍc = F , xc = x − σ=1.MДля гашения колебаний рассматриваемой механической системы, то есть для наличияпокоя системы в начальный момент и для обеспечения прекращения колебаний при остановкесистемы, управляющая сила должна быть такой, чтобы выполнялись следующие краевыеусловия:x(0) = ẋ(0) = ẋ(Te) = 0 ,φσ (0) = φσ (Te) = 0 ,x(Te) = S ,φ̇σ (0) = φ̇σ (Te) = 0 ,(1.2)σ = 1, s .Для дальнейших исследований систему (1.1) удобно записать в главных координатах.Рассматриваемая механическая система имеет нулевую частоту и s ненулевых собственныхчастот Ωσ , σ = 1, s.
Используя собственные формы колебаний, соответствующие этим частотам, введем главные безразмерные координаты xσ , σ = 1, s, задавая их как линейныекомбинации углов φσ , σ = 1, s (для случая s = 2 этот довольно сложный переход подробнобудет описан в § 4). Переходя к безразмерному времени τ = Ω1 t и вводя (s + 1)-ю безразмерную главную координату x0 , пропорциональную перемещению центра масс рассматриваемой61механической системы, в результате получимx′′ = u ,0x′′ + ω 2 x = u ,σσ σ(1.3)σ = 1, s .Здесь u — управление, пропорциональное силе F , штрихи соответствуют производным побезразмерному времени τ , ωσ = Ωσ /Ω1 , σ = 1, s. В правых частях уравнений стоит одно и тоже безразмерное управление u, этого легко добиться соотвествующим изменением масштабовглавных координат.
Полученную систему дифференциальных уравнений (1.3), удовлетворяятребованиям (1.2), будем решать при следующих граничных условиях:x0 (0) = x′0 (0) = 0 , xσ (0) = x′σ (0) = 0 , T = Ω1 Te ,Sx0 (T ) = a ≡ , x′0 (T ) = 0 , xσ (T ) = x′σ (T ) = 0 ,l1(1.4)σ = 1, s .Система (1.3) имеет (s + 1) дифференциальных уравнений, из нее требуется найти неизвестные функции x0 , xσ , σ = 1, s. Но в этой же системе (1.3) неопределенной является ифункция u(t). Поэтому для решения поставленной задачи (1.3)–(1.4) необходимо добавитьеще одно условие.
Оно должно выражать тот принцип, который положен в основу выборауправления u(τ ) (управляющей силы F (t)) из всего множества возможных управлений, прикоторых рассматриваемая задача имеет решение. В монографии [79] при решении подобныхзадач выбор управления подчиняется условию минимальности функционала∫Tu2 dτ .J=(1.5)0Одним из наиболее принятых классических методов решения сформулированной задачиоптимального управления (1.3)–(1.5) является метод, опирающийся на использование принципа максимума Понтрягина [59].
Перейдем к изложению этого принципа применительно кисследуемой нами задаче.§ 2. Изложение принципа максимума Понтрягина применительнок решению поставленной задачиПри использовании принципа максимума Понтрягина исследуемая система дифференциальных уравнений записывается в виде системы уравнений первого порядкаqk′ = fk (q, u) ,(2.1)где k изменяется от единицы до удвоенного значения числа степеней свободы. При записи62системы (1.3) в виде (2.1) имеемk = 1, 2s + 2 ,q1 = x0 , q2 = x′0 ,f 1 = q2 , f 2 = u ,q2σ+2 = x′σ ,q2σ+1 = xσ ,f2σ+1 = q2σ+2 , f2σ+2 = u − ωσ2 q2σ+1 ,(2.2)σ = 1, s .Само название "принцип максимума Понтрягина" говорит о том, что изначально он формулировался для нахождения максимума соответствующего функционала.
Поэтому сейчаспри рассмотрении этого принципа будем обсуждать отыскание максимума введенного функционала (1.5), а позже, возвращаясь к задаче предыдущего параграфа, для отыскания минимума этого функционала достаточно будет в формуле (1.5) в подынтегральной функцииизменить знак на противоположный.Итак, ищется максимум функционала∫Tu2 dτ ,J=(2.3)0причем на отыскиваемое движение наложены неголономные связи (2.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
