Диссертация (1149642), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В нашем частном случае уравнения (1.1) примут видM ẍ − m1 l1 φ̈1 − m2 l2 φ̈2 = F ,ẍ − l1 φ̈1 = gφ1 ,ẍ − l2 φ̈2 = gφ2 ,(4.1)M = m + m1 + m2 .Выражая ẍ из первого уравнения и подставляя во второе и третье, получимFm1 l1 φ̈1 m2 l2 φ̈2++,MMMm1 l1 φ̈1 m2 l2 φ̈2F++.l2 φ̈2 + gφ2 =MMMl1 φ̈1 + gφ1 =(4.2)Введем в рассмотрение перемещение xc центра масс:xc = x −m1 l1 φ1 m2 l2 φ2−.MM(4.3)Перемещение xc и углы поворота маятников будем рассматривать как новые независимыелагранжевы координаты. Из выражения (4.3) следует, что первое уравнение в системе (4.1)может быть записано как уравнение движения центра массM ẍc = F .(4.4)Воспользуемся теоремой Кёнига при составлении кинетической энергии рассматриваемоймеханической системы в новых координатах, а выражением (4.3) — для записи в них элементарной работы. При этом окажется, что уравнениями Лагранжа второго рода относительнокоординат xc , φ1 и φ1 являются соответственно уравнение (4.4) и система (4.2).Для перехода к главным координатам необходимо, используя систему (4.2), определитьдве ненулевые собственные частоты и две собственные формы колебаний выделенной системы дифференциальных уравнений.

С целью простоты дальнейших вычислений представим67систему (4.2) следующим образом:F,M l1F−β φ̈1 + α(1 − γ)φ̈2 + k2 φ2 =.M l1(1 − β)φ̈1 − γαφ̈2 + k2 φ1 =(4.5)Здесьl2m2gm1, β=, γ=, k2 = .l1MMl1Полагая в системе (4.5) F = 0, ее частные решения будем искать в формеα=φσ = Bσ sin(Ωt + δ) ,σ = 1, 2 ,(4.6)(4.7)где Ω — искомая собственная частота.

Из системы (4.5) следует, что постоянные B1 и B2должны удовлетворять уравнениям(k2 − (1 − β)Ω2 )B1 + γαΩ2 B2 = 0 ,βΩ2 B1 + (k2 − α(1 − γ)Ω2 )B2 = 0 .(4.8)Приравнивая нулю определитель этой системы и обозначая Ω2 = k2 λ2 , придем к следующемууравнению относительно λ2 :α(1 − β − γ)λ4 − (1 + α − β − αγ)λ2 + 1 = 0 .(4.9)Следовательно, искомые собственные частоты таковы:λ21,2Ω2ν = k2 λ2ν , ν = 1, 2 ,√1 + α − β − αγ ∓ (1 + α − β − αγ)2 − 4α(1 − β − γ)=.2α(1 − β − γ)(4.10)Когда λ2ν принимает значения (4.10), уравнения (4.8) оказываются линейно зависимыми,отбросим последнее из них.

При каждом λ2ν , ν = 1, 2, получающиеся из первого уравненияпроизвольные постоянные Bνσ , σ = 1, 2, будут пропорциональны алгебраическим дополнениям ∆νσ , ν, σ = 1, 2, элементов последней строки характеристического определителя системы(4.8). Поэтому они вычисляются по формулам:∆ν1 = −αγλ2ν ,∆ν2 = 1 − (1 − β)λ2ν ,ν = 1, 2 .(4.11)Введение главных координат и запись в них уравнений управляемого движения тележки с двумя маятниками. Согласно общей теории, изложенной, например, вучебнике [58], наличие собственных векторов, задаваемых выражениями (4.11), позволяетследующим образом связать координаты φ1 , φ2 с главными координатами ξ1 , ξ2 :φ1 =2∑∆ν1 ξν ,φ2 =ν=12∑ν=168∆ν2 ξν .(4.12)Подставляя выражения (4.11) в первое уравнение системы (4.5), получаем(1 − β)2∑∆ν1 ξ¨ν − αγν=12∑∆ν2 ξ¨ν + k2ν=12∑∆ν1 ξν =ν=1F.M l1Отсюда и из соотношений (4.10) и (4.11) следует, что−αγ2∑(ξ¨ν + Ω2ν ξν ) =ν=1F.M l1(4.13)Воспользуемся теперь вторым уравнением системы (4.5).

Чтобы из него получить уравнение, аналогичное по своей структуре уравнению (4.13), необходимо будет учесть, что изуравнения частот (4.9) вытекают следующие соотношения:(1 − (1 − β)λ2ν )(1 − α(1 − γ)λ2ν ) = αβγλ4ν ,ν = 1, 2 .Поэтому можем написать∆ν2 = 1 − (1 − β)λ2ν =αβγλ4ν,1 − α(1 − γ)λ2νν = 1, 2 .(4.14)Используя формулы (4.14) при подстановке выражений (4.12) во второе уравнение системы(4.5), будем иметь2∑ν=1αβγλ2νF.(ξ¨ν + Ω2ν ξν ) =21 − α(1 − γ)λνM l1(4.15)Рассматривая теперь выражения (4.13) и (4.15) как систему двух линейных алгебраическихуравнений относительно неизвестных y = ξ¨1 + Ω21 ξ1 , z = ξ¨2 + Ω22 ξ2 , получаемF (1 + a2 ),αγM l1 (a1 − a2 )F (1 + a1 )ξ¨2 + Ω22 ξ2 =,αγM l1 (a2 − a1 )ξ¨1 + Ω21 ξ1 =(4.16)гдеaν =βλ2ν,1 − α(1 − γ)λ2νν = 1, 2 .(4.17)Уравнение (4.4) и система (4.16) являются искомыми уравнениями в главных координатах xc , ξ1 и ξ2 .

Целесообразно перейти в них к безразмерной переменной x0 = xc /l1 и кбезразмерному времени τ = Ω1 t, а также положитьx1 =В результате будем иметьαγ(a1 − a2 )ξ1 ,1 + a2x2 =x′′ = u ,0x′′ + ω 2 x = u ,σ σσαγ(a2 − a1 )ξ2 .1 + a1(4.19)σ = 1, 2 .Здесь штрихи соответствуют производным по безразмерному времени иu=F,M gλ21ωσ =69(4.18)Ωσ,Ω1σ = 1, 2 .Система (4.16) должна интегрироваться при граничных условияхx0 (0) = x′0 (0) = 0 , xσ (0) = x′σ (0) = 0 , σ = 1, 2 ,Sx0 (T ) = a ≡ , x′0 (T ) = 0 , xσ (T ) = x′σ (T ) = 0 .l1(4.20)Полученная система дифференциальных уравнений (4.19) является частным случаем приs = 2 системы (1.3), управление для которой с помощью принципа максимума Понтрягинабыло получено в предыдущем параграфе.

Поэтому оптимальное управление для гашения колебаний тележки с двумя маятниками, найденное с помощью того же принципа, получаетсяиз формулы (3.4) при s = 2 и имеет вид:u(τ ) = C1 + C2 τ + C3 cos ω1 τ + C4 sin ω1 τ + C5 cos ω2 τ + C6 sin ω2 τ .(4.21)Подставив управление (4.21) в интегралы Дюамеля (3.5) (напомним, что s = 2), из удовлетворения граничным условиям (4.20) при τ = T получим шесть линейных алгебраическихнеоднородных уравнений для нахождения коэффициентов Cσ , σ = 1, 6.Численные расчеты. Расчеты проводились для случая s = 2 и при a = 1. Тогда решениезависит от двух безразмерных параметровTT2T2,T1игде T1 и T2 — безразмерные периоды колебаний, соответствующих первой и второй ненулевымсобственным частотам.

Так как ω1 = 1, то T1 = 2π, в свою очередь T2 = 2π/ω2 .Рассматривались четыре случая движения:T = T2 ,T = 4 T2 ,T = 8 T2 ,T = 16 T2 ,при этом T2 = 0.5 T1 .(4.22)Используя интегралы Дюамеля (3.5) (еще раз напомним, что учитываем случай s = 2), послеподстановки в них функции (4.21) из удовлетворения граничным условиям (4.20) при τ = Tполучим для рассматриваемых случаев движения (4.22) следующие значения произвольныхпостоянных в формуле (4.21):T = T2 :C1 = 2174.6 ,C2 = −1384.4 ,C3 = −2102.12 ,C4 = 0 ,C5 = 0 ,C6 = 400.01 ;T = 4 T2 :C1 = 0.0469 ,C2 = −0.0075 ,C3 = 0 ,C4 = −0.0149 ,C5 = 0 ,C6 = −0.0075 ;C5 = 0 ,C6 = −0.0008 ;C5 = 0 ,C6 = −0.0001 .T = 8 T2 :C1 = 0.0099 ,C2 = −0.0008 ,C3 = 0 ,C4 = −0.0016 ,T = 16 T2 :C1 = 0.0024 ,C2 = −0.0001 ,C3 = 0 ,C4 = −0.0002 ,70Результаты расчетов, полученные с учетом этих значений, представлены в § 6 на рис.

III.6.1–III.6.4 пунктирными линиями.Как видно из этих графиков, все кривые симметричны относительно точки, соответствующей середине движения. Помимо этого, результаты расчетов имеют две характерные особенности. Во-первых, управление имеет скачки в начале и в конце движения, что очевидно,так как согласно формуле (4.21) не равны нулю значения u(0) и u(1). Поэтому в начале и вконце процесса возникают большие колебания координат x1 и x2 . Во-вторых, при длительном движении в механической системе развиваются интенсивные колебания и в течение всегодвижения, что и ожидалось, так как управление, найденное с помощью принципа максимумаПонтрягина, содержит гармоники с собственными частотами системы.§ 5. Связь решения, полученного с помощьюпринципа максимума Понтрягина,с неголономной задачейКак было видно из предыдущего изложения, представление размерных дифференциальных уравнений (1.1) горизонтального движения тележки с s маятниками в виде безразмерных независимых уравнений в главных координатах (1.3) (при задании граничных условий(1.4)) оказалось весьма эффективным.

Именно благодаря этому при гашении колебаний рассматриваемой механической системы с помощью использования принципа максимума Понтрягина при минимизации функционала (1.5) удалось построить безразмерное управление ввиде простой формулы (3.4):u(τ ) = C1 + C2 τ +s∑(C2σ+1 cos ωσ τ + C2σ+2 sin ωσ τ ) .(5.1)σ=1Эта формула позволяет посмотреть на полученное с помощью принципа максимума Понтрягина решение с совершенно новой и интересной точки зрения, которая позволит соединитьдве абсолютно различные области механики — теорию управления и неголономную механику.С этой целью обратим, прежде всего, внимание на то, что полученное по принципу максимума Понтрягина управление (5.1) можно рассматривать как решение дифференциальногоуравнения( 2)( 2)( 2)d2ddd222+ ω1+ ω2 .

. .+ ωs u = 0 .(5.2)dτ 2 dτ 2dτ 2dτ 2Частным случаем решения (5.1) при s = 2 является решение (4.21), которому соответствуетчастный случай уравнения (5.2), записываемый в виде( 2)( 2)d2dd22+ ω1+ ω2 u = 0 .dτ 2 dτ 2dτ 2Возвращаясь в уравнении (5.3) к размерным переменным, будем иметь()( 2)d2 d2d22+ Ω1+ Ω2 F = 0 .dt2 dt2dt271(5.3)(5.4)Подставим теперь в уравнение (5.4) выражение для F из первого уравнения первоначальной системы (4.1). Тогда получим дифференциальное уравнение 8-го порядка относительнообобщенных координат x, φ1 и φ2 :a8,xd8 xd8 φ1d8 φ2d6 φ1d 6 φ2d6 x+a+a+a+a+a+8,φ18,φ26,x6,φ16,φ2dt8dt6dt8dt6dt6dt6d4 xd4 φ1d4 φ2+a4,x 4 + a4,φ1+ a4,φ2= 0.dtdt4dt4(5.5)Постоянные коэффициенты этого уравнения связаны с параметрами механической системыформулами:a8,x = M + m1 + m2 ,a6,x = (Ω21 + Ω22 )(M + m1 + m2 ) ,a4,x = Ω21 Ω22 (M + m1 + m2 ) ,a8,φ1 = −m1 l1 ,a8,φ2 = −m2 l2 ,a6,φ1 = −(Ω21 + Ω22 ) m1 l1 ,a4,φ1 = −Ω21 Ω22 m1 l1 ,a6,φ2 = −(Ω21 + Ω22 ) m2 l2 ,a4,φ2 = −Ω21 Ω22 m2 l2 .Таким образом, решению поставленной задачи при s = 2 с использованием принципа максимума Понтрягина соответствует решение некоторой неголономной задачи при наложениисвязи (5.5) восьмого порядка.Отметим, что задав другое число s, из уравнения (5.2), переписанного в размерных величинах, получим вместо (5.5) дифференциальное уравнение порядка 2s + 4 относительнообобщенных координат, в котором постоянные коэффициенты, как и ранее, будут вычисляться через размерные параметры рассматриваемой механической системы.

Характеристики

Список файлов диссертации