Диссертация (1149642), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В случае задания нелинейных связей для использования теории их следует предварительно продифференцировать по времени. Отметим, что влияние нелинейности связейподробно обсуждается в монографии [28]. Центральным местом во второй теории движениянеголономных систем со связями высокого порядка является обобщенный принцип Гаусса, предложенный еще в 1983 г. [28]. Следует отметить,что впервые он был сформулированМ.А. Чуевым [84], а позже независимо от этого, введя линейные преобразования сил, егострого сформулировали Н.Н.
По́ляхов, С.А. Зегжда и М.П. Юшков [28].Обсуждение принципа Гаусса. Вернемся первоначально к классической формулировке принципа Гаусса (см. формулы (5.39) и (5.40) главы I)δ ′′ Z = 0 ,(5.1)где принуждение по Гауссу равноMZ=2()2YW−.M(5.2)Эти формулы эквивалентны записи (формула (5.38) главы I)()M W − Y · δ ′′ W = 0 .(5.3)Так как имеет место второй закон НьтонаMW = Y + R ,(5.4)то, исходя из формы (5.3), принцип Гаусса можно переписать и в видеδ ′′ (R)2 = 0 .(5.5)Напомним, что эти формулы справедливы для идеальных линейных неголономных связейвторого порядка (3.5):σl+κf2κ (t, q, q̇, q̈) ≡ al+κ2σ (t, q, q̇) q̈ + a20 (t, q, q̇) = 0 ,52κ = 1, k .(5.6)Рис.
II.5.1. Ускорение точки при наличии связи второго порядкаКак показано в главе I (формула (3.9)), уравнения связей (5.6) можно записать в виде скалярных произведенийε l+κ · W = χκ2 (t, q, q̇) ,κ = 1, k .(5.7)В пространстве ускорений уравнения (5.7) задают l-мерную плоскость (дальнейшие рассуждения полезно иллюстрировать рисунком II.5.1, характеризующим ускорение точки при наложении на ее движение связи второго порядка; далее пояснения, относящиеся к этому рисунку, будут даваться в скобках).
Расстояние этой плоскости от начала координат задается−−→перпендикулярным к ней вектором WK (вектор ON ), определяемым уравнениями плоскости(5.7).Перепишем уравнение Ньютона (5.4) в видеW = Y/M + R/M .(5.8)При идеальных связях R = RK , в то же время согласно утверждению (5.5) вектор реакцииR должен иметь наименьшую величину, поэтому при заданной активной силе Y/M (век−−→тор ON1 ) вектор реакции R/M = RK /M должен строиться как перпендикуляр к введенной−−−→плоскости, проведенный из конца вектора Y/M (вектор N1 M1 ).
Тем самым получаем, чтопри данной активной силе и линейных идеальных связях второго порядка ускорение точки характеризуется вектором W = WK + WL , оканчивающемся на "плоскости ускорений"−−−→ −−→ −−−→(векторы OM1 = ON + N M1 ).Обобщенный принцип Гаусса. Как указывалось выше, строго обобщенный принципГаусса был сформулирован Н.Н. По́ляховым, С.А. Зегждой и М.П. Юшковым в 1983 г. [28] наоснове введения понятия линейного преобразования сил. Однако существо этого принципалегко пояснить, расширяя приведенную выше геометрическую иллюстрацию классическогопринципа Гаусса.53Рассмотрим случай наложения на движение механической системы линейных неголономных связей третьего порядка......
σq + al+κf3κ (t, q, q̇, q̈, q ) ≡ al+κ3σ (t, q, q̇, q̈)30 (t, q, q̇, q̈) = 0 ,κ = 1, k .(5.9)Этими уравнениями в пространстве векторов Ẇ задается l-мерная плоскость, на которойдля удовлетворения связей (5.9) должны находиться концы этих векторов. Если теперь на... ... ...рисунке II.5.1 заменить величины ÿ1 , ÿ2 , ÿ3 на y 1 , y 2 , y 3 , а векторы W, WK , WL , Y, RKна векторы Ẇ, ẆK , ẆL , Ẏ, ṘK , то аналогично предыдущему пункту можно утверждать,что в случае задания связей (5.9) минимизируется величина Ṙ/M = ṘK /M , а тем самымвыполняется аналогично формуле (5.1) утверждениеδ ′′′ Z(1) = 0 ,где введено обозначениеZ(1)M=2(5.10)()2ẎẆ −.M(5.11)Запись (5.10) можно рассматривать как обобщенный прнцип Гаусса, справедливый при наложении связей (5.9).
Значок ”(1)” в формулах (5.10) и (5.11) указывает на порядок обобщенного принципа по отношению к классическому принципу Гаусса, а три штриха в записи(5.10) подчеркивают, что вариируются лишь третьи производные от обобщенных координат.Аналогично соотношению формул (5.1) и (5.3) обобщенный принцип Гаусса (5.10) можнопереписать в виде()M Ẇ − Ẏ · δ ′′′ Ẇ = 0 .(5.12)Полученный обобщенный принцип Гаусса первого порядка в случае задания линейныхнеголномных связей порядка (n + 2) легко обобщается на обобщенный принцип Гаусса n-гопорядкаδ (n+2) Z(n) = 0 ,где введено обозначениеZ(n)M=2(5.13)( (n) (n) )2YW−.M(5.14)В формулах (5.13), (5.14) индекс (n) означает порядок производной по времени от вектора, аиндекс (n+2) указывает на то, что частный дифференциал вычисляется при фиксированных(n+1)t, q σ , q̇ σ , ...
, q σ .При использовании принципа (5.10) должны быть заданы начальные условия (2.20).(n)(n)(n)Минимизируемый в данном пункте по величине вектор ℜ ≡ R = M W− Y можно назватьусловно "реакцией" линейных неголономных связей порядка (n + 2).54§ 6. Применение обобщенного принципа Гауссадля исследования движения спутникас постоянным по модулю ускорениемПрименим изложенную в предыдущем параграфе вторую теорию движения механическихсистем для исследования движения спутника Земли с постоянным по модулю ускорением.Размерные дифференциальные уравнения. Вернемся к задаче, рассмотренной в § 3.В этом случае на движение спутника массой m, вращающегося вокруг Земли, накладываетсялинейная неголономная связь (3.2). При наложении линейной неголономной связи третьегопорядка для решения задачи применим обобщенный принцип Гаусса (5.12), который длярассматриваемой задачи запишется в виде()mẇ − Ḟ · δ ′′′ ẇ = 0 ,(6.1)где F — сила притяжения спутника Землей.Вводя для производных от векторов обозначенияU = ẇ ,P = Ḟ ,принцип (6.1) перепишем в виде(mUρ − Pρ )δ ′′′ U ρ = 0 ,ρ = 1, 2 .(6.2)На основании формулы (2.14) можем записатьU1 = ẇ1 − Γτ1σ wτ q̇ σ ,U2 = ẇ2 − Γτ2σ wτ q̇ σ ,w1 = wr = r̈ − rφ̇2 ,σ, τ = 1, 2 ,w2 = wφ = r2 φ̈ + 2rṙφ̇ .Контравариантные компоненты δ ′′′ U ρ , ρ = 1, 2, в нашей задаче выражаются следующимобразом:......δ ′′′ U 1 = δ ′′′ r ,δ ′′′ U 2 = δ ′′′ φ .......В то же время вариации δ ′′′ r и δ ′′′ φ согласно связи (3.2) связаны соотношением...c3r ′′′ ...δ ′′′ φ = −δ r,c3φпоэтому принцип (6.2) примет вид()c3r...mU1 − P1 −(mU2 − P2 ) δ ′′′ r = 0 .c3φ(6.3)В нашей задаче для обобщенных сил Q1 , Q2 и произведений M W1 , M W2 имеем выраженияQ1 = −µm/r2 ,M W1 = m(ṙ − rφ2 ) ,Q2 = 0 ,M W2 = m(2rṙω̇ + r2 φ̈) .55Рис.
II.6.1. Движение КА с постоянным по модулю ускорением(размерные дифференциальные уравнения)Пользуясь формулой (2.14), получаемU1 = Ẇ1 − Γ111 W1 ṙ − Γ211 W2 ṙ − Γ112 W1 φ̇ − Γ212 W2 φ̇ ,U2 = Ẇ2 − Γ221 W1 ṙ − Γ221 W2 ṙ − Γ212 W1 φ̇ − Γ222 W2 φ̇ ,P1 = q̇1 − Γ111 Q1 ṙ − Γ211 Q2 ṙ − Γ112 Q1 φ̇ − Γ212 Q2 φ̇ ,P2 = q̇2 − Γ121 Q1 ṙ − Γ221 Q2 ṙ − Γ122 Q1 φ̇ − Γ222 Q2 φ̇ .Так как символы Кристоффеля равныΓ111 = Γ211 = Γ112 = Γ121 = Γ222 = 0 ,1Γ212 = Γ221 = ,Γ122 = −r ,rто последние формулы можно записать следующим образом:...U1 = r − 3rφ̇φ̈ − 4ṙφ̇2 ,P1 = 2µmṙ/r3 ,...U2 = 3rṙφ̈ + r2 φ + 3rṙφ̇ − r2 φ̇3 ,P2 = −µmφ̇/r .56Теперь уравнение движения КА согласно формуле (6.3) после сокращения на m можнопредставить в виде...rφ̇2 − r̈...r − 3rφ̇φ̈ − 4ṙφ̇2 + (3rṙφ̈ + r2 φ + 3rṙφ̇ − r2 φ̇3 )=2rṙφ̇ + r2 φ̈2µṙ µφ̇ rφ2 − r̈= 3 −.rr 2rṙφ̇ + r2 φ̈Присоединяя к этому уравнению уравнение связи (3.2) и разрешая полученную систему двух... ...алгебраических относительно r и φ уравнений, окончательно имеем:...r = ((3rφ̇φ̈ + 3ṙφ̇2 + 2µṙ/r3 )(2rṙφ̇ + r2 φ̈)2 ++(r2 φ̇3 − 3rṙφ̈ − 3rr̈φ̇ − µφ̇/r)(rφ̇2 − r̈)(2rṙφ̇ + r2 φ̈)++(3ṙr̈φ̇2 + 2r2 φ̇3 φ̈ + rṙφ̇4 + 6ṙ2 φ̇φ̈) + 3rṙφ̈2 )(rφ̇2 − r̈)r2 )((2ṙφ̇ + rφ̈)2 + (r̈ − rφ̇2 )2 )−1 r−2 ,...φ = ((3rφ̇φ̈ + 3ṙφ̇2 + 2µṙ/r3 )(2rφ̇2 − r̈)(rφ̇2 − r̈)(2rṙφ̇ + r2 φ̈)+(6.4)+(r2 φ̇3 − 3rṙφ̈ − 3rr̈φ̇ − µφ̇/r)(rφ̇2 − r̈)2 −−(3rṙr̈φ̇2 + 2r2 φ̇3 φ̈ + rṙφ̇4 + 6ṙ2 φ̇φ̈ + 3rṙφ̈2 )(2rṙφ̇ + r2 φ̈)((2ṙφ̇ + rφ̈)2 + (r̈ − rφ̇2 )2 )−1 r−2 .Исследуем движение советского спутника системы "Космос" , рассмотренного в § 3.
Проводя расчеты согласно дифференциальным уравнениям (6.4) при начальных данных, полученных в § 3 (расчеты проведены для начальных углов φ(0) = 0 и φ(0) = π/2), обнаруживаем(см. рис. II.6.1), что спутник Земли превращается в КА и, сделав несколько оборотов вокругЗемли, по спирали стремится к прямолинейному движению.Безразмерные дифференциальные уравнения. Рассмотрим теперь решение данной задачи, вытекающее из обобщенного принципа Гаусса, приведенное в монографии [28].Дифференцируя уравнение связи (4.5) по времени, получаем...r̈ · r = 0 .(6.5)Определяя минимум функцииZ(1) =ṙ3ṙr 2m ...r + 3 − 4 2rr...на множестве значений r , допускаемых уравнением (6.5), придем к уравнению3ṙṙ...r = − 3 + 4 r + Λ∗ r̈ ,rrгде Λ∗ — искомый множитель Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
