Диссертация (1149642), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Учитываяуравнение связи (3.2), получим интересующее нас уравнение типа (2.17):Λ̇ = −2µ ṙ.w02 r 5 Λ(3.7)Интегрирование системы дифференциальных уравнений (3.4), (3.7) дает решение поставленной задачи: при заданной силе притяжения Земли будет найдено движение искусственного спутника Земли с постоянным по модулю ускорением, для чего к нему надо приложитьнайденную дополнительную силу (управляющую силу), формируемую множителем Лагранжа Λ, который будет найден как функция времени после решения системы уравнений (3.4),(3.7).46В качестве конкретного расчета рассмотрим движение одного из советских спутниковсистемы "Космос" , бывшего в перигее π и в апогее α над поверхностью Земли соответственнона высотах Hπ =183 км, Hα =244 км.
Считаем, что радиус Земли R3 и ускорение g0 силытяжести на поверхности имеют значения [58]:g0 = 9.820 · 10−3 · км · c−2 .R3 = 6371 км ,Тогдаrπ = 6554 , rα = 6615 , µ = g0 RЗ2 = 39859027 · 10−2 · км3 · c−2 ,rα − rπe== 4.6320905 · 10−3 , p = rπ (1 + e) = 65843587 · 10−4 · км ,rα + rπ√C = pµ = 51229496 · 10−3 · км2 · c−1 (постоянная площадей) .(3.8)Рис. II.3.1. Движение ИСЗ с постоянной величиной ускоренияБудем рассматривать дальнейшее движение космического аппарата, когда у спутника,находящегося в перигее π, закрепляется имеющееся у него ускорение wπ .Воспользуемся известными формулами (см.
[58], e — эксцентриситет орбиты, p — фокальный параметр):r=p,1 + e cos φφ̇ =C,r2ṙ =peφ̇ sin φ,(1 + e cos φ)2φ̈ = −2ṙφ̇,rr̈ = rφ̇2 −mu.r2Если в них подставить численные значения (3.8), то получим начальные данные для интегрирования системы дифференциальных уравнений (3.4), (3.7):r(0) = rπ ;φ(0) = φπ = 0 ;ṙ(0) = ṙπ = 0 ;φ̇(0) = φ̇π =r̈(0) = r̈π = rπ φ̇2π −φ̈(0) = φ̈π = −C= 1.192634 · 10−3 ;rπ2µ= −8.3669088 · 10−2 ;rπ22ṙπ φ̇π= 0;rπwπ2 = w2 (0) = (r̈π − rπ φ̇2π )2 + (rπ φ̇π + 2ṙπ φ̇π ) = 8.6473891 · 10−3 ;2µ3= 3.674501 · 1013 ;wπ2примем, что Λ(0) = 0 .47Результаты расчетов представлены на рис.
II.3.1. Из левой части рисунка видно, что изучаемый спутник при постановке исследуемой задачи практически движется по окружности.Отметим, что исходно спутник при параметрах орбиты (3.8) движется по почти круговойорбите. Большинство спутников Земли запускались именно подобным образом, что позволяло при расчетах их движения пользоваться малостью эксцентриситета e орбиты. На правойчасти рисунка изображена зависимость от времени множителя Лагранжа, формирующегоуправляющую силу, обеспечивающую выполнение программы движения, заданной в видедифференциального уравнения (3.2).§ 4.
Движение искусственного спутника Землис постоянным по модулю ускорением.Безразмерные дифференциальные уравнения движенияПроведенный в предыдущем параграфе расчет движения конкретного спутника при описании его движения в размерных коодинатах привел к почти круговому движению спутника.Это объяснялось тем, что эксцентрисет его орбиты e был весьма малой величиной. Для выяснения интересных особенностей движения спутника (космического аппарата) с постояннымускорением, следуя монографии [28], перейдем к безразмерной форме уравнений движения.Итак, рассматриваем движение космического аппарата (КА) в поле притяжения Земли.В этом случае он будет двигаться по эллиптической орбите.
Потребуем, чтобы начиная снекоторого момента времени движение КА происходило с постоянным ускорением. Как было установлено в предыдущем параграфе, это условие можно рассматривать как наложениена движение КА нелинейной неголономной программной связи второго порядка. Моментналожения связи может соответствовать любой точке орбиты, предполагается, что дополнительная сила в этот момент отсутствует.Движение спутника по эллиптической орбите описывается уравнениемd2ρµρρ=− 3 ,2dtρµ = γM ,ρ = |ρρ| .(4.1)Здесь ρ — радиус-вектор, соединяющий центр Земли со спутником, γ — гравитационнаяпостоянная, M — масса Земли.
Постоянная µ может быть представлена в виде [58]µ=4π 2 a3,T2где a — большая полуось эллиптической орбиты спутника, а T — время полного оборота.Уравнение (4.1) в безразмерных переменныхr = xi + yj = ρ /a ,τ = 2πt/Tзапишется в видеr̈ = −r/r3 ,48r = |r| .(4.2)Здесь и в дальнейшем производная по безразмерному времени τ обозначается точкой. Интеграл энергии и интеграл площадей уравнения (4.2) имеют вид [58]:v 2 = 2/r − 1 ,v = |ṙ| ,r2 φ̇ =√1 − e2 ,(4.3)где e — эксцентриситет эллиптической орбиты.
Пусть в исходный момент, начиная с которогоКА должен двигаться с постоянным ускорением, он находится на оси x. Не умаляя общности,можно принять, что начальные данные при этом таковы:√x(0) = x0 , ẋ(0) = ẋ0 = 2x0 − x20 − 1 + e2 /x0 ,√y(0) = y0 = 0 , ẏ(0) = ẏ0 = 1 − e2 /x0 , 1 − e 6 x0 6 1 + e .(4.4)Уравнение связи в принятых обозначениях запишется в видеr̈2 − 1/x40 = 0 .(4.5)Данное уравнение будет, в частности, выполняться в случае, когда вектор r̈, коллинеарныйвектору r, будет постоянным по величине. При этом производная по времени от вектора r̈будет ортогональна вектору r, то есть будем иметь...er · r = 0 ,er = r/r .(4.6)Это уравнение является линейной неголономной программной связью третьего порядка. Таким образом, система уравнений (1.2) в данной задаче сводится к одному уравнению (4.6).Будем считать, что КА снабжен обобщенной управляющей силой Λ, при которой векторуправляющей силы равенR = Λer .(4.7)Из уравнения (4.6) следует, что при данной силе R управление будет идеальным.Движение КА, начиная с момента наложения связи (4.6), описывается уравнениемr̈ = −rr+Λ .3rr(4.8)В момент наложения связи управляющая сила отсутствует, то естьΛ(0) = 0 .(4.9)Дифференцируя выражение (4.8) по τ , получаем3ṙrṙṙrṙ...r = − 3 + 4 r + Λ̇ + Λ − Λ 2 .rrrrrУмножая это уравнение скалярно на r и учитывая уравнение связи (4.6), а также то, чтоr 2 = r2 ,r · ṙ = rṙ ,приходим к уравнениюΛ̇ = −492ṙ.r3(4.10)Таким образом, система уравнений (2.17) в данной задаче сводится к одному уравнению(4.10).
Полагая в немΛ̇ =dΛṙ ,drполучимdΛ2=− 3.drṙИнтегрируя это уравнение и учитывая, что в соответствии с выражениями (4.4) и (4.9) Λ = 0при r = x0 , будем иметьΛ=11− 2.2rx0Подставляя это выражение в уравнение (4.8), получимr̈ = −r/(rx20 ) .(4.11)Уравнение (4.11) позволяет в нашей задаче найти движение, удовлетворяющее уравнению(4.5), не зная той управляющей силы R = Λr/r, благодаря которой оно осуществляется.Однако для того, чтобы оно реально произошло, эту силу необходимо знать как функциювремени. Поэтому не будем исключать управляющую силу из уравнения (4.8), а будем егорассматривать совместно с уравнением (4.10).Проектируя векторное уравнение (4.8) на орты полярной системы координат er = r/r иeφ , получим1= Λ,r2rφ̈ + 2ṙφ̇ = 0 .r̈ − rφ̇2 +(4.12)Дополняя эти два уравнения уравнением (4.10), получим замкнутую систему уравнений,позволяющую найти и движение, и управляющую силу.Численное интегрирование системы уравнений (4.10), (4.12) велось при начальных данныхr(0) = x0 = 1 − e , ṙ(0) = 0 , φ(0) = 0 ,√φ̇(0) = 1 − e2 /x20 , Λ(0) = 0 .Расчеты показали, что при любом значении эксцентриситета e, отличном от нуля и единицы, траекторией движения КА является кривая, лежащая между двумя концентрическимиокружностями радиусов r1 и r2 , которые являются положительными корнями уравнения (см.[58], стр.
168-169)2r3 − (4 − x0 )x0 r2 + x20 (1 − e2 ) = 0 .Отметим, что движение между окружностями этих радиусов не является периодическим втом смысле, что точка никогда не возвратится в исходное положение за целое число оборотов.В качестве примера на рисунках II.4.1, II.4.2, II.4.3 приведены результаты расчетов в интервале времени 0 6 t 6 T /2 (0 6 τ 6 π) при e = 0.4.
На рис. II.4.1 тонкими линиями50Рис. II.4.1. Траектория движения КАРис. II.4.2. Годограф управляющей силыРис. II.4.3. График управляющей силыпоказаны исходная эллиптическая орбита, а также концентрические окружности соответственно радиусов r1 = 0.6 и r2 = 0.754, между которыми лежит решение уравнения (4.11).Оно изображено жирной линией.Годограф управляющей силы R = Λ(τ )r/r, обеспечивающей данное движение, нарис. II.4.2 изображен жирной линией. При его рассмотрении следует иметь в виду, что вовсе время движения Λ 6 0.
График функции Λ(τ ) изображен на рис. II.4.3. Отметим, чтовеличина Λ, как следует из уравнений (4.1) и (4.8), измеряется в долях силы тяготения F ,где F = µm/a2 . Здесь m — масса спутника. Такую управляющую силу легко осуществить51технически, поставив дополнительный реактивный двигатель, тяга которого направлена отКА к притягивающему центру.
Именно такую силу задавала формула (4.7), причем функцияΛ(τ ) оказалась отрицательной или равной нулю.§ 5. Вторая теория движения неголономных системсо связями высокого порядка.Обобщенный принцип ГауссаПри обсуждении второй теории движения неголономных систем со связями высокого порядка, созданной С.А. Зегждой, Ш.Х. Солтахановым, М.П. Юшковым, как и в первой теории,будем ограничиваться рассмотрением только линейных относительно старших производныхсвязей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
