Диссертация (1149530), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Так, например, в работе [67]76они применимы только для определенного вида функции, зависящей отконструктивных параметров покрытия, и предполагают наличие ограничений наоптические параметры покрытий.К сожалению, аналитические методы имеют ряд недостатков: при решениисложных задач, требующих анализа покрытия с большим количеством слоев, ониприводят к громоздким выражениям, а также полученные этими методамиструктуры покрытий не всегда могут быть реализуемы на практике. Поэтому, всвязи с развитием в настоящее время электронно-вычислительной техники (ЭВТ)задачисинтезаразличныхинтерференционныхпокрытийрешаютсяпреимущественно численными методами. Аналитические методыпозволяютэффективно решать только простые задачи синтеза покрытий, так как имеют ряддопущений и в основном используются на ранних этапах проектирования ИП.3.1.2.

Численные методы оптимизации характеристик покрытияВ связи с развитием вычислительной техники применение численныхметодов значительно упростилось, и появилась возможность более широкого ихиспользования путем создания специализированных компьютерных программ,основанных на задачах оптимизации оценочных функций (функций качества) [76,94, 95].Численные методы синтеза многослойных покрытий – это методы решениязадачи минимизации функции качества F. Функция качества F зависит отконструктивных параметров покрытия (толщин и показателя преломления слоев)и характеризует отклонение требуемой спектральной характеристики от ееприближения. При этом минимуму функции соответствует наилучшее совпадениехарактеристик, т.е.

совпадение синтезированного спектра с заданным. Отличиечисленных методов от аналитических заключается в том, что ограничения напараметры слоев учитываются уже на этапе формулирования задачи.77В общем виде задача оптимизации формулируется следующим образом [2]:требуется минимизировать скалярную функцию F в области D.F ( X * )  min F ( X )(3.1.2)XDгде Х – 2N-мерный вектор, определенный в линейном пространстве Е2N. Здесь N –число слоев покрытия.

Вектор X называется вектором конструктивныхпараметров, координатами которого в общем случае являются показателипреломления ni и оптические толщины di слоев интерференционного покрытия.ДопустимаяобластьD  E 2Nопределяетсявозможностьюпрактическойреализации покрытия.Значение функции F(Х*) называется глобальным минимумом, если для всейдопустимой области D выполняется условие F(Х*)< F(Х). Если это условиевыполняется только для некоторой части допустимой области, тоF(Х*)называется локальным минимумом. В общем виде задача нахождения глобальногоминимума не решена.При конструировании интерференционных покрытий к ограничениямотносятся верхние и нижние границы интервала возможного измененияпоказателей преломления и толщин слоев.

Таким образом, область Dопределяется неравенствами:min{ni}< ni<max{ni}min{di}< di<max{di} при i =1, 2 ... NЗдесь символы max и min - обозначают максимальное и минимальноезначение величины, заключенной в фигурные скобки.При характеристике метода минимизацииважным является не столькоскорость его сходимости, сколько общий объем вычислений, общее машинноевремя, необходимое для получения решения с нужной точностью.Выбор оценочной функции и постановка задачи синтеза.

Серьезныетрудности для всех методов возникают тогда, когда число слоев синтезируемого78покрытия должно быть велико (более 8-10 слоев), а хорошие начальныеконструкции неизвестны. Эти трудности удается в значительной степенипреодолеть за счет использования специфических методов минимизацииоценочных функций, задаваемых формулами 3.1.3-3.1.4 [95].значительнорасширяютвозможностисинтеза.СихЭти методыпомощьюудаетсясинтезировать покрытия с весьма сложными спектральными характеристиками,для которых неизвестны хорошие начальные приближения.Современные методы проектирования многослойных оптических системрассмотримнапримеретакназываемыхдвухкомпонентныхпокрытий,состоящих из слоев с чередующимися показателями преломления nН и nВ (nН <nВ). В общем виде структура двухкомпонентного покрытия изображена на рис.3.1.1.

При числе слоев, равном m, она полностью описывается толщиной слоев d1,d2,…, dm. Нумерация слоев произведена в направлении от подложки, на которуюнанесенопокрытие,квнешнейсреде,изкоторойпадаетплоскаяэлектромагнитная волна. При синтезе двухкомпонентных покрытий искомымипараметрами являются толщины его слоев.Рис. 3.1.1. Структура двухкомпонентного покрытия79Двухкомпонентные покрытия являются наиболее технологичными прииспользованиисовременнойнапылительнойтехники.Крометого,какпоказывает специальное математическое исследование [96, 97], именно среди нихследует во многих случаях искать оптимальные решения задачи синтеза.Рассмотрим сначала проблему синтеза двухкомпонентных покрытий принормальном падении света. Интересующей нас при синтезе спектральнойхарактеристикой будем считать энергетический коэффициент отражения.

ПустьR(к) - требуемый вид спектральной зависимости этого коэффициента. В качествеспектрального параметра далее будем использовать волновое число падающейволны в вакууме k, связанное с длиной волны λ равенством к=2π/λ. Вслучаене существует многослойногопокрытия,общемобладающего в точноститребуемым коэффициентом отражения R(к) [94]. Поэтому можно ставить вопрослишь о синтезе многослойного покрытия, коэффициент отражения, которого вкаком-то смысле близок к R(к).Введем m-мерное пространство искомых параметров системы.

Егоэлементами являются векторы X={ d1, d2,…, dm }. Коэффициент отражениямногослойной системы, описываемой вектором X, обозначим R(X,к). Пусть кН, кВ– нижняя и верхняя границы интересующего нас при синтезе спектральногодиапазона.Дляоценкиблизостикоэффициентаотраженияпокрытия,описываемого вектором X, к требуемой зависимости R(к) наиболее широкоиспользуется среднеквадратичная функция качества:кВF ( X )   [ R( X , к )  R(к )]2 dккНВ среднеквадратичную оценку часто вводят весовую функцию v(к):кВF ( X )   v(к )[ R( X , к )  R(к )]2 dк(3.1.3)кНВведение весовой функции позволяет по-разному оценивать близость R(X,к)и R(к) на разных участках спектра и за счет этого добиваться большей близости80R(X,к) и R(к) на наиболее важных участках спектра за счет возможногоухудшения точности аппроксимации на других.

Весовую функцию частоцелесообразнокорректироватьвпроцессесинтезапопромежуточнымрезультатам минимизации оценочной функции.Так как при численном решении задачи синтеза невозможно рассчитатьспектральнуюхарактеристикуR(X,к)вовсехточкахрассматриваемогоспектрального диапазона, то в этом диапазоне вводится некоторая сетка волновыхчисел и вычисления производятся для значений к из этой сетки.

Пусть общеечисло точек сетки равно L. Сами точки обозначим к1, к 2,…, кL (при этом к1= кН,кL= кВ). Интегралы на ЭВТ всегда вычисляются по некоторым квадратурнымформулам, сводящим их к суммам по заданной сетке волновых чисел. Поэтомуоценочную функцию можно сразу задавать в виде:LF ( X )   v l [ R ( X , к l )  R ( к l )] 2l 1(3.1.4)где vl - неотрицательные весовые множители.В начале решения задачи весовые множители, как правило, полагаютравными единице. В дальнейшем они могут корректироваться.Часто в различных научных источниках в зависимости от решаемой задачии методов ее решения предлагаются различные формы записи функции качества[95]. Но, так или иначе, задача синтеза сводится к минимизации функции качества(3.1.2).Численные методы оптимизации характеристик покрытия можно разделитьна две категории – методы, требующие начального (нулевого) приближения [2,94] и методы автоматического конструирования, для которых начальнаяконструкция неизвестна [67, 98-100].

Методы синтеза, использующие начальноеприближение, в свою очередь можно разделить на локальные и нелокальные [67].В первом случае, ищется локальный минимум функции качества структур наоснове аналитических методов синтеза, либо выбирается среди известных систем.81В том случае, если нет достаточно «хорошего» начального приближения или жесинтез при известных начальных приближениях не приводит к получениюудовлетворительного решения, применяются нелокальные методы синтеза,сочетающие случайный поиск и градиентный или релаксационный спуск.Ниже коротко рассмотрим основные идеи этих методов.Метод градиентного спуска[38, 101].Этот метод предполагает выборначального приближения – некоторой точки Х0. Общих правил выбора точки Х0 вградиентном методе, как и в других методах, нет.

В тех случаях, когда изгеометрических, физических или каких-либо других соображений может бытьполучена априорная информация об области расположения точки (или точек)минимума, тогда начальное приближение Х0 стараются выбрать поближе к этойобласти. Градиент функции F(Х) определяется формулой: FFFF ( Х )  ( Х ),( Х ),...,( Х ) .Х 2Х n Х 1(3.1.5)Метод градиентного спуска допускает одновременную вариацию всехпараметров и движение в сторону локального минимума с помощью вектора:Х  Х 0  F ( Х 0 ) , (F ) i  F / hi , i=1,2,…,N(3.1.6)где Х0 – вектор, характеризующий параметры исходного покрытия, F ( Х 0 ) –градиент функционала F(Х) в точке Х0, τ – единственный варьируемый параметр ввыбранном направлении, значение которого τmin, соответствующее локальномуминимуму функционала, как правило определяется с помощью параболическойаппроксимации F (τ), h - шаг спуска (h>0) [75, 102].Во всех методах градиентного типа приходится многократно вычислятьзначения самой оценочной функции и ее градиент.

Эти две операции являютсяосновными, поэтому скорость и точность их выполнения в значительной мереопределяют вычислительные возможности метода.82Методрелаксационного(покоординатного)спуска[38,101].Впрактических задачах имеются варианты, когда минимизируемая функция необладает нужной гладкостью или является гладкой, но вычисление еепроизводных, с нужной точностью требует больших вычислительных ивременных затрат.

Характеристики

Список файлов диссертации