Диссертация (1149516), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(4.12)Формула (4.10) следует из формулы (4.12) и равенства e0 = adj e−0 det e0 .Рассмотрим теперь частный случай системы (1.3)–(1.4) — систему третьего порядка (4.5)–(4.6), описывающую модель гормональной регуляции тестостерона. Как и прежде считаем, чторешение ((), ) системы системы (4.5)–(4.6) является 1-циклом, и рассматриваем синхронный режим наблюдателя (2.1), (2.3) по отношению к этому решению. Следующая теорема даетнеобходимые и достаточные условия того, что спектральный радиус матрицы Якоби 0 не превосходит некоторой величины > 0.Теорема 4.2.
Собственные числа матрицы Якоби 0 лежат внутри круга радиуса на комплексной плоскости тогда и только тогда, когда выполнены следующие неравенства:0 > 0,1 > 0,2 > 0,3 (1 2 − 0 3 ) − 4 21 > 0,673 > 0,4 > 0,(4.13)где0 = 4 + 3 1 + 2 2 + 3 + 4 ,1 = 44 + 23 1 − 23 − 44 ,2 = 64 − 22 2 + 64 ,(4.14)3 = 44 − 23 1 + 23 − 44 ,4 = 4 − 3 1 + 2 2 − 3 + 4 ,и1 = − tr(˜0 ) = − tr(e0 ( + 0′ )) − (Φ′0 0 + 1),]︀[︀2 = det(e0 ) tr(e−0 ) − 0′ tr(e−0 ) + (Φ′0 0 + 1) tr(e0 ( + 0′ ))+]︀[︀+ Φ′0 tr(e0 )0 − det(e0 )Φ′0 − e−0 tr(e−0 ) + e−20 ×× (0′ 0 − 0 ),[︁]︀[︀3 = det(e0 ) − 1 − (Φ′0 0 + 1) tr(e−0 ) − 0′ tr(e−0 ) +]︁[︀]︀+ Φ′0 tr(e−0 ) − 0′ tr(e−0 ) − e−0 (0′ 0 − 0 ) ,(4.15)4 = det(0 ).Доказательство.
Для доказательства теоремы потребуется следующая лемма.Лемма 4.1. Многочлен() = 4 + 1 3 + 2 2 + 3 + 4является характеристическим многочленом матрицы 0 .Доказательство леммы 4.1. Используя теорему Гамильтона–Кэли, можно получить представление присоединенной матрицы и определителя матрицы = (e−0 − ( + 0′ )) в видевыражения, зависящего от следа и степеней матрицы ˜0 .
Для = 3 такое представление выглядит следующим образом:)︀1 (︀(tr )2 − tr 2 3 − tr + 2 ,2)︀1 (︀det( ) = (tr )3 − 3 tr tr 2 + 2 tr 3 .6adj( ) =Тогда соответствующие выражения в формуле (4.12) могут быть переписаны следующим образом:11adj(e−0 − ( + 0′ )) = 2 (tr e−0 )2 3 − 3 tr e−0 3 − 2 tr(e−0 )2 3 +22+ 2 tr(e−0 )3 + 0′ tr(e−0 )3 − 2 e−0 tr e−0 + e−0 ++ 0′ tr e−0 − 0′ + 2 (e−0 )2 − 0′ e−0 + 3 − 0′ e−0 , (4.16)68иdet(e−0 − ( + 0′ )) =1 (︀ 3 (tr e−0 )3 − 32 (tr e−0 )2 − 33 tr e−0 tr(e−0 )2 +6+ 62 0′ tr e−0 tr(e−0 ) + 32 tr(e−0 )2 −)︀− 60′ tr(e−0 ) + 23 tr(e−0 )3 + 6 tr(e−0 ) −6 − 62 0′ tr((e−0 )2 ) . (4.17)Подставляя выражения (4.16) и (4.17) в (4.12), получаем утверждение леммы:det( − 0 ) = 4 + 1 3 + 2 2 + 3 + 4 .+1,−1которое отображает левую полуплоскость во внутренность круга радиуса .
С помощью этогоПродолжим доказательство теоремы. Используем билинейное преобразование = преобразования получаем, что все корни многочлена () лежат внутри единичного круга радиуса тогда и только тогда, когда все корни многочлена () = 0 4 + 1 3 + 2 2 + 3 + 4находятся в левой полуплоскости. Утверждение теоремы 4.2 следует немедленно из критерияРауса–Гурвица.Следствие 4.1. Синхронный режим по отношению к решению ((), ) локально асимптотически устойчив тогда и только тогда, когда неравенства (4.13) выполнены для < 1.Следствие 4.2. Если матрица принадлежит гиперплоскости(0 + 0 ) + 0 = −1,Φ′0(4.18)тогда все собственные числа матрицы 0 лежат внутри круга радиуса на комплексной плоскости тогда и только тогда, когда выполнены следующие неравенства:0 > 0,1 > 0,1 2 − 0 3 > 0,(4.19)где0 = 3 + 2 1 + 2 + 3 ,1 = 33 + 2 1 − 2 − 33 ,2 = 34 − 2 1 − 2 + 33 ,3 = 3 − 2 1 + 2 − 3 .Доказательство.
Из формулы (4.18) следует, что 4 = 0. Следовательно, один из корней характеристического многочлена () равен нулю. По аналогии с доказательством теоремы 4.2,с помощью критерия Рауса–Гурвица для многочлена третьей степени получаем утверждениеследствия 4.2.69Рассмотрим матрицу коэффициентов усиления следующей структуры:⎡⎤1 0⎢⎥⎢⎥ = ⎢3 0 ⎥ ,⎣⎦2 6(4.20)где 1 , 3 , 6 — некоторые параметры, 2 параметр матрицы в (4.5).Утверждение 4.1. Для любого набора комплексных чисел Λ = { , = 1, 2, 3}, в котором вместес комплексным числом в этот набор входит и комплексно-сопряженное число ¯ , следующиекоэффициенты матрицы структуры (4.20)1 =1 2[ + 1 (1 + 2 ) + 1 2 ],1 13 = −(1 + 2 + (1 + 2 )),6 = −3 − 3назначают спектр матрицы = − равным Λ.Доказательство.
С матрицей структуры (4.20), матрица = − принимает следующийблочно-диагональный вид:⎡⎤−−10⎢ 1⎥⎢⎥ = ⎢ 1 −2 − 3⎥.0⎣⎦00−3 − 6Тогда легко видеть, что 6 = −3 −3 . Найдем коэффициенты 1 и 3 , с которыми спектр матрицы имеет желаемый вид. Введем следующие обозначения:⎡⎤⎡ ⎤−1 0⎦ , 1 = ⎣ 1 ⎦ ,1 = ⎣1 −23⎡⎤[︁]︁−1−1⎦.1 = 0 1 , 1 = ⎣1 −2 − 3[︁]︁Далее рассмотрим двойственную задачу: найти матрицу 1 = 1 3 такую, что 1 и 2являются собственными числами матрицы 1 = 1 − 1 1 .
Тогда характеристическим многочленом матрицы 1 является многочленΦ⎤ () = 2 − (1 + 2 ) + 1 2 . Матрица управляемости⎡⎡⎤01 / 1⎦, и обратная ей матрица равна −1 = ⎣ 2 1 ⎦.1 −21/1 0Данная двойственная задача может быть решена с помощью формулы Аккермана [13]:]︁[︁ 1[︁]︁−121 = 0 1 Φ () =[ + 1 (1 + 2 ) + 1 2 ] −(1 + 2 + (1 + 2 )) .⏟⏞ 1⏟1⏞3имеет вид = [1 | 1 1 ] = ⎣170Заметим, что для матрицы структуры (4.20) матрица e0 имеет следующую структуру:⎡⎤*1 *2 0⎢⎥⎢⎥e0 = ⎢*3 *4 0 ⎥ ,⎣⎦0 0 0где0 = e(−3 −6 )0 ,(4.21)и *1 , *2 , *3 , *4 обозначают соответствующие скалярные элементы.
Введем следующие обозначения:0 = Φ′0 0 + 1и0 = 0′ 0 − 0 .Замечание 4.1. При использовании структуры (4.20) выполняется равенство tr(e0 ) = 0,и, соответственно, коэффициенты , = 1, . . . , 4 из формулы (4.15) принимают следующийвид:1 = − e1 0 − e2 0 − e3 0 − 0 ,[︁2 = e(1 +2 +3 )0 e−1 0 + e−2 0 + e−3 0 −]︀ ]︁[︀− Φ′0 − e−0 (e−1 0 + e−2 0 + e−3 0 ) + e−20 0 ++ (e1 0 + e2 0 + e3 0 )(1 + Φ′0 0 ),[︁(1 +2 +3 )03 = e− 1 − 0 (e−1 0 + e−2 0 + e−3 0 )+(︁)︁]︁+ Φ′0 (e−1 0 + e−2 0 + e−3 0 )0 − e−0 0 ,(4.22)4 = e(1 +2 +3 )0 (0 + Φ′0 0 ) ,где множество Λ = { , = 1, 2, 3} — спетр матрицы .Утверждение 4.2.
Пусть матрица определена формулой (4.20). Спектр {0 } обладает следующими свойствами:1) собственное число 0 матрицы e0 , определенное формулой (4.21), является собственным числом матрицы 0 при любой матрице ;2) спектр {0 } не зависит от 2 , где = [1 , 2 ];3) спектр {0 } = {{e0 }, Φ′0 0 + 1} тогда и только тогда, когда 1 = 0.71Доказательство.1) Из доказательства Теоремы 4.2 следует, что⎤⎡e0 ( + 0′ ) e0 0⎦.˜0 = ⎣′Φ0 0Принимая во внимание структуру (4.20) и определения матриц , , , и 0 , легко видеть,что матрица e0 ( + 0′ ) и вектор e0 0 имеют следующую структуру:⎡ ⎤⎡⎤** * 0⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥e0 ( + 0′ ) = ⎢* * 0 ⎥ , e0 0 = ⎢*⎥ .⎣ ⎦⎣⎦00 0 0Следовательно, матрица ˜0 − 0 имеет нулевой третий столбец.
Таким образом, det(˜0 −0 ) = det(0 − 0 ) = 0, и, следовательно, 0 является собственным числом матриц ˜0 и0 .2)-3) Из свойств дополнений Шура следует(︁)︁(︀)︀det − ˜0 = det ( − 0 ) det − e0 ( + 0′ ) − ( − 0 )−1 Φ′0 e0 0 .Обозначим через M матрицу следующей структуры:⎡⎤00⋆⎢⎥⎢⎥M = ⎢00⋆⎥ ,⎣⎦000где ⋆ обозначает произвольный скалярный элемент. Заметим, что(︀)︀(︀)︀(︀)︀det − e0 = det − e0 − M = det − e0 − M .Утверждения 2) и 3) немедленно следуют из следующих выражений:⎡⎤01 *2 *⎢⎥⎢⎥′ 0Φ0 e 0 = ⎢01 *2 *⎥ ,⎣⎦000⎡0⎢⎢e0 0′ = ⎢0⎣0000где * обозначает соответствующий скалярный элемент.72*⎤⎥⎥*⎥ ,⎦0(4.23)Введем обозначения:1 = 1 + e(−3 −6 )0 ,min =2 = 2 + 1 e(−3 −6 )0 ,)︀1 (︀ −1 0+ Φ′0 0 + 1 ,e2 = 21 − 42 .Определим функцию (·), зависящую от коэффициента 3 , следующим образом:√ 1 (−2 −3 )0(3 ) =.+ e22Заметим, что величина не является знакоопределенной, и, следовательно, функция (·) можетпринимать как вещественные, так и комплексные значения.Теорема 4.3.
Предположим min > 0. Пусть матрица определена формулой (4.20), и матрица принадлежит гиперплоскости(0 + 0 ) + 0 = −1,Φ′0(4.24)и1 = 0,6 = −3 −ln(κ),0(4.25)где 0 < κ 6 min , 3 = 3* = arg min |(3 )|, и | · | обозначает абсолютную величину комплексногочисла. Тогда спектральный радиус матрицы Якоби 0 вычисляется следующим образом:(0 ) = min + |(3* )|.Доказательство. Из формулы (4.24) следует, что 4 = 0. Следовательно, по крайней мере одиниз корней характеристического многочлена () равен нулю. Следовательно, одно из собственных чисел матрицы 0 является нулевым.Из формул (4.20), (4.24) и (4.25) следует, что матрица e0 имеет следующий вид:⎡⎤−1 0e00⎢⎥⎢⎥e0 = ⎢ 21 e(−2 −3 )0 0 ⎥ ,⎣⎦00κгде21(︀)︀−1 e−(2 +3 )0 − e−1 0=.2 − 1 + 3Так как e(−3 −6 )0 = κ, из утверждения 4.2 (часть 1) получаем, что κ также является собственным числом 0 .Поскольку tr(e0 ) = e−1 0 + e(−2 −3 )0 + κ, получаем, что коэффициент 1 в (4.15) равен[︀]︀1 = −e(−2 −3 )0 − e−1 0 + κ + 1 < 0.73(4.26)После факторизации и сокращения корней, найденных выше, характеристический многочлен() матрицы 0 преобразуется в следующий многочлен второго порядка:() = 2 + 1 + 2 .Из (4.26) получаем, что 1 = −e(−2 −3 )0 − 2 < 0, следовательно, ось симметрии многочлена1() (вертикальная прямая = − ) лежит в правой полуплоскости плоскости — ().
Та2ким образом, спектральный радиус матрицы Якоби 0 определяется максимальным по модулюсобственным числом многочлена (), т. е.(0 ) = + |(3 )| .Теорема 4.3 доказана.Утверждение теоремы 4.3 для случая min < 0 получается аналогичным образом.Очевидно, что предложенный в теореме 4.3 выбор коэффициентов наблюдателя не являетсяоптимальным в смысле наименьшего спектрального радиуса матрицы Якоби. Без ограничений(4.20) на структуру , возможно, найдутся такие матрицы и , гарантирующие меньшеезначение спектрального радиуса, чем полученное в теореме 4.3.
Такое может произойти, например, в случае больших значений коэффициентов , при том, что матрица выбрана так, что еевлияние на сходимость компонент наблюдателя на непрерывных интервалах незначительно илидаже имеет дестабилизирующий эффект. Такой выбор коэффициентов приведет к более сильнойобратной связи в дискретной части наблюдателя, что обеспечит более быструю сходимость. Однако, данное рассуждение справедливо только для линеаризованной модели, в то время как из-завысокой чувствительности к отклонениям в начальных данных ˆ0 и 0 при такой сильной обратной связи линеаризация может терять свою справедливость. Критерий скорости сходимости,основанный на уменьшении спектрального радиуса матрицы Якоби, является локальным и неучитывает существенно нелинейную природу рассматриваемой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
