Диссертация (1149516), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Выбор коэффициентовнаблюдателя, предложенный в теореме 4.3 является некоторым компромиссом между скоростьюсходимости и допустимостью линеаризации (см. раздел 4.3.1). В частности, выбор коэффициента 1 равным нулю предполагает отсутствие коррекций на непрерывных интервалах компонентыˆ1 , претерпевающей скачки, наличие которой может внести также и дополнительные возмущения, которые могут сказаться на адекватности линейной модели.744.34.3.1Результаты моделированияИспользование пропорциональной обратной связи в дискретной части наблюдателяРассмотрим систему (4.5)–(4.6) со следующими параметрами⎡⎤⎡ ⎤⎡−1 001⎢⎥⎢ ⎥0 1⎢⎥⎢ ⎥ = ⎢ 1 −2 0 ⎥ , = ⎢0⎥ , = ⎣⎣⎦⎣ ⎦0 002 −30[102]:⎤[︁]︁0⎦, = 0 0 1 ,1(4.27)ℎ = 2.7, 1 = 0.012, 2 = 0.15, 3 = 0.1, 1 = 2.8, 2 = 1.5,Φ() = 40 + 80(/ℎ)2,1 + (/ℎ)2 () = 0.05 +5.1 + (/ℎ)2Такая система имеет устойчивый 1-цикл с неподвижной точкой[︁]︁0 = 0.0516 1.0479 17.8606 ,и 0 = 0.1617, 0 = 118.2066.Графики решений системы (4.5)–(4.6) с параметрами (4.27) приведены на рис.
4.3.0.25x10.20.150.10.050100200300400500600700800900100060070080090010006007008009001000tx23210100200300400500t50x34030200100200300400500tРисунок 4.3: Графики решений системы (4.5)–(4.6) с параметрами (4.27)В данном случае Φ′0 0 + 1 = 0.9581. Таким образом, условие (2.15) выполнено и, следовательно, для наблюдателя (2.1), (2.3) существует матрица , гарантирующая устойчивость в75малом синхронного режима.
Выберем следующим образом:⎡⎤00⎢⎥⎢⎥ = ⎢1.20 ⎥.⎣⎦01.2Тогда матрица — гурвицева. Для = [0(4.28)0] собственные числа матрицы Якоби 0 лежатстрого внутри единичного круга:(0 ) = {0.9588, 0.2341, −0.000001, 0},следовательно, синхронный режим асимптотически устойчив в малом. Найдем для заданноговыше такие значения элементов 1 и 2 матрицы , которые обеспечивают наименьшийспектральный радиус матрицы 0 . Из рис.
4.4 видно, что оптимальным в данном случае является = [0 − 250], при котором(0 ) = {0.5965 + 0.0178, 0.5965 − 0.0178, −0.0000, 0}.Рисунок 4.4: Зависимость спектрального радиуса матрицы Якоби 0 от параметров 1 и 2Графики решений системы (4.5), (4.6), (4.27) и наблюдателя (2.1), (2.3) с = [0 − 250] иначальными отклонениями |0 − ˆ0 | = 60, |0 − ˆ0 | = [0.01 0.1 1] приведены на рис. 4.5.76x10.20.150.10.050100020003000400050006000400050006000400050006000tx23210100020003000t50x34030200100020003000tРисунок 4.5: Графики решений системы (4.5), (4.6), (4.27) (синие линии) и наблюдателя (2.1),(2.3) (черные линии): = [0 − 250]Рис. 4.6 иллюстрирует сравнение моментов и амплитуд импульсов объекта и наблюдатеˆ , расположенные в точках ˆ , соответствуют имля. Черные вертикальные линии высотой −пульсам наблюдателя.
Импульсы объекта изображены синими линиями, имеют амплитуды ирасположены в . Из рисунка видно, что моменты импульсации объекта и наблюдателя синхронизируются.Рис. 4.7 иллюстрирует сравнение отклонений | − ˆ | для = [00] (без дополнительнойобратной связи в дискретной части наблюдателя) и найденного выше оптимального значения = [0 − 250]. Также в качестве критерия скорости сходимости наблюдателя к синхронномурежиму может быть выбран наименьший момент времени ˆ* , при котором времена импульсацииˆ входят в -окрестность и более не покидают ее, т.
е.( ) = ˆ* ,⃒⃒* = min{ : ⃒ˆ − ⃒ < ∀ > }.(4.29)На рис. 4.8 с помощью данного критерия показано, что в случае с дополнительной обратнойсвязи в дискретной части наблюдателя скорость сходимости значительно возрастает.770.20.150.1−λ̂n |λn0.050−0.05−0.1−0.15100020003000t400050006000Рисунок 4.6: Сравнение моментов и величин импульсации системы и наблюдателя: черныеˆ.линии (в нижней части) обозначают моменты импульсации наблюдателя ˆ с амплитудами −Синие линии (в верхней части) соответствуют моментам импульсации объекта самплитудами .60Kd=[0 0]Kd=[0 −250]50|tn − t̂n |4030201000200040006000800010000tРисунок 4.7: Отклонения | − ˆ | для = [0780] и = [0 − 250]1200012000Kd=[0 0]10000Kd=[0 −250]Pεf800060004000200000102030εf40Рисунок 4.8: Зависимость ( ) от параметра для = [050600] и = [0 − 250]Влияние дополнительной обратной связи на циклы различных порядковВ данном подразделе будет продемонстрировано влияние дополнительной обратной связи на скорость сходимости в случае -циклов при > 1 [104].
Рассмотрим систему (4.5), (4.6) спараметрами, совпадающими с (4.27) за исключением матрицы , которая задана следующимобразом:⎡⎤−00⎢ ⎥⎢⎥ = ⎢ 1.5 −0.150 ⎥,⎣⎦02.8 −0.1 = 1, 2, 4.Рассмотрим три различных случая, а именно 1 = 0.005, 2 = 0.06, 4 = 0.045, которые соответствуют устойчивым 1-циклу, 2-циклу и 4-циклу, соответственно.Для , заданного в виде (4.28), и = [0 0] спектральный радиус матрицы Якоби −1 ·...·0 ,где — номер соответствующего цикла, в каждом из случаев соответственно равен:1 = 0.994,2 = 0.803,4 = 0.060.Поиск оптимальных для каждого случая дает значения коэффициентов усиления 1 =[︁]︁[︁]︁[︁]︁−547 −892 , 2 = −190 −215 , 4 = −0.6 −0.1 , которые обеспечивают следующиезначения спектральных радиусов:1 = 0.770,2 = 0.391,4 = 0.0008.На рис.
4.9–4.11 приведены графики зависимости критерия ( ), определенного в (4.29), отпараметра . Из данных графиков можно сделать вывод, что дополнительная обратная связь 79оказывает наибольшее влияние на циклы более низкого порядка (при малых ). В отличие отциклов высокого порядка, где скорость сходимости является достаточно хорошей даже в присутствии только одной обратной связи , обратная связь значительно увеличивает скоростьсходимости для циклов с низким порядком (1-и 2-циклы).4000fPε300020001000K =[0 0]dK =[ 547 892]d00εf 10.51.52Рисунок 4.9: Зависимость ( ) от параметра для = [0 0] и = [−547 − 892] в случае1-цикла1500fPε1000500K =[0 0]dKd=[ 190 215]0012εf345Рисунок 4.10: Зависимость ( ) от параметра для = [0 0] и = [−190 − 215] в случае2-циклаМожно предположить, что такой эффект связан с тем, что в случае 1- и 2-циклов измеряемый выходной сигнал системы не дает достаточно информации о векторе состояния в течениенескольких периодов объекта.
Поэтому для сближения решения наблюдателя с синхронным режимом требуется значительное количество периодов.Также примечательно, что для циклов высокого порядка с помощью дополнительной обратной связи можно значительно уменьшить спектральный радиус матрицы Якоби. Однако, как80700600500fPε400300200Kd=[0 0]100Kd=[−0.6 −0.1]00.250.3εf0.350.40.450.5Рисунок 4.11: Зависимость ( ) от параметра для = [0 0] и = [−0.6 − 0.1] в случае4-циклабыло отмечено выше, это не дает какого-либо заметного улучшения сходимости наблюдателя(см. рис.
4.11).Влияние матрицы на сходимость наблюдателяРассмотрим 1-цикл (с 1 = 0.005) из предыдущего примера и продемонстрируем влияние обратной связи в непрерывной части наблюдателя на его сходимость как при наличии, так и приотсутствии дополнительной обратной связи в дискретной части наблюдателя.Рассмотрим матрицу структуры (4.28):⎡⎤0 0⎢⎥⎢⎥ = ⎢1 0 ⎥⎣⎦0 2с некоторыми скалярными коэффициентами 1 и 2 . Рис. 4.12 показывает зависимость спектрального радиуса матрицы Якоби от 1 и 2 при = [0 0]. Из рисунка видно, что спектральныйрадиус уменьшается с одновременным ростом 1 и 2 , однако, выбор данных коэффициентовдостаточно большими не имеет особого смысла из-за того, что величина (0 ) входит в режимнасыщения и далее убывает незначительно.Далее рассмотрим = [−500 − 300].
Рис. 4.13 и 4.14 показывают, что для больших 1 и 2значение спектрального радиуса матрицы 0 насыщается, причем стремится к той же величине,что и в случае при = [0 0]. Таким образом в случае 1-цикла влияние на сходимостьнивелируется с ростом коэффициентов матрицы (что также следует из теоремы 2.5 и формулы(2.15)).81Рисунок 4.12: Зависимость спектрального радиуса матрицы Якоби 0 от коэффициентовматрицы при = [0 0].Однако, из рис. 4.13 и 4.14 видно, что в отличие от случая = [0 0], при наличии дополнительной обратной связи существует некоторая область коэффициентов 1 и 2 (темносиний цвет на рис. 4.14), где значение спектрального радиуса значительно уменьшается. Приэтом экспериментальным путем установлено, что целесообразно выбирать коэффициенты 1 и2 близкими друг к другу.Рисунок 4.13: Зависимость спектрального радиуса матрицы Якоби 0 от коэффициентовматрицы при = [−500 − 300].82Рисунок 4.14: Контурный график зависимости спектрального радиуса матрицы Якоби 0 откоэффициентов матрицы при = [−500 − 300].Таким образом, установлено, что для наилучший сходимости наблюдателя к синхронномурежиму обратная связь в непрерывной части наблюдателя и обратная связь в его дискретной (импульсной) части должны выбираться из соображений сохранения баланса междускоростью сходимости наблюдателя на непрерывных интервалах времени, величиной коррекции в дискретные моменты времени, а также робастностью по отношению к отклонениям поначальным данным.Синтез коэффициентов усиления обратной связиКак было отмечено выше, дополнительная обратная связь наиболее эффективна для циклов низкого порядка.
Рассмотрим систему (4.5)–(4.6) с параметрами (4.27) из раздела 4.3.1, решениекоторой является устойчивым 1-циклом. В разделе 4.3.1 коэффициенты и , при которыхспектральный радиус матрицы Якоби был наименьшим и равнялся (0 ) = 0.597, имели следующий вид:⎡0⎢⎢ = ⎢1.2⎣00⎤⎥⎥0 ⎥,⎦1.2 = [0 − 250].(4.30)Рассмотрим теперь наблюдатель, описанный в теореме 4.3. Поскольку из утверждения 4.2следует, что спектр матрицы 0 не зависит от величины 2 , где = [1 2 ], положим 2 = 0.Тогда из условия (4.24) получаем, что 1 = −10.8137.83Для данной системы величина min = 0.6001. Выберем κ в теореме 4.3 равным 0.0001. Тогда6 = −0.0221. В результате спектральный радиус матрицы 0 равен(0 ) = min + |(3 )|.Таким образом, остается выбрать коэффициент 3 , минимизирующий величину |(·)|.
Изрис. 4.15 видно, что таким коэффициентом является 3* = −0.0872, который обеспечивает(3* ) = 0.007.abs(g(k3))1.510.50−0.15−0.1−0.0500.050.10.150.2k3Рисунок 4.15: Зависимость абсолютной величины функции (·) от аргумента 3 .В результате матрицы и выглядят следующим образом:⎡⎤00⎢⎥⎢⎥ = ⎢−0.0872⎥ , = [−10.8137 0],0⎣⎦1.5−0.0221(4.31)при этом (0 ) = 0.6071.Графики решений уравнений объекта (4.5), (4.6), (4.27) и наблюдателя (2.1), (2.3), (4.31) иначальными отклонениями |0 − ˆ0 | = 12.5, |0 − ˆ0 | = [0.002 0 2] приведены на рис. 4.16.Из Рис. 4.17 видно, что хотя в случае наблюдателя (4.31) спектральный радиус матрицы 0оказался немного бОльшим, чем с наблюдателем (4.30), сходимость наблюдателя (4.31) оказывается несколько быстрее. Это еще раз подтверждает, что критерий, основанный на минимизацииспектрального радиуса матрицы Якоби, является локальным, и результаты могут незначительноварьироваться в зависимости от отклонений начальных данных.840.2x10.150.10.05050010001500200025003000200025003000tx24321050010001500t50plantobserverx3403020050010001500200025003000tРисунок 4.16: Графики решений уравнений объекта (4.5), (4.6), (4.27) (синие линии) инаблюдателя (2.1), (2.3), (4.31) (черные линии)2500(4.30)(4.31)(4.28), K =[0 0]d2000Pεf1500100050000246εf81012Рисунок 4.17: Зависимость ( ) от параметра : синий цвет — наблюдатель (4.28) с = [0 0], зеленый цвет — наблюдатель (4.30), красный цвет — наблюдатель (4.31)854.3.2Использование комбинированной частотной модуляции в дискретной части наблюдателяРассмотрим систему (4.5)–(4.6) с параметрами (4.27) из раздела 4.3.1, решение которой являетсяустойчивым 1-циклом.Рассмотрим наблюдатель (2.1) с частотной модуляцией (2.18), где функция Ψ выбрана следующим образом:Ψ( ) =80arctan( ).Она является непрерывной, нечетной, строго возрастающей и удовлетворяет (2.19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
