Диссертация (1149516), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть⎡⎤00⎢⎥⎢⎥ = ⎢10⎥ ,⎣⎦01и параметры в (2.18) = Φ1 = 40, κ = 5.Поиск коэффициентов , минимизирующих спектральный радиус 0 дает = [6.8 2] (см.рис. 4.18).Рисунок 4.18: Зависимость спектрального радиуса матрицы 0 от коэффициентов .Графики решений уравнений объекта (4.5), (4.6), (4.27) и наблюдателя (2.1), (2.18) приведенына рис. 4.19.С помощью критерия ( ) оценим сходимость наблюдателя (2.1) с различными законамичастотной модуляции: модуляцией (2.2) без обратной связи, (2.3) с пропорциональной обратной связью, (2.17) с интегральной обратной связью и комбинированной модуляцией (2.18) синтегральной обратной связью. В случаях (2.3) и (2.17) коэффициенты матрицы выбраны изусловий минимизации спектрального радиуса матрицы 0 .
Результаты представлены на рис. 4.20.Из рисунка видно, что введение дополнительной обратной связи значительно увеличивает ско86plantobserverx10.20.100100020003000400050006000100020003000400050006000100020003000400050006000x23210x340200tРисунок 4.19: Графики решений уравнений объекта (4.5), (4.6), (4.27) (синие линии) инаблюдателя (2.1), (2.18) (черные линии), = [6.8 2].5000(2.2)(2.3)(2.17)4000(2.18)fPε30002000100000510εf152025Рисунок 4.20: Зависимость ( ) от параметра : синий цвет — модуляция (2.2), желтый цвет —(2.3), зеленый цвет — (2.17), красный цвет — (2.18)рость сходимости.
Однако, использование интегральной обратной связи не дает существенныхпреимуществ над пропорциональной из-за насыщения модуляционной функции Φ(·). Использование комбинированной модуляции (2.18) позволяет избежать этой проблемы, благодаря чемускорость сходимости оказывается наилучшей для рассматриваемого случая.874.3.3Наблюдение при наличии запаздыванияВ процессе регуляции уровня тестостерона в мужском организме источником запаздывания может являться транспортное запаздывание при переносе гормонов в потоке крови, а также запаздывание, возникающее из-за необходимости синтеза гормона до начала его секреции.Уровни гормонов связаны друг с другом внутренними обратными связями, и такая модельможет быть описана системой (1.12) третьего порядка со следующими параметрами:⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤−000 0 01⎢ 1⎥⎢⎥⎢ ⎥[︁]︁⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥0 = ⎢ 1 −2 0 ⎥ , 1 = ⎢0 0 0⎥ , = ⎢0⎥ , = 0 0 1 .⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦00 −30 2 00(4.32)Несложно проверить, что данная система является спектрально FD-наблюдаемой.Рассмотрим систему со следующими значениями параметров: ℎ = 2.7, 1 = 0.02, 2 = 0.15,3 = 0.1, 1 = 0.6, 2 = 1.5, иΦ() = 40 + 80(/ℎ)2,1 + (/ℎ)2 () = 0.05 +5.1 + (/ℎ)2Так как inf Φ() = 40, то 0 6 < 40.
Как следует из рис. 4.21, система имеет устойчивый 4-циклпри 0 6 6 24.7 и устойчивый 2-цикл при 24.8 6 < 40.403530Te252015105005101520τ25303540Рисунок 4.21: Бифуркационная диаграмма системы (1.12) по отношению к величинезапаздывания . Значения 3 (третьей компоненты вектора состояния системы, отвечающиеуровню тестостерона) в моменты времени изображены в виде функции от . Синие точки —устойчивые решения, красные — неустойчивые.88Наблюдатель без запаздывания с кусочно-постоянной матрицей коэффициентов усиленияИз раздела 3.2 следует, что система (1.12), (4.32) может быть представлена в виде системы беззапаздывания (3.2) с матрицами⎡ ⎤1⎢ ⎥⎢⎥ = e− e0 ⎢0⎥ ,⎣ ⎦0 = 0 + 1 e−0 ,которая совпадает с системой (1.12), (4.32) на интервалах времени, содержащих моменты импульсации.Заметим, что соответствующие матричные экспоненты выглядят следующим образом:⎤⎡⎤⎡000e−1 00⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢0 0 −2e = ⎢21 () e00⎥ ,0 ⎥, e = e + ⎢ 0⎦⎣⎦⎣31 () 32 () 000e−3 где)︀)︀2 e2 (︀ −2 1 (︀ −1 e− e−2 , 32 () = −e− e−3 ,1 − 2 2 − 3[︂ 1 ]︂2(︀ −1 (︀ −2 )︀)︀e1 2e−3 −3 e−ee−e31 () =−.1 − 2 1 − 32 − 321 () = −Введем обозначение: =3∏︁1, = 1, 2, 3.
− =1,̸=Тогда⎡ ⎤ ⎡ ⎤11⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = e− e0 ⎢0⎥ = ⎢ 0 ⎥ ,⎣ ⎦ ⎣ ⎦000 = 1 23∑︁ e .=0Таким образом, для наблюдения за системой (3.2) может быть рассмотрен наблюдатель беззапаздывания (3.3). Однако, из-за требования выполнения условия = 0 в данном случае вкачестве измерений может выступать только компонента 2 , т. е.[︁]︁= 0 1 0 .Рассмотрим матрицу обратной связи в следующем виде:[︁]︁ = 1 2 0где 1 > 0, 2 > 0. Тогда⎡⎤−1−10⎢⎥⎢⎥=⎢1−2 − 2 0 ⎥ ,⎣⎦2 2 21 (− )2 e−389и характеристический многочлен матрицы не зависит от и равен () = ( + 3 )(2 + (1 + 2 + 2 ) + 1 1 + 1 (2 + 2 )).Поскольку величины 1 , 2 , 3 , 1 положительны, а параметры 1 , 2 неотрицательны, матрица является гурвицевой.Пусть = 5. Тогда система имеет устойчивый 4-цикл с неподвижными точками[︁]︁0 = 0.0334 0.1543 3.1980 ,[︁]︁1 = 0.3821 1.7635 36.4028 ,[︁]︁3 = 0.0420 0.1941 4.0212 ,[︁]︁4 = 0.2455 0.1329 23.4306 .Поиск оптимальных значений 1 и 2 , минимизирующих спектральный радиус матрицы 3 2 1 0дает1 = 0.47,2 = 6.15,(3 2 1 0 ) = 0.00058.Из рис.
4.22 видно, что решения уравнений наблюдателя сходятся к решению уравнения объекта,причем сходимость достаточно быстрая.2000Pεf15001000500000.511.52εf2.533.544.5Рисунок 4.22: Зависимость ( ) от параметра для = 5 (4-цикл)Рассмотрим теперь случай = 30, когда система имеет устойчивый 2-цикл с неподвижнымиточками[︁]︁0 = 0.0272 0.1255 4.2853 ,90]︁1 = 0.2141 0.9883 33.3766 .[︁Поиск оптимальных 1 , 2 дает1 = 0.93, 2 = 6.85, (1 0 ) = 0.149.Рис. 4.23 подтверждает работоспособность данного наблюдателя.2000Pεf15001000500005εf10152025Рисунок 4.23: Зависимость ( ) от параметра для = 30 (2-цикл)Однако, несмотря на хорошую сходимость в дискретные моменты времени, данный наблюдатель не может обеспечить приближение решений исходной системы (1.12), (4.32) на интервалахнепрерывности целиком, поскольку он построен по аппроксимирующей модели (3.2).Наблюдатель, структура которого совпадает со структурой исходной системы с запаздываниемРассмотрим наблюдатель (3.13) с матрицей⎡0⎢⎢ = ⎢0.2⎣00⎤⎥⎥0 ⎥,⎦0.2при которой матрица устойчива по Гурвицу, условие (1.13) выполнено, и синхронный режим асимптотически устойчив в малом при всех рассматриваемых , что нетрудно видеть изрис.
4.24.Выберем = 20, при котором система (1.12), (4.32) имеет устойчивый 4-цикл с неподвижными точками[︁]︁0 = 0.0290 0.1337 3.7387 ,91Max_Abs_Eigenvalue0.60.550.50.450.40.350.30.250.20.150.105101520τ25303540Рисунок 4.24: Зависимость спектрального радиуса матрицы 3 2 1 0 от величинызапаздывания . Заметим, что для 24.8 6 < 40, 4-цикл переходит в 2-цикл ( = 2), и при этом2 = 0 , 3 = 1]︁1 = 0.2815 1.2994 36.0704 ,[︁]︁2 = 0.0329 0.1518 4.2459 ,[︁]︁3 = 0.2190 1.0106 28.1169 .[︁Рис.
4.25 иллюстрирует сравнение моментов и амплитуд импульсов объекта и наблюдателя.На рис. 4.26 изображены графики переходных процессов объекта и наблюдателя в непрерывномвремени.9221.51−λ̂n /λn0.50−0.5−1−1.5−2050010001500200025003000tРисунок 4.25: Сравнение моментов и амплитуд импульсов объекта (1.12), (4.32) и наблюдателя(3.13) для = 20 (4-цикл)2x1plantobserver10050010001500200025003000t6plantobserverx2420050010001500200025003000t100x3plantobserver500050010001500200025003000tРисунок 4.26: Графики решений уравнений объекта (1.12), (4.32) (синие линии) и наблюдателя(3.13) (черные линии) для = 20 (4-цикл)Для значения = 30, при котором система (1.12), (4.32) имеет устойчивый 2-цикл, рис. 4.27,4.28 демонстрируют работоспособность предложенного наблюдателя.931.51−λ̂n /λn0.50−0.5−1−1.5050010001500200025003000tРисунок 4.27: Сравнение моментов и амплитуд импульсов объекта (1.12), (4.32) и наблюдателя(3.13) для = 30 (2-цикл)1.5plantobserverx110.50050010001500200025003000t6plantobserverx2420050010001500200025003000t60plantobserverx340200050010001500200025003000tРисунок 4.28: Графики решений уравнений объекта (1.12), (4.32) (синие линии) и наблюдателя(3.13) (черные линии) для = 30 (2-цикл)94ЗаключениеПеречислим основные научные результаты работы.1.
В случае наблюдателя с пропорциональной обратной связью в дискретной части построеноточечное преобразование (оператор сдвига по траектории системы), описывающее эволюцию состояний наблюдателя от импульса к импульсу; с его помощью получены условияасимптотической устойчивости в малом режима наблюдения периодического решения импульсной системы (теоремы 2.1–2.4) [102, 104].2.
В случае наблюдателя с интегральной обратной связью и комбинированной частотноймодуляцией в дискретной части наблюдателя построено точечное преобразование, описывающее эволюцию состояний наблюдателя от импульса к импульсу; с его помощью получены условия асимптотической устойчивости в малом режима наблюдения периодическогорешения импульсной системы (теоремы 2.6–2.10) [107].3.
Для импульсной системы с запаздыванием и наблюдателя без запаздывания и с разрывнойобратной связью построено точечное преобразование, описывающее эволюцию состоянийнаблюдателя от импульса к импульсу; с его помощью получены условия асимптотической устойчивости в малом режима наблюдения периодического решения (теоремы 3.1–3.4) [105, 106].4. Для импульсной системы с запаздыванием и наблюдателя с запаздыванием построено точечное преобразование, описывающее эволюцию состояний наблюдателя от импульса кимпульсу; с его помощью получены условия асимптотической устойчивости в малом режима наблюдения периодического решения (теоремы 3.5–3.9) [12, 103].5. Полученные результаты применены к исследованию математической модели гормональнойрегуляции тестостерона в мужском организме (глава 4) [12, 102–108].95Список рисунков1.1Графики компонент, претерпевающих скачки, двух 1-циклов с близкими начальными данными.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2Графики разности разрывных координат двух решений при 10 = 20 и 10 − 20 ̸= 0.Из условия |10 − 20 | ≈ 0 не следует, что |1 () − 2 ()| ≈ 0 при всех . . . . . . . . . 162.1Моменты импульсации объекта наблюдения и наблюдателя . . . . . . . . .
. . . . 233.1Окрестность точки ( , ) в проекции на оси и . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2Случай 1. Красным цветом обозначены моменты скачков функции () . . . . . . . 493.3Случай 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4Случай 3. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5Случай 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1Красный цвет: концентрации гормона LH (2 ()) , полученные с помощью многократного забора крови с десятиминутными интервалами у здорового 27-летнегомужчины. По вертикали откладывается концентрация гормона, а по горизонтали —время забора проб крови. Синий цвет: кривые изменения концентраций гормоновGnRH (1 ()) (оцененная) и LH (2 ()) (смоделированная), полученные с помощьюмодели (4.1)–(4.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
