Диссертация (1149310), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Оказалось, что среднеквадратичная норма в первой сопровождающей системе зависит только от компонент вектора возмущающего ускорения, большой полуоси и эксцентриситета оскулирующего эллипса.Четвертая глава «Решение осредненных уравнений для системы O1 »посвящена решению уравнений движения в средних элементах для первой сопутствующей системы координат. При e = 0 (круговые орбиты) и вслучаях, если хотя бы одна из компонент возмущающего ускорения равна нулю, система проинтегрирована в квадратурах и построен ее фазовый31портрет. Также для первой сопутствующей системы отсчета осредненныеуравнения движения решены методом рядов Ли по степеням времени.В пятой главе «Применение к задаче изменения орбиты астероидаили ИСЗ» рассматриваются приложения модельной задачи к изменениюорбиты сближающегося с Землей астероида (АСЗ), снабженного двигателем малой тяги, и спутника-ретранслятора.
Получена норма разности оскулирующих и средних элементов для нескольких малых тел и ИСЗ. Оцененвременной интервал, необходимый для существенного изменения элементов орбиты АСЗ или ИСЗ при малом возмущении. Оказалось, что орбитуопасного астероида можно изменить двигателем малой тяги для избежаниястолкновения за приемлемое время (от нескольких месяцев до несколькихлет в зависимости от величины тяги и массы тела).В приложение вынесены вспомогательные математические предложения и методы, используемые в данной работе, но напрямую не относящиеся к теме диссертации.32Глава 1.Уравнения движения типа Эйлера1.1.Постановка задачиПусть в R3 имеется система двух точечных масс: неподвижное телоS (например, Солнце) массы m0 и малое тело A (например, астероид),движущееся под действием силы притяжения к точке S и возмущающейсилы P.
В инерциальной системе отсчета с началом в S изменение радиусавектора SA = r описывается дифференциальным уравнением [43, 67]:κ2r̈ + 3 r = P.r(1.1)Здесь κ 2 = Gm0 — гравитационный параметр, G — постоянная тяготения,точки означают производные по времени.Перейдем к оскулирующей орбите, считая ее эллиптической. Используем уравнения типа Эйлера, описывающие изменение оскулирующих элементов.
Эти уравнения приводятся в руководствах по небесной механике,но лишь в специфических системах отсчета. В диссертации рассматриваются различные системы отсчета и возникает потребность в универсальнойформе уравнений. Ее получению и посвящена настоящая глава.Естественно получить сначала соотношения в инвариантной, не зависящей от системы отсчета форме. Однако это возможно лишь частич-33но, поскольку некоторые элементы сами зависят от ориентации системыкоординат. Это соображение диктует разбиение элементов на два класса:инвариантные (вектор площадей c, его модуль c, фокальный параметр p,постоянная энергии h, большая полуось a, среднее движение ω, эксцентриситет e, средняя аномалия M, истинная аномалия θ, эксцентрическаяаномалия E, эпоха перицентра τ , средняя аномалия эпохи M0) и зависящие от выбора основной плоскости (наклон i, долгота восходящего узла Ω,аргумент перицентра σ, аргумент широты w).
Заметим, что вектор c и егомодуль c инвариантны, хотя компоненты c зависят от ориентации системыкоординат.Замечание. Уравнение (1.1) описывает систему с тремя степенямисвободы, чему отвечают 6 независимых оскулирующих элементов. Но мырассмотрим большее их число. Выше мы перечислили 12+4 = 16 элементов(если считать c, c за два). Разумеется, среди них только 6 независимых.Избыточное число параметров полезно для практических приложений: вразных ситуациях предпочтительнее разные элементы.Найдем уравнения возмущенного движения типа Эйлера, то естьустановим зависимость между оскулирующими элементами, их производными и компонентами возмущающего ускорения.
Как обычно, считаем параметр κ постоянным.1.2.Инвариантная форма для инвариантных элементовНайдем инвариантную форму (не зависящую от выбора основнойплоскости) производных по времени от инвариантных элементов [39]. Мысчитаем векторы r, ṙ, c, P инвариантными, хотя их компоненты (в отли-34чие от модулей) зависят от направления осей системы отсчета. Рационально начинать с дифференцирования интегралов движения задачи двух тел[43, 48, 67].1. Интеграл площадей:c = r × ṙ,где c — вектор, ортогональный плоскости орбиты, модуль которого равен√c = κ p.
Дифференцируя векторное произведение с учетом (1.1), найдемκ2ċ = ṙ × ṙ + r × r̈ = r × − 3 r + P = r × P.rПерейдем к модулю c = |c| вектора площадей и фокальному параметруp = c2 /κ 2:d 2dc = 2cċ = 2cċ = 2(crP) =κ 2p = κ 2ṗ.dtdtОтсюда получим одно векторное и два скалярных уравнения:ċ = r × P,1ċ = (crP),cṗ =2(crP),κ2(1.2)причем два последних равенства (1.2) являются следствием первого. Нижемы не будем оговаривать зависимость уравнений.2.
Интеграл энергии:ṙ2 κ 2h=− ,2rгде постоянная энергии связана с большой полуосью соотношением2h = − κ2a . Дифференцируем с учетом (1.1):κ2κ2κ2ḣ = ṙr̈ + 3 rṙ = ṙ − 3 r + P + 3 rṙ = ṙP,rrrȧ =κ22a2ḣ=ṙP.2h2κ235Таким образом,ḣ = ṙP,2a2ȧ = 2 ṙP.κ(1.3)3. Среднее движение ω и эксцентриситет e выражаются через a и p[43]:ω = κa−3/2,e2 = 1 −p.aОтсюда и из (1.2), (1.3) находим без труда:r3κ3ωω̇ = − 5/2 ȧ = − √ ṙP = −3 3 4 ṙP,κκ a2ap1ȧ−ṗ,a2a11c×rpė = 2 ṙP − 2 (crP) = 2 −+ p ṙ P.κ eκ aeκ ea(1.4)2eė =(1.5)4.
Уравнение конического сечения p = r(1 + e cos θ) позволяет теперь найти скорость изменения истинной аномалии. Найдем производнуюфокального параметра по времени:ṗ =pṙ + rė cos θ − re sin θ θ̇.rПо традиции коэффициенты уравнений выражают через координатыи элементы, избегая скоростей. Для исключения последних воспользуемсяформулами [43, 48]:κe sin θṙ = √,p√κ pvT =,rκ pv=√1 + 2e cos θ + e2 ,p(1.6)где vT , v — трансверсальная скорость и модуль вектора скорости, соответственно.
Учитывая соотношения (1.2, 1.5) для ṗ и ė , получим√κ p p ctg θ2e + (1 + e2 ) cos θθ̇ = 2 + 2 2 ṙP −(crP).rκ eκ 2pe2 sin θ(1.7)36Для практических целей предпочтительнее оказывается в одних случаях истинная, а в других эксцентрическая аномалия. Например, декартовы координаты — линейные функции косинусов и синусов эксцентрическойаномалии, но дробно-линейные от косинусов и синусов истинной аномалии;для компонент скорости ситуация противоположна.
Ниже мы будем выражать коэффициенты уравнений как через истинную, так и через эксцентрическую аномалии согласно связиcos E − ecos θ =,1 − e cos Ecos E =cos θ + e,1 + e cos θ√1 − e2 sin Esin θ =,1 − e cos E√1 − e2 sin θsin E =.1 + e cos θСоотношения (1.6), (1.7) примут вид:r√√κ pκκe a sin E1 + e cos Eṙ =,vT =,v=√,rra 1 − e cos E√√κ p a 1 − e2 (cos E − e)e + cos E√θ̇ = 2 +ṙP−(crP).rκ 2e2 sin Eκ 2ae2 1 − e2 sin E(1.8)(1.9)(1.10)5. Аналогично, уравнение r = a(1 − e cos E) позволяет найти скоростьизменения эксцентрической аномалии:ṙ = ȧ(1 − e cos E) + a(−ė cos E + e sin E Ė),отсюдаĖ =ṙrctg E− 2ȧ +ė.ae sin E a e sin EeПодставим сюда (1.9), (1.3) и (1.5):κ(1 + e2 ) cos E − 2ectg EĖ = √ + aṙP−(crP),r aκ 2 e2 sin Eκ 2ae2(1.11)или, после перехода к истинной аномалии,κp(cos θ − e)cos θ + e√√Ė = √ +ṙP −(crP).r a κ 2 e2 sin θ 1 − e2κ 2ae2 1 − e2 sin θ(1.12)376.
Найдем изменение со временем средней аномалии. Для этого продифференцируем уравнение Кеплера M = E − e sin E:rṀ = Ė − e cos E Ė − ė sin E = Ė − ė sin E.aПодставим сюда (1.5) и (1.11):r κa[(1 + e2 ) cos E − 2e]ctg E√ +Ṁ =ṙP − 2 2 (crP) −a r aκ 2e2 sin Eκ aep1− sin EṙP − 2 (crP) .κ 2eκ aeВ результате получим:cos E − ee(−3 + e2 ) + (1 + 3e2) cos E − 2e3 cos2 EṙP − 2 2(crP).Ṁ = ω + a22κ e sin Eκ ae sin E(1.13)или, после перехода к истинной аномалии,√√r 1 − e2ctgθ1 − e2Ṁ = ω + 2 2(−2e + cos θ + e cos2 θ)ṙP −(crP).
(1.14)κ e sin θκ 2ae27. Остались последние инвариантные элементы — эпоха перицентраτ и средняя аномалия эпохи M0. По определению,M = ω(t − τ ) = M0 + ω(t − t0 ),где t0 = const. Отсюда получаем дифференцированиемṀ = ω̇(t − τ ) + ω(1 − τ̇ ),τ̇ =ω − Ṁ ω̇+ (t − τ ).ωωПодставляя выражения (1.4) и (1.13) или (1.14), получим:a[− cos E + 3e − 3e2 cos E − e3 (1 − 2 cos2 E)]τ̇ =ṙP +κ 2ωe2 sin Ecos E − e3a(t − τ )+ 2(crP)−ṙP,κ ωae2 sin Eκ2(1.15)38или√√r 1 − e2(− cos θ − e cos2 θ + 2e)ctg θ 1 − e23a(t − τ )ṙP+(crP)−ṙP.τ̇ =κ 2ωe2 sin θκ 2ωae2κ2(1.16)Последнее слагаемое как в формуле (1.15), так и в формуле (1.16)содержит вековой член, пропорциональный t − τ , поэтому мы не сталиобъединять его с первым слагаемым. Наличие векового члена делает элемент τ малопригодным на практике для расчета движения на большихинтервалах времени.Аналогично для средней аномалии эпохи M0 дифференцированиемполучаемṀ0 = Ṁ − ω − ω̇(t − t0 ).(1.17)Сюда также следует подставить выражения (1.4) и (1.13) или (1.14).
Мы нестали делать этого, поскольку наличие векового члена, пропорциональноговремени, делает этот элемент таким же малопригодными, как и τ .Иногда используют величину M 0 , определяемую интеграломZ t0M =M +ω(t′ ) dt′,(1.18)t0так что Ṁ 0 = Ṁ − ω и вековой член исчезает. Однако плата за это слишком велика. Система уравнений типа Эйлера, в которой один из 6 элементовравен M 0 , не является системой дифференциальных уравнений. Действительно, система дифференциальных уравнений определяет скорость изменения фазового вектора, если известно время t и значение фазового вектора в момент t.
Между тем знание M 0 (t) не позволяет вычислить фазовыйвектор: для этого надо знать предысторию ω(t′ ) при t0 6 t′ 6 t.Мы не рекомендуем использовать где-либо величину M 0 .39Соберем вместе полученные формулы, приводя как выраженные через истинную, так и через эксцентрическую аномалии варианты:ċ = r × P,1ċ = (crP),c2(crP),ḣ = ṙP,κ2r2a23ωȧ = 2 ṙP,ω̇ = − √ ṙP = −3 3 4 ṙP,κκ aκp11c×r+ p ṙ P,ė = 2 ṙP − 2 (crP) = 2 −κ eκ aeκ ea√κ p p ctg θ2e + (1 + e2 ) cos θθ̇ = 2 + 2 2 ṙP −(crP),rκ eκ 2pe2 sin θ√√κ p a 1 − e2(cos E − e)e + cos E√θ̇ = 2 +ṙP −(crP),22rκ e sin Eκ 2ae2 1 − e2 sin Eκp(cos θ − e)cos θ + e√√Ė = √ +ṙP −(crP),r a κ 2e2 sin θ 1 − e2κ 2 ae2 1 − e2 sin θκ(1 + e2 ) cos E − 2ectg EĖ = √ + aṙP−(crP),κ 2e2 sin Eκ 2ae2r a√√ctgθr 1 − e21 − e2(−2e + cos θ + e cos2 θ)ṙP −(crP),Ṁ = ω + 2 2κ e sin θκ 2 ae2e(−3 + e2 ) + (1 + 3e2) cos E − 2e3 cos2 Ecos E − eṀ = ω + aṙP − 2 2(crP),22κesinEκaesinE√√r 1 − e2 (− cos θ − e cos2 θ + 2e)ctg θ 1 − e2τ̇ =ṙP +(crP)−κ 2 ωe2 sin θκ 2ωae23a(t − τ )−ṙP,κ2a[− cos E + 3e − 3e2 cos E − e3 (1 − 2 cos2 E)]τ̇ =ṙP+κ 2 ωe2 sin Ecos E − e3a(t − τ )+ 2(crP) −ṙP.(1.19)2κ ωae sin Eκ2ṗ =Как видим, скорости изменения всех инвариантных элементов линейно зависят от двух содержащих возмущающую силу величин: ṙP и (crP).401.3.Полуинвариантная форма для полуинвариантных элементовЭлементы i, Ω, σ, w зависят от ориентации осей координат, или, чтото же, от выбора ортов i, j, k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
