Диссертация (1149310), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В этих частных случаях система интегрируется в квадратурах. На практике можно свести многие задачи к такомувиду при надлежащем выборе системы отсчета. Также для первой сопутствующей системы координат осредненные уравнения движения решеныметодом рядов Ли по степеням времени.Приведенные выше результаты применены к задачам изменения орбиты сближающегося с Землей астероида (АСЗ), снабженного двигателеммалой тяги, и спутника-ретранслятора. Получена норма разности оскулирующих и средних элементов для нескольких малых тел и ИСЗ. Оцененвременной интервал, необходимый для существенного изменения элементоворбиты АСЗ при малом возмущении. Оказалось, что двигатель малой тяги,действительно, может быть эффективен для предотвращения астероиднокометной опасности, особенно в отношении тел диаметром до 100 м.25Методология и методы исследования.
Вывод универсальных уравнений типа Эйлера, пригодных для любой системы координат, и уравненийтипа Эйлера для конкретной системы координат выполнены аналитически методами аналитической геометрии и векторного анализа. Осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера осуществлено методом осреднения Крылова–Боголюбова. Метод осреднения позволяет изучать движение небесных тел на космогонических временах, но при этомнеобходимо учитывать возмущения не только первого, но и более высокихпорядков. В этом случае задача слишком сложна для аналитического решения.
Но в указанных практических приложениях перевода малого телана другую орбиту речь идет не о космогонических временах, поэтому точности первого приближения будет достаточно. Средние значения функций,встречающихся при осреднении уравнений типа Эйлера, и неопределенныеинтегралы, необходимые для нахождения функций замены переменных,а также решения частных случаев осредненных уравнений движения дляO1 найдены аналитически методами дифференциального и интегрального исчисления. Радиус сходимости рядов, полученных в главе 2, найденметодами теории функций комплексной переменной.Положения, выносимые на защиту.• Вывод универсальных уравнений типа Эйлера для пятнадцати оскулирующих элементов (из которых 6 независимых).
Для независящих от ориентации системы отсчета элементов правые части выражены через инвариантные относительно группы вращений трехмерного пространства величины. Для зависящих от ориентации элементов26(наклон орбиты к основной плоскости, долгота узла, аргумент перицентра) правые части выражены через величины, инвариантныеотносительно группы вращений плоскости.
Явные выражения черезэлементы получены для трех систем отсчета.• Выполнение процедуры осреднения в основной и двух сопутствующих системах отсчета. Получены в замкнутой форме как правые части осредненных уравнений, так и функции замены переменных. Винерциальной и сопутствующей системе с первым ортом по радиусувектору все функции элементарны. В сопутствующей системе O2 правые части осредненных уравнений содержат также полные эллиптические интегралы. Функции замены медленных переменных содержаттакже неполные эллиптические интегралы. Соответствующие функции для быстрой переменной содержат также интегралы от неполныхэллиптических интегралов.
Средствами компьютерной алгебры дляних получены представления в виде рядов по степеням эксцентриситета. Найден их радиус сходимости, оказавшийся равным единице.• Интегрирование осредненных уравнений. Инерциальная система нерассматривалась, поскольку постоянство вектора возмущающегоускорения приводит к предельному варианту задачи двух неподвижных центров, интегрируемой в квадратурах. В сопутствующей системе с первым ортом по радиусу-вектору найдены решения уравненийдвижения в средних элементах при e = 0 (круговые орбиты) и вслучаях, если хотя бы одна из компонент возмущающего ускоренияравна нулю. В этих частных случаях система интегрируется в квад-27ратурах.
Также для первой сопутствующей системы отсчета осредненные уравнения движения решены методом рядов Ли по степенямвремени.Степень достоверности и апробация результатов. Результаты, полученные в ходе данного исследования, докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, а также на научных конференциях: намеждународной конференции «Околоземная астрономия-2013» (Туапсинский р-н Краснодарского края, п.
Агой, 7–11 окт. 2013 г.); на 38-х Академических чтениях по космонавтике (г. Москва, РАН, 28–31 янв. 2014 г.); на43-й и 44-й международных студенческих научных конференциях «Физика космоса» (г. Екатеринбург, 2014–2015 гг.); на 1-й всероссийской научнойконференции «Экология и космос» им.
акад. К.Я.Кондратьева (г. СанктПетербург, 7 февраля 2014 г.).Достоверность результатов диссертации обеспечена корректным применением апробированных методов математики и небесной механики, атакже совпадением с результатами исследований других авторов в сопоставимых случаях.Публикации по результатам работы. Основные результаты работыопубликованы в следующих статьях в рецензируемых журналах:• Санникова Т.Н., Холшевников К.В.
Уравнения движения в оскулирующих элементах в различных системах отсчета // Вестник СПбГУ,сер. 1, вып. 4, 2013, c. 134–145.• Санникова Т.Н., Холшевников К.В., Чечеткин В.М. Применение ме-28тода осреднения Гаусса к анализу возможности увода небесного тела// Экологич. вестн. научн. центров Черноморск. экон.
сотрудн., том 2,No. 4, 2013, c. 144–147.• Санникова Т.Н. Осредненные уравнения движения в центральном поле при постоянном по модулю возмущающем ускорении // ВестникСПбГУ, сер. 1, том 1(59), вып. 1, 2014, с. 171–179.• Холшевников К.В., Санникова Т.Н., Джазмати М.С. К выводууравнений движения в оскулирующих элементах // Вестник СПбГУ,сер. 1, том 1(59), вып. 2, 2014, с. 160–164.• Холшевников К.В., Санникова Т.Н.
Осредненные уравнения движения при постоянном в различных системах отсчета возмущающемускорении // Астрономический Журнал, том 91, № 12, 2014, с. 1060–1068.• Санникова Т.Н., Холшевников К.В. Движение в центральном поле при возмущающем ускорении, постоянном в сопровождающей системе отсчета, связанной с радиусом-вектором // АстрономическийЖурнал, том 92, № 8, 2015, с.
681–692.В совместных статьях Санниковой Т.Н. принадлежит вывод инвариантных и полуинвариантных уравнений типа Эйлера, а затем получение изних дифференциальных уравнений в трех системах отсчета для 15 элементов орбиты, выполнение процедуры осреднения, вывод уравнений движения в средних элементах и функций замены переменных для трех системкоординат, решение в квадратурах системы осредненных уравнений в O129для нескольких частных случаев, вывод нормы разности оскулирующих исредних элементов.Доклады по результатам работы опубликованы в трудах конференций:• Холшевников К.В., Санникова Т.Н. Движение с постоянным в различных системах отсчета возмущающим ускорением // Труды 43-йМеждународной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 3 — 7 февраля 2014 г, c.
129–146.• Холшевников К.В., Санникова Т.Н., Батмунх Н. Связь возмущенийкоординат и элементов орбиты // Труды 44-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург,2 — 6 февраля 2015 г, c. 127–139.Структура диссертации. Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения, списка литературы и приложения.
Объем диссертации —175 с., включая 9 рисунков и 8 таблиц.Первая глава «Уравнения движения типа Эйлера» содержит в себевывод универсальных уравнений типа Эйлера для пятнадцати часто используемых оскулирующих элементов орбиты, пригодных для любой системы координат, и уравнений типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат — основной (инерциальной) и двух сопутствующих. Все уравнения получены в двух вариантах — выраженными черезэксцентрическую и через истинную аномалию.Во второй главе «Метод осреднения» рассмотрены системы уравнений для шести независимых элементов орбиты, отвечающих трем выше-30указанным системам отсчета при постоянном модуле возмущающего ускорения, и выполнено методом Крылова-Боголюбова осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера в первом порядке по маломупараметру, соответствующему отношению возмущающего ускорения к основному.
В результате получены уравнения движения в средних элементахи функции замены переменных для основной и двух сопутствующих системкоординат в замкнутой форме, без использования разложений по степенямэксцентриситета, или наклона, или отношения радиуса центрального телак большой полуоси. Так как для второй сопутствующей системы отсчета(с первым ортом по вектору скорости) в формулах замены переменныхпоявляются неполные эллиптические интегралы первого и второго рода,и даже интегралы от неполных эллиптических интегралов, то кроме замкнутых формул получены их разложения по степеням эксцентриситета.Найден радиус сходимости этих рядов.В третьей главе «Разность положений на оскулирующей и среднейорбите для системы O1 » получена формула для вычисления нормы разности оскулирующих и средних элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
