Диссертация (1149310), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В [73] рассматривается переход космического аппарата между круговыми орбитами под действием малой тяги приусловии постоянного нулевого эксцентриситета. В [92] исследуется плоскаязадача вывода космического аппарата со спутниковой круговой орбиты поддействием тяги, направленной либо вдоль радиуса-вектора (S 6= 0), либопо трансверсали (T 6= 0).
Уравнения движения записаны в полярной системе координат, получено их решение в виде рядов. Более современныерезультаты по этой проблеме получены в работах Беттина [53] и Болтца10[55, 56]. В случае радиальной тяги, как отмечает Болтц, существует критическое значение постоянного по величине ускорения, выше которого витоге будет достигнута скорость убегания, и ниже которого космическийаппарат будет удаляться от центрального тела по спиральной орбите, азатем вернется к начальной высоте, несмотря на продолжающееся воздействие тяги. Влияние постоянной тяги, направленной по радиусу-вектору,на круговую орбиту рассматривается также в [89]. Авторы опираются наидею, что радиальная компонента ускорения может быть просто учтена влагранжиане как дополнительный член потенциальной энергии.
Полученыформулы для значения радиуса, при котором достигается энергия убегания и для амплитуды радиальных колебаний, если значение тяги нижекритического.Многочисленные исследования показали, что, если целью являетсяувеличение большой полуоси орбиты, например, в случае межпланетного перелета, оптимальным является тангенциальное ускорение T.
Так, в[90] изучается переход между компланарными круговыми орбитами поддействием ускорения, направленного вдоль вектора скорости. В [34] исследуется плоский спиральный разгон космического аппарата под действием постоянного касательного ускорения T малой тяги. В [57], предполагая величину тангенциального ускорения малой постоянной величиной, аостальные составляющие возмущений нулевыми, записаны дифференциальные уравнения для трех орбитальных параметров, описывающих геометрию орбиты, и получены их аналитическое решение в виде разложенияв ряд первого порядка по малой величине ускорения, выраженные черезэллиптические интегралы первого и второго рода.11Также для получения аналитического решения дифференциальныхуравнений могут применяться различные приближенные методы.
В [66]вариационные уравнения для большой полуоси, эксцентриситета, аргумента перицентра и эксцентрической аномалии в качестве быстрой переменной записаны в O1 при S 6= 0, T 6= 0, W = 0. В предположении малостивеличин S, T в уравнении для эксцентрической аномалии отбрасываются члены, содержащие компоненты возмущающего ускорения, и остаетсятолько первое слагаемое. С учетом полученного выражения в первых трехуравнениях производится замена дифференцирования по времени дифференцированием по эксцентрической аномалии. Далее проводится интегрирование по эксцентрической аномалии. Авторы применяют свою методикудля изучения эволюции орбит, в том числе высокоэксцентричных, при воздействии длительной тангенциальной тяги, учитывается эффект тени исплюснутости Земли, а также истечение массы и изменение тяги со временем.
В [65] использована такая же методика для уравнений движения,записанных в O2 при T 6= 0, N = W = 0. В [63] рассматривается возможность отклонение малого тела, сближающегося с Землей, от опаснойорбиты с помощью воздействия малой тяги, направленной вдоль вектора скорости. Система вариационных уравнений Гаусса для шести элементов орбиты записаны в системе отсчета O2 при не равной нулю толькотангенциальной составляющей возмущающего ускорения. Дифференцирование по времени заменено на дифференцирование по истинной долготе,далее проводится интегрирование по истинной долготе от 0 до 2π, в результате чего вариации элементов выражены через эллиптические интегралы.Полученные уравнения решаются численным интегрированием.
В [95] ва-12риационные уравнения для несингулярных равноденственных элементов(non-singular equinoctial elements), не приводящих к появлению особенностей в случае нулевого эксцентриситета или нулевого наклона орбиты, записаны в системе отсчета O1 . Вариация быстрой переменной (истиннойдолготы) аппроксимируется отбрасыванием слагаемых, содержащих компоненты ускорения, и в уравнениях для медленных переменных осуществляется переход от дифференцирования по времени к дифференцированиюпо быстрой переменной. Решения этих уравнений, представленные в виде рядов по малому параметру с точностью до первого порядка малости,содержат семь различных интегралов по истинной долготе в пределах отначального значения до конечного, которые были взяты аналитически спомощью средств компьютерной алгебры. Шестое уравнение – производная времени по истинной долготе – содержит 12 различных интегралов, изних только четыре авторам удалось взять аналитически.
В более позднейработе [94] авторы находят аналитическое решение шестого уравнения длянескольких частных случаев.Как видим, задача одного притягивающего центра с дополнительнымускорением широко применяется в астродинамике и небесной механике,кроме этого она часто используются и в учебных целях [45].Понятия «оскулирующая орбита» и «оскулирующие элементы» являются важнейшими в небесной механике.
Поскольку среди элементов встречаются медленно и быстро изменяющиеся, то переход к ним от координат и скоростей позволил, в частности, разработать метод осреднения побыстрым переменным [14, 16, 19] и описывать движение небесных тел накосмогонических временах. Введение оскулирующих элементов потребо-13вало вывода соответствующих уравнений движения, что было выполненоеще Эйлером (в общем случае) и Лагранжем (для потенциальных сил).В данной работе мы рассматриваем общий случай, считая силовое полепроизвольным, не предполагая его потенциальности, и тем более консервативности.Осреднение уравнений движения по быстрой переменной в случае задачи одного притягивающего центра с дополнительным ускорением позволяет исследовать вековое изменение траектории под влиянием добавочного возмущения, но до сих пор применяется он редко и только в частныхслучаях.
Например, в [74] используется метод осреднения для вычисленияаналитического решения для восходящей орбиты при постоянном тангенциальном ускорении в присутствии земной тени (периоды нулевой тягидля двигателей на солнечных батареях). Полученные уравнения, которыесодержат ряды по степеням эксцентриситета, являются точными для малых и умеренных значений эксцентриситета (0 < e < 0.2). Также здесьучтен эффект сплюснутости Земли. В [87] в результате аппроксимирующих преобразований осредненных вариационных уравнений движения получены осредненные по времени скорости изменения орбитальной энергиии эксцентриситета под действием только T, а затем найдено выражениепроизводной энергии по эксцентриситету.
Решение, выраженное через эллиптические интегралы и их разложения в ряд, действительно для всехначальных эксцентриситетов, кроме равных нулю и единице. Также здесьпредставлен обзор приближенных решений, полученных ранее другими авторами. В [69] компоненты возмущающего ускорения S, T, W представленыв виде рядов Фурье по эксцентрической аномалии, затем уравнения Гаусса14осреднены. Этот подход хорош тем, что не требует постоянства величиныили направления тяги. Точное решение осредненных уравнений для системы O2 в случае e = 0, T 6= 0, N = W = 0 получено в [42].Как правило, исследование движения малого тела A под действием силы притяжения к точке S и возмущающей силы P в инерциальнойсистеме отсчета с началом в S начинается с записи дифференциальногоуравнения вида [43, 67]:r̈ +κ2r = P,r3где r = SA — радиус-вектор, κ 2 = Gm0 — гравитационный параметр, G —постоянная тяготения, точки означают производные по времени. Далее осуществляется переход к оскулирующим элементам и компонентам возмущающей силы на оси какой-либо системы координат, при этом выбор набораэлементов и системы отсчета обусловлен поставленной задачей.
После выбора системы координат и шести независимых оскулирующих элементоввыводится система соответствующих уравнений возмущенного движениятипа Эйлера, которые устанавливают зависимость между оскулирующимиэлементами, их производными по времени, то есть скоростями измененияоскулирующих элементов, и компонентами возмущающего ускорения. Этиуравнения приводятся в руководствах и учебных пособиях по небесной механике, но лишь в специфических системах отсчета и для ограниченногонабора элементов.Так, например, в [43] выведены уравнения для параметра, долготыузла и наклона в системах O и O1 , для большой полуоси, эксцентриситета, аргумента перигелия, среднего движения, средней аномалии эпохи,долготы перигелия и средней долготы эпохи в O1 , а также приведены без15вывода уравнения для большой полуоси, эксцентриситета, долготы перигелия и средней долготы эпохи в O2 .В [26] путем дифференцирования первых интегралов невозмущенного движения и соотношений, связывающих прямоугольные координаты сэлементами орбиты, выведены уравнения типа Эйлера для долготы восходящего узла, наклона, параметра орбиты, эксцентриситета, аргумента перицентра, эпохи перицентра и истинной аномалии в системе координат O1 ,также для этой же системы отсчета получены уравнения для большой полуоси, среднего движения, средней аномалии эпохи и средней долготы эпохи, которые более удобны в случае чисто эллиптического движения.
Далееанализируются частные случаи полученных уравнений, в которых принимается неравной нулю только одна из компонент возмущающего ускорения.В [33] рассмотрено возмущенное движение искусственного спутникаЗемли в системе координат O1 и методами векторной алгебры выведеныуравнения типа Эйлера для долготы восходящего узла, наклона, параметра орбиты, эксцентриситета, аргумента перицентра, аргумента широты, истинной аномалии и эпохи перицентра. Здесь же получены уравнения длябольшой полуоси, параметра, эксцентриситета, аргумента перицентра, эпохи перицентра и постоянной энергии в O2 и проведен качественный анализвлияния отдельных компонент возмущающего ускорения на эволюцию элементов орбиты.В [44] методами векторной и матричной алгебры получена системашести дифференциальных уравнений, в которых осуществлен переход отвремени к истинной аномалии в качестве новой независимой переменнойи проведено интегрирование по истинной аномалии от 0 до 2π, после че-16го оцениваются вариации элементов за один оборот под действием такихвозмущений, как сжатие планеты, сопротивление атмосферы и др.Итак, классические уравнения Эйлера жестко привязаны к определенной системе отсчета, вращающейся в трехмерном пространстве с переменным, зависящим от положения и скорости, вектором угловой скорости,благодаря чему уравнения имеют относительно простой вид.
Однако в векинформатики простота уравнений отходит на второй план. Полезно иметьуниверсальные уравнения движения, инвариантные относительно выборасистемы координат, для наиболее часто используемых элементов. Это возможно лишь частично, поскольку некоторые элементы сами зависят оториентации системы координат. Поэтому целесообразно разбить оскулирующие элементы на два класса: инвариантные, такие как вектор площадейи его модуль, фокальный параметр, постоянная энергии, большая полуось,среднее движение, эксцентриситет, средняя аномалия, истинная аномалия,эксцентрическая аномалия, эпоха перицентра, средняя аномалия эпохи, изависящие от выбора основной плоскости, например, наклон, долгота восходящего узла, аргумент перицентра, аргумент широты.Попытка унифицирования уравнений типа Эйлера встретилась намтолько в книге [67].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
