Автореферат (1145421), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е. представлениегруппы , реализуемое ( + 1)-мерными матрицами вида(︂)︂Λ ,(16)0 1где Λ ∈ (+ , − ) параметризует (псевдо)повороты в объемлющем пространстве, а ∈ + ,− параметризует трансляции в нем. Таким образом, каждой симметричной поверхности соответствует представление указанного вида, и наоборот, зная представление – легко построить симметричную поверхность в виде множества точек пространства рассматриваемого представления, определяемых соотношением(︂ )︂(︂)︂0= ()(17)11при произвольных ∈ , где 0 – некоторая начальная точка, которая в общем случае может зависеть от дополнительных параметров. Перебирая всевозможные представления с заданной размерностью, можно таким образомпостроить все обладающие нужной симметрией поверхности. Находя для каждой из них по формуле (1) соответствующую индуцированную метрику и приравнивая ее заданной метрике риманова пространства, можно затем найти всеобладающие такой симметрией явные вложения этого риманова пространства.Предложенный метод применяется для классификации обладающих симметрией (3) × 1 вложений невращающихся черных дыр.
Для метрикиШварцшильда он позволяет построить как все известные ранее вложения вшестимерное пространство, так и два новых, одно из которых оказываетсяасимптотически плоским, т. е. стремится к четырехмерной плоскости пристремлении радиуса к бесконечности. Для метрик других невращающихсячерных дыр, обладающих зарядом и(или) рассматриваемых в присутствиикосмологической постоянной, систематически исследуется вопрос о существовании глобальных (т.
е. гладких при всех значениях радиуса > 0) вложений в шестимерное пространство, все возникающие в результате примененияметода вложения являются новыми. Также с помощью предложенного методаудается получить все известные вложения метрик моделей Фридмана в пятимерное пространство. Изложенные в этой главе результаты опубликованы вработах [12, 14, 17, 15, 22].Глава 7 посвящена изучению связи, которая может обнаруживаться между квантовыми эффектами в римановом пространстве и квантовыми эффекта20ми, возникающими на соответствующей его вложению поверхности в плоском объемлющем пространстве вследствие наличия в последнем квантовыхполей.
Обсуждается, в каких случаях возникает соответствие между эффектами Хокинга и Унру. Эффект Хокинга [74] заключается в том, что в пространстве-времени с горизонтом событий наблюдатель, расположенный внегоризонта, фиксирует наличие потока частиц, имеющих тепловое распределение, с температурой = /(2), где – так называемая "поверхностнаягравитация". С физической точки зрения соответствует 4-мерному ускорению покоящейся вблизи горизонта в статической системе отсчета частицы,перемасштабированному с учетом красного смещения для наблюдателя, находящегося в некоторой точке вне горизонта.
Эффект же Унру [75] заключаетсяв том, что в пространстве Минковского в состоянии, вакуумном с точки зрения инерциального наблюдателя, движущийся прямолинейно с постояннымускорением наблюдатель обнаруживает тепловое излучение с температуройУнру = /(2). При непрямолинейном движении спектр излучения оказывается уже не тепловым [76, 77].Как было замечено в работах [50–52] и многих других последовавшихза ними, при рассмотрении многих вложений римановых пространств, длякоторых имеет место эффект Хокинга, фиксирующий его наблюдатель оказывается движущимся по такой траектории в плоском объемлющем пространстве, что он наблюдает также и эффект Унру, причем соответствующие этимдвум эффектам температуры совпадают. Подход, при котором термодинамические свойства пространств с горизонтами анализируются с использованиемизометрических вложений в плоское объемлющее пространство, обычно называют GEMS ("global embedding Minkowskian spacetime").Однако оказывается, что обсуждаемое соответствие имеет место не всегда.
В диссертации приводятся примеры вложений, для которых оно отсутствует, а также доказывается следующее утверждение, определяющее достаточные условия существования такого соответствия.Утверждение. Пусть метрика обладает времениподобным вектором Киллинга и существует горизонт Киллинга. Тогда для гладко покрывающего горизонт гиперболического вложения этой метрики соответствие между эффектами Хокинга и Унру имеет место.Полученный результат позволяет для всех вложений указанного вида анализировать термодинамические свойства пространств с горизонтами с использованием этих вложений.Также исследуется, какова внешняя геометрия поверхностей, для которых существует связь между двухточечными функциями Вайтмана на поверхности и в объемлющем пространстве.
Изложенные в этой главе результатыопубликованы в работах [16, 19, 21].21Глава 8 посвящена использованию канонического формализма длянепертурбативного описания квантовой теории поля в координатах с. ф.1± = √ (0 ± 3 ).2(18)Кратко описывается предложенный ранее в [33, 34] метод "исправления" гамильтониана на с. ф. путем анализа диаграмм для функций Грина во всехпорядках теории возмущений. Излагаются результаты его применения к четырехмерной квантовой электродинамике в приближении "обрывания" фоковского пространства, запрещающего рождение фермионных пар, что оказывается равнозначно отсутствию фермионных петель в теории возмущений.С целью применения метода "исправления" гамильтониана на с.
ф. к неабелевой калибровочной теории с максимальным сохранением калибровочнойинвариантности описывается построение фейнмановской теории возмущенийдля такой теории при использовании поперечной решетки. При обычном способе введения решетки компоненты калибровочного поля в дискретизованныхнаправлениях заменяются относимыми к ребрам решетки унитарными матрицы. Это делает действие теории неполиномиальным относительно независимых переменных, что чрезвычайно усложняет анализ фейнмановской теориивозмущений, поэтому исследуется возможность считать эти матрицы произвольными комплексными: () = + ( () + ()) ,(19)где – единичная матрица, , – эрмитовые матрицы, – постояннаярешетки, – константа взаимодействия, = 1, 2.
Поле является вспомогательным нефизическим полем, которое должно отключаться в непрерывномпределе. При таком подходе действие оказывается полиномиальным и анализтеории возмущений упрощается, но зато в теории появляются дополнительные, нефизические степени свободы – поле .Исследуется возможность выбрать действие таким образом, чтобы в каждом порядке теории возмущений функции Грина теории в лоренцевых координатах в пределе стремления к нулю постоянной решетки совпали с функциями Грина исходной непрерывной теории, а нефизические степени свободыотключились.
Для того, чтобы добиться этого в полном объеме необходимопровести процедуру ультрафиолетовой перенормировки теории при снятиирешеточной регуляризации.Для отключения нефизического поля в лагранжиан теории включаетсяслагаемое∑︁)︀2 )︁2 ∑︁ (︁(︀+2tr () () − = − 2 2−→ −tr( ) ,(20)→04 22которое приводит к появлению у поля () массы , устремляя которуюк бесконечности можно пытаться добиться желаемого отключения. Для выбранного вида действия формулируется фейнмановская теория возмущений.Показывается, что все не содержащие ультрафиолетовых расходимостей диаграммы с внешними линиями типа в пределе → 0, → ∞ либо совпадают с соответствующими диаграммами непрерывной теории, либо исчезают,что соответствует отключению нефизических степеней свободы.
Обсуждаетсясхема процедуры перенормировки теории в таком подходе. Результаты даннойглавы опубликованы в работах [4, 5, 10, 25, 7].Глава 9 посвящена применению метода "исправления" гамильтонианана с. ф. к двумерной КЭД, называемой также массивной моделью Швингера.Эта модель привлекает к себе внимание как объект применения методов, вконечном итоге предназначенных для изучения КХД, поскольку она обладаетмногими свойствами, сходными с КХД: конфайнмент, нарушение киральнойсимметрии, топологический -вакуум (см.
[78] и цитируемую там литературу). Данная теория может быть записана в бозонной форме [79], в которойлагранжиан имеет вид)︀ 1 (︀ℒ= − 2 2 + : : + − : − :,822 =, = √ ,(21)2где – постоянная Эйлера, и – константа взаимодействия и масса фермиона двумерной КЭД, параметр определяет выбор инстантонного -вакуумав этой теории, а символ нормального упорядочения означает, что в т. в. по исключаются диаграммы с закороченными линиями.Исследуется т.
в. по (реально разложение ведется по безразмерномуотношению /) для лагранжиана (21), при этом из-за экспоненциальногохарактера взаимодействия оказывается удобным формулировать ее в терминахсуперпропагаторов∞∑︁1(±1) Δ() = ±Δ() ,!=0(22)где Δ() – обычный пропагатор поля в координатном пространстве. Удается найти простую связь между суперпропагаторами теории в лоренцевыхкоординатах и в координатах с. ф.:Δ()−Δ ()2−2= − 2 − (+ ), | |−Δ() = −Δ().(23)Проводится полный анализ, необходимый для "исправления" гамильтонианана с. ф., в результате чего находятся дополнительные контрчлены, осуществ23ляющие такое исправление, т.
е. обеспечивающие при их учете совпадениет. в. в координатах с. ф. и в лоренцевых координатах во всех порядках в пределе снятия регуляризации.В результирующем выражении для гамильтониана на с. ф. удается снятьиспользованную при формулировке т. в. промежуточную ультрафиолетовуюрегуляризацию и осуществить возврат к фермионному описанию теории.Окончательное полученное выражение для "исправленного" гамильтониана нас. ф. имеет видZ−+ =(︂)︂)︁ 2)︀2 (︁ −^ +2 (︀ −1 + [ + ] − 0 + э.с.
− + −1 + , (24)2 − +22 + −−где введено обрезание по − с антипериодическими граничными условиямидля фермионного поля + , одной из мод которого является 0 , а оператор представляет собой величину, канонически сопряженную заряду. Величина ^ является связанной со значениями вакуумных конденсатов в лоренцевых координатах неизвестной функцией от безразмерного отношения /^ /) = ии вакуумного угла , про которую, однако, известно, что (,^^ /), а значит, (0,^ /) = 0.(−,/) = −(,Интересно заметить, что выражение для "исправленного" гамильтонианана с. ф. (24) отличается от выражения, получаемого в результате "наивного" канонического квантования исходной фермионной теории в координатахс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
