Автореферат (1145421), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

ф. Обсуждается важность канонического подхода для построения квантовых теорий, а также рассматриваются особенностиканонического описания систем, обладающих калибровочной симметрией, вчастности – симметрией относительно перепараметризации времени.В главе 2 излагается формализм теории вложения – математический аппарат, позволяющий удобно описывать геометрические характеристики поверхностей, изометрически вложенных в плоское объемлющее пространство,а также их подмногообразий.

-мерная поверхность ℳ в плоском псевдоевклидовом -мерном пространстве + ,− с + времениподобными и − пространственноподобными направлениями, + + − = > , задается функцией вложения ( ), где – некоторые координаты на поверхности, индексы, , . . . пробегают значений, а , , . . . – значений. Такое описание поверхности ℳ обладает инвариантностью относительно преобразований координат на поверхности, причем ( ) представляет собой набор скаляров.

С помощью неквадратного репера = тензоры можно пересаживать изриманова пространства в объемлющее: = .Метрика, индуцированная на поверхности плоской метрикой объемлющего пространства, имеет простое выражение(︀)︀ = = ( ) .(1)Преимуществом проведения вычислений с использованием вложений является возможность сохранять явную ковариантность всех возникающих выраже15ний, в частности – избегать использования таких нетензорных величин каксвязность.

Например, ковариантная производная может быть записана как = ( ),а тензор кривизны записывается в виде(︁)︁ = ( Π )( Π ) − ( Π )( Π ) ,(2)(3)где Π = – проектор на плоскость, касательную к поверхности ℳв данной точке.Формализм теории вложения облегчает проведение вычислений при описании гравитации в виде теории вложения. С его помощью удается достаточнопросто доказывать многие соотношения, связывающие геометрические характеристики римановых пространств и их подмногообразий. В частности – известную формулу связи скалярных кривизн, лежащую в основе каноническогоописания ОТО в формализме Арнавитта-Дезера-Мизнера (АДМ) [72].

Изложенный в главе 2 формализм широко используется в большинстве последующих глав диссертации. В сокращенном виде он приведен в работах [23, 8, 24],а в более полном – в книге [73].В главе 3 исследуются уравнения движения теории вложения – предложенного Т. Редже и К. Тейтельбоймом [26] альтернативного подхода к описанию гравитации, в котором предполагается, что наше пространство-время является не абстрактным римановым пространством (как полагается врамках ОТО), а некоторой четырехмерной поверхностью ℳ в плоском пространстве большего числа измерений.

Согласно теореме Жане-Картана-Фридмана -мерное риманово пространство может быть локально изометрическивложено в плоское объемлющее пространство с минимальной размерностью(+1)/2, поэтому в теории вложения в качестве объемлющего обычно берется псевдоевклидово пространство 1,9 . В качестве независимой переменной втаком подходе используется функция вложения ( ), а метрика, в отличиеот ОТО, независимой переменной не является, а выражается формулой (1).При использовании в качестве действия стандартного выражения Эйнштейна-Гильберта после варьирования по ( ) возникают уравнения движения теории вложения – уравнения Редже-Тейтельбойма( − κ ) = 0,(4)где – тензор Эйнштейна, – тензор энергии-импульса материи, а = – вторая основная форма поверхности ℳ.

Как видно, эти уравненияоказываются более общими, чем уравнения Эйнштейна – наряду с решениямипоследних они также содержат и другие, называемые "лишними", решения.16В работе [26] было предложено в дополнение к полученным из действияуравнениям движения (4) искусственно наложить эйнштейновские связи –часть уравнений Эйнштейна 0 − κ 0 = 0. В диссертации проводится подробное сравнение уравнений Редже-Тейтельбойма с уравнениями Эйнштейна и показывается, что эйнштейновские связи достаточно наложить только вначальный момент времени, для того чтобы решения уравнений теории вложения оказались также решениями уравнений Эйнштейна.Уравнения Редже-Тейтельбойма (4) могут быть записаны в виде системыуравнений(︀)︀ = κ ( + ) , = 0,(5)что позволяет интерпретировать "лишние" решений как решения уравнений Эйнштейна с дополнительной фиктивной материей с тензором энергииимпульса . В диссертации обсуждается возможность такой интерпретации"лишних" решений как соответствующих присутствию темной материи в рамках ОТО.

Результаты этой главы опубликованы в работах [23, 8, 24, 13, 18].Глава 4 посвящена исследованию канонического формализма для теории вложения. Обсуждаются различные его варианты, подробно исследуетсяслучай дополнительного наложения эйнштейновских связей, приводящего кэквивалентной ОТО формулировке гравитации Редже-Тейтельбойма.После отбрасывания поверхностного вклада действие Эйнштейна-Гильберта можно записать в форме, в которой производные по времени 0 от переменных () выписаны явно:⎛⎞Z√︁4 1 ⎜ ˙ ˙^⊥ ˙ ⎟ = ⎝ √︁+ ˙ Π(6)⎠ ,2^˙ Π⊥ ˙где ˙ ≡ 0 , а величина1 √︀−^ ^^ , ,=−κ(7)^⊥ = − Π^ , не содержит производравно как и поперечный проектор Πных по времени.

Здесь величинами со "шляпкой" обозначены характеристики^ являющейся подмногообразием 0 = поверхности ℳ:поверхности ℳ,^ – проектор на^ – детерминант соответствующей трехмерной метрики, Π^ в данной точке, ^ – вторая основная форма ℳ;^плоскость, касательную к ℳ, = ^ ^ −)︀1 (︀ ^ ^ + ^ ^ ,2а индексы , , .

. . пробегают три значения.17(8)Из действия (6) определяется обобщенный импульс , канонически сопряженный переменной : =)︀1 (︀=−− , ˙ 2(9)где^⊥ ˙ Π = √︁^⊥ ˙ ˙ Π(10)представляет собой единичный вектор, касательный к ℳ, и ортогональный к^ Из соотношения (9), с учетом (7) и свойств ^ и , следуют связиℳ.Φ = ^ ≈ 0, (, ) (, ) − 1 ≈ 0,(11)где (, ) – решение уравнения (9) относительно , которое не удаетсязаписать в явном виде.В случае дополнительного наложения эйнштейновских связей ситуацияупрощается, поскольку выражение в скобках в (9) оказывается равно нулю.Однако в этом случае четвертую связь уже нельзя записать в виде второгоусловия (11) (в таком виде она была ошибочно записана в работе [26]), поскольку матрица оказывается необратимой даже в семимерном подпро^ так как из ее опрестранстве объемлющего пространства, ортогонального ℳ,деления (7) следует, что ее ранг не выше чем 6.

Вместо этого четвертая связьдолжна быть записана в видеΨ4 = ≈ 0,(12)где ^ = 0, = 0, | | = 1.В результате, с учетом наложения четырех эйнштейновских связей, всегов теории присутствует восемь связей и обобщенный гамильтониан сводитсяк их линейной комбинации с множителями Лагранжа. Удается вычислить всескобки Пуассона связей друг с другом, показать, что все они по классификации Дирака являются связями 1-ого рода и найти образуемую ими классическую алгебру. Предложен вид действия, соответствующего полученномуканоническому описанию теории вложения с дополнительным наложениемэйнштейновских связей.

Обсуждаются причины, по которым наложенные дополнительно связи могут оказаться в инволюции с динамикой теории, а такжеобсуждается возможность введения частичной фиксации калибровки, при которой время 0 на поверхности ℳ отождествляется с временем объемлющегопространства 0 . Полученные в этой главе результаты опубликованы в работах [8, 24, 9, 20].18В главе 5 предлагается вариант описания гравитации в рамках теориивложения, сформулированный в виде теории ( − 4)-компонентного поля ( ) в плоском -мерном пространстве-времени. Конфигурации поля описывают разбиение этого пространства-времени на систему четырехмерных поверхностей ℳ, каждая из которых может рассматриваться как наше пространство-время.

Не привязанные к координатам на ℳ геометрические характеристики поверхностей ℳ, например – скалярная кривизна , проектор Π ипр., могут быть записаны в терминах поля ( ). Разбиение объемлющегопространства-времени на систему поверхностей ℳ оказывается инвариантноотносительно преобразования "перенумерации" поверхностей ( ) −→ ′ ( ) = ( ( )).(13)В объемлющем пространстве также могут присутствовать поля материи.Получено действие теории, уравнения движения для которого обеспечиваютвыполнение уравнений Редже-Тейтельбойма (среди решений которых есть ирешения уравнений Эйнштейна) для каждой из поверхностей, а также уравнений движения для полей материи, при которых возмущения распространяютсятолько вдоль поверхностей ℳ.

Это действие имеет видZ√︀ = || ( + ℒ ) ,(14)где = det , = ( )( ) , а лагранжиан материи ℒ содержиттолько касательные производные ¯ ≡ Π .Обсуждается построение канонического формализма теории, а также еевозможные дальнейшие обобщения. Описание гравитации в виде теории поляв плоском пространстве-времени может обладать дополнительными преимуществами при переходе к соответствующей квантовой теории. В частности,может быть обычным образом сформулирован квантовый принцип причинности – как условие коммутативности величин ( ) (становящихся при квантовании операторами) в разделенных пространственноподобным интерваломточках плоского объемлющего пространства . Результаты этой главы опубликованы в работе [11].В главе 6 предлагается метод построения явных изометрических вложений для метрик, обладающих достаточно большой симметрией. В основеметода лежит возможность описать все имеющие соответствующую симметрию поверхности при определенной размерности объемлющего пространства.Наличие у поверхности ℳ симметрии относительно заданной группы означает, что ℳ переходит сама в себя под действием некоторой изоморфной̃︀ группы движений объемлющего пространства, представля подгруппы 19ющей собой соответствующую многомерную группу Пуанкаре:̃︀ ⊂ ,≈ = (+ , − ) ◁ .(15)Это означает, что существует гомоморфизм : → , т.

Характеристики

Список файлов диссертации