Автореферат (1145421), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Однако корректно это не было сделано из-за ошибки, допущенной при записи одной из связей. В диссертацииправильный вид связей найден в главе 4, посвященной каноническому формализму теории.При исследовании теории вложения среди прочих возникает задача поиска явного вида вложений для физически интересных решений теории гравитации, например для решений Фридмана и метрик черных дыр. Эту проблемуначали изучать еще задолго до появления теории вложения, рассматривая еекак математическую задачу, решение которой может помочь классифицировать римановы пространства и помочь исследовать их структуру.
Для решений Фридмана явный вид вложений в плоское 5-мерное пространство былнайден Робертсоном [47] (1933), для метрики Шварцшильда вложения в плоское 6-мерное пространство были предложены Казнером [48] (1921), Фронсдалом [49] (1959) и др., однако какого-либо регулярного метода построениявложений известно не было. Также не было известно ни одного вложениядля метрики заряженной черной дыры, гладкого при всех значениях радиуса.Решению этих проблем посвящена глава 6 диссертации.В работах С. Дезера и О. Левина [50–52] (1997-1999), а также в большомколичестве последовавших за ними работ, было замечено, что для многихвложений пространств с горизонтом, в первую очередь – для черных дыр, параметры излучения Хокинга совпадают с параметрами излучения Унру, возникающего из-за того, что покоящийся относительно черной дыры наблюдательс точки зрения объемлющего пространства оказывается движущимся равноускоренно.
Этот факт может говорить о наличии связи между квантовымиэффектами во вложенном пространстве-времени и в объемлющем пространстве. Аналогичная связь обнаруживается также при сравнении двухточечныхфункций Вайтмана и функций Грина [53–55]. В главе 7 диссертации изучается,какими свойствами должны обладать используемые вложения, чтобы указанные связи возникали.Использование канонического квантования в координатах с. ф. [27] в качестве непертурбативного описания моделей квантовой теории поля, несмотря на имеющиеся в этом подходе трудности, продолжает привлекать к себе6внимание в течение длительного времени.
Это связано с существенным преимуществом подхода, заключающемся в простоте описания вакуумного состояния [56]. Следует отметить, что аналогичный канонический подход в лоренцевых координатах к заметному успеху не приводит [57, 58].Кроме указанного преимущества, переход к квантованию в координатахс. ф. приносит и дополнительные трудности, связанные с тем, что с.
ф. является характеристической поверхностью уравнений теории и возникает дополнительная "светоподобная" сингулярность, регуляризация которой нарушаетлоренцеву симметрию, см. обзор [29]. Многие интересные результаты былиполучены при использовании регуляризации этой сингулярности, заключающейся во введении периодических граничных условий по светоподобному направлению − [59, 60]. Такая регуляризация (ее использование обычно называют "методом дискретизованного квантования на световом фронте", DLCQ ванглоязычной литературе) дополнительно удобна тем, что для калибровочныхтеорий она оказывается калибровочно-инвариантной.Данным методом исследовался как ряд двумерных моделей (так называемая модель "синус-Гордон" [61], модель Юкавы [62], двумерная квантовая электродинамика (КЭД) [63], двумерная КХД [64]), так и реалистичныечетырехмерные калибровочные теории – КЭД и КХД.
Среди большого количества работ, посвященных этим последним теориям, можно отметить работы [65–67]. Для калибровочных теорий было замечено, что при каноническом квантовании на с. ф. оказывается необходимым использовать калибровку− = 0 или близкие к ней, в противном случае в теории возникают связи второго рода, при решении которых нужно обращать ковариантную производную− = − + − [68,60]. Общее количество работ, посвященных квантованиютеории поля в координатах с.
ф. очень велико, см. обзоры [29, 30] и цитированную там литературу.Как уже упоминалось выше, теория, возникающая в результате квантования на с. ф., может оказаться неэквивалентна исходной теории в лоренцевыхкоординатах [31, 32] и был предложен метод проверки такой эквивалентности(а также, при необходимости – "исправления" теории) путем анализа, проводимого во всех порядках т.
в. [33, 34]. Метод был успешно применен к скалярной теории и модели Юкавы [33, 34], к двумерной КЭД [69, 34], а также кчетырехмерной КХД [70, 34], однако полученный гамильтониан КХД на с. ф.оказался очень сложным и содержащим большое количество неопределенныхпараметров.
Возможность преодоления этой трудности обсуждается в главе 8.В главе 9 рассматривается применение указанного метода к двумерной КЭДна пути, позволившем снять регуляризацию в результирующем гамильтонианена с. ф., и проводится непертурбативный расчет спектра масс теории.7Целями данной работы являются исследование, в том числе с помощьюканонического формализма, подхода к описанию гравитации в рамках теориивложения, а также дальнейшая разработка предложенного в кандидатской диссертации автора метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте. В теории вложения предполагается, что искривленное четырехмерное пространство-время является поверхностью в плоскомпространстве большего числа измерений, что делает данный подход к описанию гравитации потенциально более пригодным для квантования.
Канонический гамильтониан на с. ф. можно использовать для проведения непертурбативных расчетов спектра масс теории, что актуально при больших константахвзаимодействия, но, поскольку теория на с. ф. может отличаться от исходнойтеории в лоренцевых координатах, перед таким использованием необходимопроводить "исправление" этого гамильтониана.Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.∙ Разработать математический формализм, удобный для проведения вычислений в теории вложения.∙ Провести сравнение уравнений движения теории вложения с уравнениями Эйнштейна и исследовать условия существования "лишних" решений, уравнениям Эйнштейна не удовлетворяющих.∙ Построить канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей и найти образуемую имиалгебру, доказав таким образом, что они по классификации Дирака являются связями первого рода.∙ Сформулировать вариант теории вложения, имеющий вид некоторойтеории поля в плоском объемлющем пространстве.∙ Разработать регулярный метод построения явных вложений для римановых пространств, обладающих достаточно большой симметрией.∙ Исследовать, при каких свойствах используемых вложений возникаетсвязь между квантовыми эффектами во вложенном пространстве-времени и в объемлющем пространстве, в частности – соответствие междуэффектами Хокинга и Унру.∙ Исследовать возможность применения метода построения "исправленного" канонического гамильтониана на световом фронте при проведениивычислений для четырехмерных калибровочных теорий.8∙ Построить "исправленный" канонический гамильтониан на световомфронте для двумерной квантовой электродинамики, позволяющий явноперейти к пределу снятия используемой ультрафиолетовой регуляризации.∙ Провести на основе такого гамильтониана непертурбативный расчетспектра масс теории и сравнить его с известными результатами решеточных расчетов.Основные положения, выносимые на защиту.1.
Доказано, что для теории вложения достаточно только в начальный момент времени наложить эйнштейновские связи, для того чтобы решениеуравнений теории оказалось также решением уравнений Эйнштейна.2. Найден правильный вид связей, возникающих при каноническом описании теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновскихсвязей.3. Доказано, что эти связи образуют алгебру связей первого рода, найденявный вид этой алгебры.4. Предложен новый вариант теории вложения (теория разбиения), имеющий вид теории ( − 4)-компонентного скалярного поля в плоскомобъемлющем -мерном пространстве Минковского.
Доказано, что привыполнении уравнений движения такого поля поверхности постоянныхзначений поля удовлетворяют обычным уравнениям теории вложения.5. Предложен регулярный метод построения поверхностей, обладающихзаданной симметрией. С его помощью можно строить явные вложенияримановых пространств с заданной метрикой, если они обладают достаточно большой симметрией.6. С помощью этого метода проведена классификация всех четырехмерныхповерхностей, обладающих группой симметрии невращающихся черныхдыр (3) × 1 .7.
Найдены достаточные условия существования соответствия между эффектами Хокинга и Унру при использовании вложений.8. Построен "исправленный" канонический гамильтониан на световомфронте для двумерной квантовой электродинамики, удобный для проведения непертурбативных расчетов.99. С помощью непертурбативного вычисления спектра масс на основе этого гамильтониана и сравнения полученных результатов с известнымирезультатами решеточных расчетов доказано, что полученный гамильтониан правильно описывает исходную лоренц-ковариантную теорию привсех значениях константы взаимодействия теории.Научная новизна и практическая значимость работы.Все перечисленные выше положения, выносимые на защиту, основанына результатах, полученных впервые.Разработанный в главе 2 формализм теории вложений может быть полезен как при проведении вычислений в теориях, использующих изометрические вложения (например – в теории бран), так и при доказательстве связанных с описанием подмногообразий формул римановой геометрии.Идея наложения эйнштейновских связей предложена в работе [26], нотот факт, что их достаточно наложить только в начальный момент времени –доказан впервые.
Проведенный анализ уравнений теории вложения оказывается полезен при обсуждении возможности интерпретации "лишних" решенийуравнений теории вложения как эффекта темной материи.Попытка записать канонический формализм для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей была предпринята тоже вработе [26], однако из-за допущенной ошибки одна из связей была записана неверно, что также не позволило доказать их замыкание. Таким образом,правильный вид связей получен впервые, равно как и вид образуемой имиалгебры.
Полученные результаты позволяют поставить вопрос о виде алгебры связей для соответствующей квантовой теории. Как известно, вопрос озамыкании квантовой алгебры связей в рамках ОТО все еще остается до конца не исследованным, поэтому полезно изучить его для теории вложения, гденаличие плоского объемлющего пространства может сыграть положительнуюроль.Формулировки теории вложения в виде какой-либо теории поля в плоском пространстве ранее не существовало, такая формулировка – теория разбиения – предложена впервые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
