Автореферат (1145382), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Особое внимание уделяется методам повышения вычислительной эффективности МКЭ и контроля точности получаемых результатов.Раздел 2.1является вводным. В нём поясняется выбор МКЭ в качествеосновного вычислительного метода, используемого в данной работе.В разделе 2.2уравнения из первой главы записываются в форме интегральных тождеств. Определение решений дифференциальных уравнений (2)сводится к решению вариационного уравнения для функции Ψ, состоящей изкомпонент Ψ′:найти Ψ ∈ H1 ( × × ) такую, что для любой Ψ̃ ∈ H1 ( × × )выполняется равенство:^^(Ψ,Ψ̃) − (Ψ,Ψ̃) = ^ (Ψ̃).(14)^^Билинейные формы (Ψ,Ψ̃) и (Ψ,Ψ̃) являются матрицами по индексам компонент.
Для задачи рассеяния энергия в уравнении (14) задана, и требуетсярешить вариационное уравнение. Для задач поиска связанных состояний ирезонансов правая часть в (14) равна нулю, ^ (Ψ) = 0, и требуется решитьобобщённую задачу на собственные значения.Раздел 2.3является основным разделом данной главы. В нём описанМКЭ, используемый в работе, и методы, позволяющие обеспечить его эффективность. Вначале рассмотрен одномерный МКЭ, и показано, как построить13необходимый набор базисных элементных функций из произвольного наборалинейно-независимых функций. Одномерные базисные элементные функциииспользуются для построения трёхмерного МКЭ.Глобальные трёхмерные функции (, , ), = 1 . . .
, где – общеечисло функций, построены так, что их проекции на каждый конечный элемент представляются в факторизованном по трём координатам виде:⃒⃒()()()= ℎ, ()ℎ, ()ℎ, (). (, , )⃒(,,)∈(15)()с некоторыми явно определёнными функциями ℎ, (), = , , . Такоепредставление элементных базисных функций существенно упрощает вычисление большинства матричных элементов. Дискретное решение [ΨFEM ] уравнения (14) раскладывается по построенному глобальному базису функций′ (, , ) как[ΨFEM ]′=∑︁ ′ ′ ( , , ).(16)=1Базисные функции при этом могут как совпадать для разных компонент, таки зависеть от номера компоненты, ′ (, , ).
Так как проекции функций (, , ) на элемент представляются как произведения функций по каждойиз координат (15), то матричные элементы операторов, отвечающих кинетической энергии в уравнении (14), сводятся к произведению трёх одномерныхинтегралов. Это, однако, не верно для оператора умножения на полный трёхчастичный потенциал.Для упрощения вычисления матричных элементов потенциала, используется разложение компоненты волновой функции Ψ , как функции угла ,в ряд по сферическим гармоникам с нулевым вторым аргументом:[ΨFEM ] ( , , )=+ −1∑︁Φ ( , ) ( , 0).(17)=Количество элементов разложения для каждой из компонент одинаково, норазлагаются эти компоненты по разным наборам функций, т.е.
базисные функции зависят от номера компоненты. Матричные элементы потенциала (, )14при использовании такого разложения имеют видZ(, ) = 2 sin (, 0) (, , ) (, 0).(18)0Если разложить полный потенциал (, , ) по полиномам Лежандра, (, , ) =∞∑︁ (, ) (cos ),(19)=0(, ) находятся явно в терминах коэффициентовто матричные элементы Клебша-Гордана:(, ) =+∑︁√︂ (, )=|−|2 + 1 0 .2 + 1 00 0(20)Для фиксированных значений индексов , и эта сумма содержит конечное число слагаемых, так что в вычисления не вносятся дополнительные погрешности.
В реальных условиях количество вычислений угловых интеграловсокращается примерно в /4 раз по сравнению с вычислением без использования разложения (19). Для произвольного потенциала разложение (19) должно быть получено с помощью численного интегрирования, хотя для некоторыхтипов потенциалов (например, кулоновского) можно найти явные выражения.В разделе 2.4обсуждаются оценки погрешности используемого численного метода, построенные на основе стандартной оценки погрешности МКЭ.Приводятся две экстраполяционные формулы, используемые в дальнейшемдля оценки погрешности вычислений собственных значений и энергий резонансов. Описан разработанный адаптивный алгоритм на основе свойства сверхсходимости, использованный как для автоматического уточнения решений, так идля контроля точности получаемых решений.В разделе 2.5коротко обсуждаются особенности программной реализации разработанного вычислительного подхода, возможность и эффективностьиспользования параллельных вычислительных средств и метод решения обобщённой задачи на собственные значения.В разделе 2.6сформулированы основные выводы к главе.15Изложение, приведённое в главе 2, основано на результатах работ [A5,A10, A15].В третьей главе«Дискретный спектр некоторых трёхчастичных систем», представлены результаты исследования нескольких квантовых систем.Хотя расчёты «обычных» связанных состояний не представляют особых сложностей в современных условиях, в некоторых специальных случаях исследование спектра трёхчастичной системы всё же является непростой задачей.Некоторые из таких примеров собраны в этой главе.Во вводномразделе 3.1В разделе 3.2поясняется выбор исследуемых систем.обсуждаются метастабильные состояния изотопов антипротонного гелия – системы, в которой один из электронов атома гелия заменён на антипротон.
После своего обнаружения в 1991 году, эта система сталапопулярным объектом исследований, а прогресс в технике эксперимента обеспечил высочайшую точность измерений длин волн переходов между состояниями [30]. Помимо высокой точности, дополнительную сложность создаёт тотфакт, что все экспериментально достижимые уровни имеют высокий полныйугловой момент, = 30 − 40, и, строго говоря, являются резонансными состояниями, лежащими на непрерывном кулоновском спектре.В данной работе использовался естественный и простой способ регуляризации уравнения (2) – его проецирование на подпространство, состоящее из′нескольких первых компонент решения Ψ ′ , = 0, .
. . , . Уровни энергии,лежащие ниже двухчастичного порога −2¯ He++ /( − + 1), будут истинносвязанными состояниями системы, описываемой проецированным уравнением.Такая регуляризация уравнения возможна, так как энергия состояний антипротонного гелия быстро сходится при увеличении числа рассматриваемыхкомпонент .Для численного исследования был применён разработанный в Главе 2метод. Анализ решений показал, что более точные результаты получаются привыборе «неадиабатической» кластеризации, когда координата пары задаётрасстояние между электроном и ядром гелия, а – между центром масс пары16и антипротоном.Сравнение теоретических расчётов с современными экспериментальнымиданными требует учёта релятивистских и КЭД эффектов.
Их вычисление вданной системе несколько упрощается за счёт того, что, помимо постояннойтонкой структуры , имеется ещё один малый параметр, e /¯ ≃ 5.4 10−4 .e 0Релятивистские поправки в старшем порядке 2 ( ) к уровням энергии в¯антипротонном гелии имеют вид(rel)Δ = 2⟨⃒⃒ 4⟩⃒ +⃒p+ ⃒,Ψ0 ⃒− + (2(r23 ) − (r12 ))⃒⃒ Ψ082(21)где p4 – оператор четвёртой степени импульса.
Для операторов, входящихв эту формулу, в работе приведены выражения, гарантирующие их аккуратLное вычисление. Лэмбовский сдвиг Δв антипротонном гелии вычисляетсяв предположении независимости взаимодействия электрона с электростатическими полями, создаваемыми He++ и ¯ как сумма двух слагаемых по аналогиис обычным атомом гелия [3]. Его значение находится, как и в (21), в терминахматричных элементов от функций (r23 ) и (r12 ).В работе приведены значения кулоновских уровней энергии, значений(rel)LΔи Δ для набора состояний обоих изотопов ¯ 4 He+ и ¯ 3 He+ .
Срав(rel)Lнение Δи Δпоказывает, что для всех уровней выполняется прибли(rel)Lжённое равенство Δ≈ 16 Δ .C учётом всех обсуждаемых поправок, были вычислены длины волн радиационных переходов (, ) → (, − 1), некоторые из которых приведеныв таблице 1. Были также найдены вероятности радиационных переходов ивремена жизни состояний.В разделе 3.3обсуждаются тримеры наиболее лёгких благородных газов – гелия He3 , неона Ne3 и аргона Ar3 . Энергия связи тримера гелия оченьмала, а связанные состояния с ненулевым угловым моментом отсутствуют.Размер волновой функции этих тримеров чрезвычайно велик, он существенно больше, чем область межчастичного взаимодействия. В работе проведенырасчёты симметричного 4 He3 и асимметричного 4 He2 -3 He тримеров гелия для17Таблица 1.
Сравнение теоретических и экспериментальных длин волн основных радиационных переходов (, ) → (, − 1) [нм] для антипротонного гелия.(, )Кулоновские[A38, A36] [5]Релятивистские и КЭД[31][6][A37, A36]Эксперимент[32]¯ 4 He+(2, 34) 470.702470.7051 470.725 470.72184 470.723470.72177(9)(3, 35) 597.224597.2287 597.262 597.25709 597.258597.25704(5)¯ 3 He+(2,33)463.931463.9287 463.948 463.94543 463.945463.94545(8)(3,34)593.363593.3593 593.393 593.38723 593.387593.38724(8)различных потенциалов межатомного взаимодействия. Найдены вычисленныеи экстраполированные характеристики основного состояния симметричноготримера гелия, проведено сравнение с другими доступными расчётами.Для тримера неона, обладающего относительно небольшим количествомсостояний, вычислены уровни энергии для всех состояний симметрии с потенциалом Морзе и с потенциалом HFD-B [33].
С использованием двухчастичной функции плотности проанализированы имеющиеся примеси коллинеарных конфигураций в различных состояниях тримера, и влияние выбора координатных систем на точность описания таких состояний. Вычислены колебательно-вращательные уровни энергии.Для описания тримера аргона, обладающего большим количеством связанных состояний уже для нулевого полного углового момента (500–600 в зависимости от модели потенциала), использовались полуэмпирический HFDIA1потенциал Азиза [34] и потенциал Морзе [35].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
