Диссертация (1145374), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, в данном идеальном случае невозникает ошибки в определении циклотронной частоты ν c . В реальности женаряду с циклотронной компонентой радиального движения ион всегда118обладает еще и магнетронной компонентой с ненулевым радиусом. Этоприводит к тому, что разница фаз между двумя магнетронными пятнами послеконверсии больше не равна разнице фаз между двумя циклотронными пятнамидо конверсии, следовательно возникает ошибка в определении циклотроннойчастоты. При использовании схемы 1 (см.
раздел 5.1 данной главы) временнаянестабильность потенциала ловушки, а, значит, и магнетронной частоты, тожеприводит к ошибке в определении циклотронной частоты.Теоретическое описание процесса интерконверсии радиальных движенийиона в ловушке посредством внешнего радиочастотного квадрупольного поляприводится в [154]. Радиальные движения рассматриваются, как комплексныеосциляторы c комплексными амплитудами магнетронного − () = |− ()| ∙�+− ()� и циклотронного + () = |+ ()| ∙ �−− ()� движений, где− () и + () являются фазами магнетронного и циклотронного движений вмомент времени t. Радиусы магнетронного − () и циклотронного + ()движений выражаются через соответствующие амплитуды как:− () = �ℏ(+ −− )+ () = �ℏ(+ −− )∙ |− ()|,∙ |+ ()|.(5.32)(5.33)Пусть ион выполняет магнетронное и циклотронное движения, соответственно,с амплитудами − (0) и + (0).
После приложения к иону радиальногоквадрупольного радиочастотного поля на частоте , с начальной фазой ипараметром связи g в течение времени ион будет выполнять магнетронное ициклотронное движения соответственно с амплитудами − () и + (),выражающимися как:119�cos( ) + 2 sin( )� ∙ + (0)+ () = �− �2+ + � � ��, (5.34)2−sin( ) ∙ �− � ∙ − (0)�cos( ) − 2 sin( )� ∙ − (0)− () = �+ �2− + � � ��, (5.35)2(0)−sin( ) ∙ �+ � ∙ +где = 2� − � и 2 = �42 + 2 .
Параметр связи g выражается как: =4(+ −−∙) 2,(5.36)где – амплитуда квадрупольного радиочастотного поля.Рассмотрим сначала идеальную ситуацию, при которой ион выполняет толькоциклотронное движение с определёнными радиусом и фазой. Положим, что вначальный момент времени его комплексная амплитуда и фаза равны,соответственно, + (0) и + (0). Сразу после конверсии циклотронногодвижения в магнетронное амплитуда |− ()| и фаза − () магнетронногодвижения выражаются как:|− ()| =sin( ) ∙ |+ (0)|,− () = �2− + � + − + (0) +232(5.37)+ 2,(5.38)где k – целое число. Если конверсия полная, т.е.
|− ()| = |+ (0)|, ивыполняется на свободной циклотронной частоте с , то справедливыследующие равенства: ∙ = + 2,2− () = 2− + − + (0) +(5.39)32+ 2,(5.40)120гдеp – целое число. Таким образом, разница двух фаз циклотронногодвижения конвертируется в такую же разницу двух фаз магнетронногодвижения, но с противоположным знаком. Более того, из выражения (5.38)следует, что даже неполная конверсия на частоте, отличающейся от с , неприводит к возникновению ошибки в определении свободной циклотроннойчастоты с .
Этот факт очень важен, т.к. свободная циклотронная частота собычно известна не точно и является как раз той величиной, котораяопределяется в ходе измерения.Если две фазы циклотронного движения измеряются неодновременно, какэто происходит в схеме 1, то изменения во времени потенциала ловушки, азначит и нестабильность магнетронной частоты, также могут приводить кошибке в определении свободной циклотронной частоты с . Если между двумяизмерениями фазы циклотронного движения магнетронная частота изменяетсяна − , то ошибка в определении разницы фаз циклотронного движения +равна + = 2 ∙ − ∙ .
Это приводит к ошибке в определении свободнойциклотронной частоты с , равнойсс≈++=− ∙ + ∙ ,(5.41)где t – время накопления фазы. На установке SHIPTRAP изменениямагнетронной частоты в течение дня не превышают 20 мГц. Длина импульсаконверсии равна примерно 2 мс. Таким образом, в случае однозарядных ионовизотопа цезия 133, для которых + ≈ 800 кГц, ошибка в определениисвободной циклотронной частоты с равнасс≈++=5∙10−11 [с].(5.42)121Данное значение гораздо меньше статистической погрешности, достижимой вданный момент на установке SHIPTRAP, и поэтому этой ошибкой можнопренебречь.До сих пор мы предполагали, что ион перед конверсией выполняет толькоциклотронное движение.
В реальности невозможно полностью подавитьмагнетронноедвижение.Поэтомуионпередконверсиейнаравнесциклотронным движением выполняет и магнетронное движение с комплекснойамплитудой − (0) = |− (0)| ∙ �+ ∙ − (0)�. В этом случае выражение (5.38)больше не действительно, и возникает ошибка в определении свободнойциклотронной частоты с , вызванная конверсией циклотронного движения вмагнетронное движение.
Детальное рассмотрение данной ситуации проведеноавтором в [43]. В ней показано, что на установке SHIPTRAP максимальнаяотносительная ошибка вравнаопределении свободной циклотронной частоты ссс=60 22с,(5.43)где S – отношение начальной магнетронной амплитуды к начальнойциклотронной амплитуде, = |− (0)|⁄|+ (0)|. Для типичного для установкиSHIPTRAP отношения амплитуд, равного примерно 0.02, а также = 1 с ис = 800 кГц, максимальная относительная ошибка в определении свободнойциклотронной частоты с не превышает значения5·10-9.Данная ошибкадовольно большая.
К счастью, её можно сильно уменьшить или даже совсемобнулить должным выбором определённых параметров. В частности, есливремя накопления фазы пропорционально целому числу периодов свободнойциклотронной частоты с , то конверсия не приводит к ошибке в определениисвободной циклотронной частоты с . Хотя в реальности невозможно добитьсястрогой пропорциональности времени накопления фазы и периода свободной122циклотронной частоты с , всё же удаётся должным выбором временинакопления фазы уменьшить относительную ошибку в определении свободнойциклотронной частоты с до значения 10-9.
Более элегантный способ, которыйпозволяет обнулить ошибку в определении свободной циклотронной частотыс , заключается в следующем. Если начальная фаза магнетронного движенияиона произвольно варьируется от измерения к измерению, т.е. производитсяусреднение ошибки в определении свободной циклотронной частоты с поначальной фазе магнетронного движения, то среднее значение ошибки вопределении свободной циклотронной частоты с равняется нулю. На практикеэто достигается сканированием временного интервала между окончаниемимпульса подавления магнетронного движения (см.
рисунок 5.3, шаг 2а) иначалом импульса возбуждения циклотронного движения (см. рисунок 5.3, шаг3) в пределах от 0 с до значения, соответствующего периоду магнетронногодвижения.Неоднородность магнитного поля и негармоничность потенциала ловушкиИдеальнаяоднородноголовушкамагнитногоПеннингаполяпредставляетисобойгармоническогосуперпозицию(квадратичного)электрического потенциала. В такой ловушке частоты ловушечных движенийиона, а значит и свободная циклотронная частота иона не зависят от амплитуддвижений иона. На практике магнитное поле обладает определённойнеоднородностью, и потенциал ловушки не совсем квадратичен.
Это приводитк тому, чточастоты ловушечных движений иона, а, значит, и свободнаяциклотронная частота иона становятся зависимыми от амплитуддвиженийиона. Данный факт может привести к ошибке в определении свободнойциклотронной частоты с .Рассмотрим сначала влияние неоднородности магнитного поля на частотырадиальных движений иона и, как следствие, на свободную циклотронную123частоту с .
Выражения для сдвигов радиальных ловушечных частот, вызванныхданной неоднородностью, приводятся в главе 1, в разделе “неоднородностьмагнитного поля“:∆+ ≈∆− ≈ −22где 12 , −,1, +,12020∙∙+2−222∙ �12 − −,1− +,1�,2∙ �22 − −,2−−2∙ +,2�,(5.44)(5.45)22и 22 , −,2, +,2– амплитуды аксиального, магнетронного ициклотронного движений иона при измерении, соответственно, циклотронной имагнетронной частот. Принимая во внимание, что ∆+ ≫ ∆− , сдвиг свободнойциклотронной частоты выражается следующим образом:∆ ≈ ∆+ ≈20∙+222∙ �12 − −,1− +,1�.(5.46)Оценим сдвиг свободной циклотронной частоты для однозарядных ионовизотопа цезия 133, который возникает на установке SHIPTRAP.
B 0 и B 2 равны,соответственно, 7 Тл и 7·10-3 Тл/м2. Обычно аксиальное движение имеетамплитуду порядка 0.5 мм, радиус магнетронного движения не превышает 0.05мм, и циклотронное движение возбуждается до радиуса порядка 0.7 мм. В этомслучае относительный сдвиг свободной циклотронной частоты ∆ / равенпримерно 10-10.Рассмотрим теперь влияние неквадратичности электрического потенциалаловушки на частоты радиальных движений иона, и как следствие, на свободнуюциклотронную частоту с . Наиболее важными неквадратичными компонентамив степенном разложении потенциала ловушки являются октупольная идодекапольнаякомпоненты,коэффициентамис4ис6характеризующиеся,(см.главу1,разделсоответственно,“негармоничность124электростатическогопотенциала“).Сдвиградиальныхчастотиз-занегармоничности потенциала ловушки выражается следующим образом:−с6с2+∙с6с215−8 4∙с4с4∙с2∙3−2 222∙ �212 − 2−,1− +,1�−442222∙ �314 + 3−,1+ +,1− 6+,112 − 12−,112 + 6+,1−,1�,15−8 4∆+ ≈ −∆− ≈с23−2 222∙ �222 − 2+,2− −,2�+442222∙ �324 + 3+,2+ −,2− 6−,222 − 12+,222 + 6+,2−,2�.(5.47)(5.48)Оценим сдвиг радиальных частот для однозарядных ионов изотопа цезия 133 наустановке SHIPTRAP.
Сперва рассмотрим идеальную ситуацию, когдаотсутствует уменьшение радиуса циклотронного движения из-за рассеянияионов на остаточном газе. Амплитуда аксиального движения как в случаеизмерения циклотронной частоты 2 , так и при измерении магнетроннойчастоты 1 одинакова и равна примерно 0.5 мм. При измерении циклотроннойчастоты радиус магнетронного движения −,1 не превышает 0.05 мм, ициклотронное движение возбуждается до радиуса +,1 порядка 0.7 мм. Приизмерениимагнетроннойчастотыситуациясрадиусамизеркальнопротивоположная: радиус циклотронного движения +,2 не превышает 0.05 мм,а магнетронное движение возбуждается до радиуса −,2 порядка 0.7 мм. Притаких условиях ∆− = −∆+ , а значит, не происходит сдвига свободнойциклотронной частоты.Если происходит рассеяние ионов на остаточном газе, то радиусциклотронного движения уменьшается, и это приводит к сдвигу свободнойциклотронной частоты.
Оценим его. Пусть +,1 и −,2 сразу после возбужденияравны 0.7 мм. Обычно к концу времени набора фазы +,1 уменьшается на 10%из-за рассеяния ионов на остаточном газе, т.е. в среднем +,1 уменьшается на5% и равняется 0.67 мм. Коэффициенты с 2 , с 4 и с 6 для потенциала ловушки125SHIPTRAP равны, соответственно, 1, 0.01 и -3.57 [43]. Подставляя этичисленные значения в выражения (5.48) и (5.49), получаем, что относительныйсдвиг свободной циклотронной частоты ∆ / не превышает 10-9.Вкачествезаключенияперечислимвтаблицевсе5.2эффекты,рассмотренные в данном разделе, которые могут приводить к ошибке вопределении свободной циклотронной частоты иона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
