Диссертация (1145356), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью157. Очевидно, что∑︁ () =∈∑︁ () +∈∑︁ ().∈ ∖Тогда имеем∑︁ () = −∈∑︁ () ≥ − (* (), , ; ), (* (), , ; ) −∈ ∖∑︁ (). (* (), , ; ) − (* (), , ; ) ≥∈ ∖Выбирая в предыдущем выражении := ∖ , получаем−]︀ ∑︁ [︀ (* (), , ; ) − (* (), , ; ∖ ) ≥ ().∈Очевидно, что ограничение на ПРД в виде (5.2.36) в условиях Теоремы 5.2.1также непосредственно может быть получено из альтернативного определенияС–ядра (5.1.6).Пусть (0 , 0 , ) ⊆ (0 , 0 , ) — множество опорных решений в С–ядре(0 , 0 , ). Тогда справедливо следующее Следствие 5.2.2 из Теоремы 5.2.1.Следствие 5.2.2.
Пусть характеристическая функция (* (), , ; ) непрерывно дифференцируема по ∈ [0 , ] и удовлетворяет следующему условиюдля ∀ ⊂ ,∀ ∈ [0 , ]: (* (), , , ) ≤ [ (* (), , , ∖ ) + (* (), , , )].(5.2.37)Тогда множество опорных решений (0 , 0 , ) непусто.Свойство (5.2.37) является достаточным условием для построения сильно динамически устойчивого –ядра и является дополнением к свойству супераддитивности (5.1.2), а именно, условием на поведение производных (условие первого порядка) от функций (* (), , , ·) для любых двух коалиций , ∖ , являющихся дизъюнктным разбиением множества .
Впервые этоусловие было получено в работе [27] для случая игры 2 лиц.Глава 5. Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью158Заметим, что условия защиты от иррационального поведения для коалиций(5.1.27), сформулированные для произвольных принципов оптимальности (кооперативных решений), также гарантируют сильную динамическую устойчивость С–ядра. Отметим, что отклонение от одного дележа из –ядра в пользудругого дележа из –ядра, описываемое в данном разделе, также носит иррациональный характер.Таким образом, в Теореме 5.2.1 сформулированы достаточные условия, прикоторых игроки защищены как от иррациональных изменений кооперативногоповедения в пользу некооперативного, так и от иррациональных измененийрешений в рамках полностью кооперативного сценария для случая С–ядра.Отметим, что необходимые условия на ПРД для динамической устойчивости С–ядра были сформулированы в работе [101].
Очевидно, что необходимыеусловия для динамической устойчивости являются необходимыми и для сильной динамической устойчивости. Приведем данную теорему, адаптированнуюпод Определение 5.2.1.Теорема 5.2.2. [101] Пусть (* (), , ) ̸= ∅ ,∀ ∈ [0 , ]. Пусть C–ядро (0 , 0 , ) сильно динамически устойчиво в игре Γ (0 , 0 , ). Тогдасуществует множество дележей (0 , , ) ⊆ (0 , 0 , ), т.ч. для любого ∈ (0 , , ) ПРД (), вычисленная по формуле (5.1.14), удовлетворяетГлава 5.
Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью159следующим условиям: (0 , 0 , ; ) − (0 , 0 , ; ∖ ) − (* (), , ; ) ≥∑︁ ∫︁ ( ) ≥∈0 (0 , 0 , ; ) − [ (* (), , ; ) − (* (), , ; ∖ )],(5.2.38)∀ ⊂ ,∑︁ ∫︁∈ ( ) = (0 , 0 , ; ) − (* (), , ; ).0Доказательство. (см. также [101]). По условию теоремы множество (0 , 0 , )непусто вдоль всей кооперативной траектории * () и сильно динамическиустойчиво в игре Γ (0 , 0 , ).
Тогда по Определению 5.2.1 существует ∈(0 , , ), такой, что∫︁ = (), ∈ , ∈ (0 , 0 , ),0 () = −{^ =∫︁(),() ∈ (* (), , ), ( ) + ^ }∈ ∈ (0 , 0 , ), ∀{^ } ∈ (* (), , ).0Очевидно, что∑︁ ∫︁∈ ( ) =0∑︁ ∫︁∈0 ( ) −∑︁ ∫︁∈ ( ) == (0 , 0 , ; ) − (* (), , ; ),в силу определения 5.1.2 и формулы (5.1.14) для ПРД.Докажем выполнение нижнего неравенства в (5.2.38). Пусть в момент , ∈ [0 , ] произошло отклонение от дележа () в пользу дележа {^ } ∈(* (), , ). Тогда по свойству дележей из С–ядра (5.1.5)∑︁ ∫︁ ∑︁ ( ) +^ ≥ (0 , 0 , ; ).∈0∈Глава 5.
Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностьюПрибавим к обеим частям неравенства∑︀∈ ∖160^ . По свойству (5.1.5), очевид-но,∑︁^ ≥ (* (), , ; ∖ ).∈ ∖Поскольку∑︁ ∫︁∈∑︀∈^ = (* (), , ; ), имеем ( ) + (* (), , ; ) ≥ (0 , 0 , ; ) + (* (), , ; ∖ ).0Отсюда непосредственно получаем нижнее неравенство в (5.2.38).Аналогично доказывается и верхнее ограничение.Очевидно, что неравенство (5.2.35), соответствующее достаточным условиям Теоремы 5.2.1, может быть переписано следующим образом: (0 , 0 , ; )− (0 , 0 , ; ∖ )−[ (* (), , ; )− (* (), , ; ∖ )] ≥∑︁ ∫︁ ≥ ( ) ≥∈0≥ (0 , 0 , ; ) − (* (), , ; ),∀ ⊂ .(5.2.39)Множество, определяемое системой неравенств (5.2.39), соответствующейдостаточным условиям, будет уже множества, которое задается системой неравенств (5.2.38), соответствующей необходимым условиям.
Действительно, рассмотрим нижнее ограничение в (5.2.39):∑︁ ∫︁∈ ( ) ≥ (0 , 0 , ; ) − (* (), , ; ).0По свойству супераддитивности (5.1.2) имеем (·, ) ≤ (·, ) − (·, ∖ ).Тогда (0 , 0 , ; ) − (* (), , ; ) ≥ (0 , 0 , ; )−− [ (* (), , ; ) − (* (), , ; ∖ )].Глава 5. Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью161Аналогично несложно показать, что для левых частей в неравенствах (5.2.38),(5.2.39) справедливо (0 , 0 , ; )− (0 , 0 , ; ∖ ) − (* (), , ; ) ≥≥ (0 , 0 , ; )− (0 , 0 , ; ∖)−[ (* (), , ; )− (* (), , ; ∖)].Очевидно, что эти множества совпадают для случая аддитивной характеристической функции (* (), , ; )+ (* (), , ; ∖) = (* (), , ; ).5.2.1Алгоритм построения сильно динамически устойчивого C–ядраТаким образом, алгоритм построения сильно динамически устойчивого C–ядра может быть сформулирован следующим образом.1.
Нахождение оптимальных управлений * = (*1 , . . . , * ) (1.1.3), максимизирующих суммарный выигрыш всех игроков, а также соответствующейим кооперативной траектории * ().2. Построение характеристической функции (* (), , , ), ⊆ .3. Проверка выполнение условия супераддитивности (5.1.2) для построенной характеристической функции. Заметим, что при определенных способах задания характеристической функции, супераддитивность выполняется автоматически и не требует проверки (см. далее § 5.3).4. Проверка условия непустоты –ядра (например, (5.1.12)); построение –ядра (* (), , ).5.
Проверка выполнения достаточного условия (5.2.37) для непустоты множества (0 , 0 , ) опорных решений.Глава 5. Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью1626. Выбор опорного решения (решений) ¯ , т.е. дележа (дележей) из (0 , 0 , )таких, что для ПРД выполнено (5.2.35), (5.2.36)).Тогда С–ядро (0 , 0 , ) сильно динамически устойчиво (см.
Теорему 5.2.1):внутри этого С–ядра существует дележ ¯ , такой что отклонение от него впользу другого дележа из С–ядра (* (), , ) приведет к суммарному дележу, содержащемуся в (0 , 0 , ).Замечание. Условие выпуклости характеристической функции (5.1.12) гарантирует не только непустоту С–ядра, но и принадлежность вектора ШеплиС–ядру. Таким образом, в некоторых случаях алгоритм может быть использован для построения сильно динамически устойчивого С–ядра на основе вектора Шепли (см.
[223]).5.2.2Алгоритм построения опорного решения для игры 2 лицАлгоритм, описанный в 5.2.1, является конструктивным, однако выделениеопорного решения, т.е. какого-либо конкретного дележа из С–ядра, ПРД длякоторого удовлетворяет условиям (5.2.35), представляется трудоёмкой задачей. Алгоритм для построения опорного решения для игры 2 лиц был описанв работе [27].Напомним, что для игры 2 лиц множество дележей и C–ядро совпадают, т.е.(0 , 0 , ) = (0 , 0 , ). Таким образом, для игры 2 лиц супераддитивностьхарактеристической функции (5.1.2) влечет непустоту C–ядра (множества дележей), а вектор Шепли всегда принадлежит C–ядру.Пусть в игре Γ (0 , 0 , ) участвуют = 2 игрока. Алгоритм поиска опорного решения в С–ядре, может быть сформулирован следующим образом.∙ Нахождение оптимальных управлений * = (*1 , *2 ) (1.1.3), максимизирующих суммарный выигрыш обоих игроков, а также соответствующей имГлава 5.
Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью163кооперативной траектории * ().∙ Построение характеристической функции (* (), , , , ⊆ = {1, 2}.∙ Проверка условия супераддитивности(* (), , ) == (* (), , ; {1, 2}) − (* (), , ; {1}) − (* (), , ; {2}) ≥ 0.(5.2.40)∙ Проверка достаточного условия(* (), , ) ≤ 0.(5.2.41)∙ Произвольный выбор 1 > 0, 2 > 0 : 1 + 2 = 1; вычисление1 () = 1 (* (), , ),2 () = 2 (* (), , ).(5.2.42)∙ Вычисление¯ = {¯ = (0 , 0 , ; {}) + };(5.2.43)¯ ( ) = − () − (* ( ), , ; {})),(5.2.44)где = (0 ); (), = 1, 2 вычисляются по формуле (5.2.42).Утверждение 5.2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
