Автореферат (1145288), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если регулятор (4.1) задан в форме u[k ] = kx[k ] , то вектор настраиваемых параметров k , обеспечивающий желаемое расположение корней внутри области C∆ , находится из системы уравненийPk T = a − α( γ ) .Здесь a = (a1a2... a n ) и α( γ ) = (α1 α 2 ... α n ) – векторы коэффициTTентов характеристического полинома A( z ) = z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an объектауправления и желаемого характеристического полинома замкнутой системы∆* ( z , γ ) = z n + α1 z n −1 + ... + α n −1 z + α n соответственно, а матрица P определяется матрицами системы линейного приближения.Аналогичное утверждение доказано для регулятора (4.1) в случае скалярного управления, когда вектор параметров h состоит из коэффициентов полиномов в числителях и в знаменателе передаточной матрицы W (q, h) .Теорема 4.1 служит основой для построения вычислительного метода решения задачи параметрического синтеза (4.2).
Доказана теорема о ее эквивалентности задаче на безусловный экстремумJ k* = J k* (ε) → infλ ,ε∈E(4.3)где ε ∈ E λ – произвольный вектор независимых параметров. Решение задачи(4.3) определяет вектор параметров h = h(ε ) регулятора (4.1).18Во втором параграфе исследуется задача синтеза цифрового регулятора спрогнозом, который обеспечивает робастную устойчивость замкнутой системыв линейном приближении с учетом желаемых модальных свойств номинальнойсистемы.
При этом неопределенность математической модели объекта управления представляется в частотной области.Пусть номинальная математическая модель SISO-системы имеет видy = Pn ( z )u .Вводится допустимая граница возмущения номинальной модели∆ 0 (e jω ) =P(e jω ) − Pn (e jω )≤ β, ω ∈ [0, π],Pn (e jω )(4.4)где β > 0 – заданное фиксированное число, P(z ) – передаточная функция возмущенного объекта. Рассматривается следующее допустимое множество настраиваемых параметров регулятора (4.1):Ω*H = { h ∈ E r : δi (h ) ∈ C∆ , i = 1, nd , T ( z , h ∞ < 1 / β},−1где T ( z , h) = W ( z , h)(1 + Pn ( z )W ( z , h) ) Pn ( z ) . Дополнительное ограничениеобеспечивает робастную устойчивость. Доказаны следующие теоремы.Теорема 4.4. Если выполняется условие q( ω) > β, ω ∈ [0, π] , где1q(ω) = min, P(h, ω) = T (e jω , h) , то задача параметрического синтезаh∈Ω H P (h, ω)(4.2) на допустимом множестве Ω*H эквивалентна задаче (4.3).Теорема 4.5.
Для каждого вектора ε ∈ E λ , удовлетворяющего условию1P(h(ε )) < , где P(h) = max T (e jω , h) , регулятор (4.1) с вектором настраиω∈[ 0, π ]βваемых параметров h(ε ) обеспечивает устойчивость замкнутой системы длялюбых возмущений ∆ 0 модели объекта, удовлетворяющих условию (4.4).Теорема 4.6. Для любого вектора ε ∈ E λ , удовлетворяющего условию1f (h(ε)) > β , где f (h ) = min, h ∈ Ω H , P(h, ω) = T (e jω , h) , регуляторω∈[0 , π ] P(h, ω)(4.1) с вектором настраиваемых параметров h(ε ) обеспечивает устойчивость замкнутой системы для любых относительных возмущений ∆ 0 моделиобъекта, удовлетворяющих условию (4.4).Для применения прогнозирующего управления в режиме реального времени с учетом требования робастной устойчивости в общем случае необходимона каждом такте решать задачу нелинейного программирования.Применение подхода иллюстрируется в четвертом параграфе примеромуправления системой магнитной левитации.19Пятая глава посвящена разработке и исследованию многоцелевых законовуправления с визуальной обратной связью в задачах динамического позиционирования подвижных объектов.Предполагается, что на борту установлена видеокамера, в поле зрения которой в каждый момент времени находится объект наблюдения.
Целью управления является обеспечение желаемого положения объекта наблюдения в плоскости изображения камеры.Рассматриваемые совместно уравнения динамики подвижного объекта идинамики изображения составляют полную математическую модель видаMν& + C( ν )ν + D( ν )ν + g( η) = τ + τ e , η& = J ( η)ν,& = L (s, Z )ν,s& = L (s, Z )ν + d (t ), Zsccczc(5.1a)(5.1b)с соответствующими задаче начальными условиями. Здесь ν ∈ E n – вектор линейных и угловых скоростей, η ∈ E n – вектор перемещений, включающий положение центра масс и углы поворота, τ ∈ E n и τ e ∈ E n – управляющее и возмущающее воздействия соответственно, g( η) ∈ E n – вектор гравитационныхсил и моментов, n – число степеней свободы.
Вектор Z c = (Z c(1) ,..., Z c( n s ) ) содержит координаты Z c(i ) , i = 1, ns наблюдаемых точек в системе координат камеры,а компонентами вектора s являются координаты xi , yi этих точек на изображе-нии: s = (x1y1 ... xnsyns ) .TЦелью управления является обеспечение желаемого положения равновесияs d по вектору s при отсутствии внешних возмущений τ e (t ) и d c (t ) :lim s(t ) = s d ,t →∞(5.2)а также асимптотической устойчивости этого положения равновесия.Предлагается двухэтапный подход к синтезу обратных связей. На первомэтапе в качестве управления принимается скорость ν подвижного объекта исинтезируется локальная обратная связьν = ν d (s, Z c , s d )(5.3)для системы (5.1b), гарантирующая выполнение условия (5.2). На втором этапе,считая известной скорость ν d в каждый момент времени, формируется законуправления подвижным объектом в видеτ = τ d ( η, ν d ) ,(5.4)целью которого является обеспечение положения равновесия ν = ν d и его глобальной асимптотической устойчивости для замкнутой системы (5.1а), (5.4).Кроме указанных требований, формируемые законы должны обеспечивать20свойства астатизма и фильтрации по отношению к возмущениям τ e (t ) и d c (t )для соответствующих замкнутых систем.Доказаны утверждения, в которых приведены условия наличия полногоранга матрицы L s .
В частности, доказана следующая теорема.Теорема 5.1. Матрица L s , составленная для ns ≥ 3 точек имеет полныйранг, равный 6, если среди указанных точек найдется, по крайней мере, три несовпадающие на изображении точки с координатами ( xi1 , yi1 ) , ( xi 2 , yi 2 ) ,(xi3 , yi 3 ), которые не лежат на одной прямой x = const или y = const и такие,что соответствующие им точки в трехмерном пространстве не лежат одновременно в плоскости Y = const или X = const .На первом этапе синтеза рассматривается уравнение для вектора разностиe = s − s d , который удовлетворяет уравнениюe& = L s (s, Z c )ν + d c (t ) ,(5.5)и формируется закон управления с многоцелевой структурой в формеz& = v + Hε, ζ = F ( p )ε, p = d / dt , v = −Kz + ζ,(5.6)где ε = e − z – вектор ошибки, v = L s (s, Z c )ν – вспомогательная переменная.Многоцелевая структура (5.6) содержит настраиваемые параметры K , H, F( p ) .Доказаны утверждения, обосновывающие выбор этих параметров, в частности,следующая теорема об устойчивости замкнутой системы.Теорема 5.4.
При отсутствии возмущений нулевое положение равновесиязамкнутой системы (5.5), (5.6) глобально асимптотически устойчиво для любых гурвицевых матриц (− K ) , (− H ) и α , входящих в базовый закон v = −Ke , васимптотический наблюдатель и в динамический корректор вида (1.10).Второй этап синтеза законов управления рассматривается в двух постановках.
В первом случае предполагается, что вектор скорости ν доступен измерению. Тогда динамика ошибки e v = ν − ν d представляется уравнениемMe& v = τ + τ e ,(5.7)где τ – управляющее воздействие. Формируется закон управления с многоцелевой структурой следующего вида:Mz& v = τ + H v (e v − z v ), ξ = Fv ( p )(e v − z v ), p = d / dt , τ = −K d z v + ξ.(5.8)Многоцелевая структура (5.8) содержит настраиваемые параметрыK d , H v , Fv ( s ) . Запишем уравнения корректора в пространстве состояний:p& ν = α ν p v + β ν ε ν , ξ = γ ν p v + µ ν ε ν ,где ε v = e v − z v – вектор ошибки оценивания, p v ∈ E nv – вектор состоянияфильтра, α ν , β ν , γ ν , µ ν – матрицы с постоянными компонентами, причем21(Fv ( s ) = γ v E nv s − α v)−1β v + µ v . Доказаны теоремы, обосновывающие выбор на-страиваемых параметров. В частности, справедливо утверждение:Теорема 5.8. Если передаточная матрица динамического корректораFv ( s ) удовлетворяет условиюFv (0) = K v∆ , K v∆ = −H v − K d ,то замкнутая система (5.7), (5.8) обладает свойством астатизма по отношению к вектору e v для любого постоянного возмущения τ e (t ) = τ e 0 .Во втором случае предполагается, что измеряется только вектор η.
Формируется закон управления с многоцелевой структурой видаMz& v = −D(z v )z v − C(z v )z v + τ + R T ( η)K 1 (η − z η ),z& η = R ( η)z v + K 2 (η − z η ), τ = −K d (z v − K v ν d ) + Fv ( s )(η − z η ).(5.9)Доказаны утверждения о выборе настраиваемых параметров K1 , K 2 , K d ,Fν ( s ) структуры (5.9), при котором обеспечивается устойчивость замкнутойсистемы (5.1a), (5.9) и гарантируются ее астатическое и фильтрующее свойства.Теорема 5.12. Пусть объект управления (5.1a) движется с постояннойскоростью ν 0 , где компоненты угловых скоростей равны нулю.
Тогда дляобеспечения фильтрующего свойства по выходу регулятора с многоцелевойструктурой (5.9) необходимо, чтобы матрица Fv ( s ) удовлетворяла условиям:Fv ( jωvi ) = −P2−1 ( s, ν 0 , R 0 )P1 ( jωvi , ν 0 , R 0 ) , ωiv , i = 1,3 ,где P1 и P2 определяются из равенства−1P ( s, ν 0 , R 0 ) = C z (E 6 s − A z ( ν 0 , R 0 ) ) B z (R 0 ) + D z ≡ (P1 ( s, ν 0 , R 0 ) P2 ( s, ν 0 , R 0 ) ).Здесь R 0 – постоянное значение матрицы R ( η) , соответствующее фиксированной ориентации в пространстве, матрицы A z , B z , C z , D z равны M −1 R T ( η)K 1 M −1 − M −1 (D(z v ) + C(z v ) + K d ) 0 , , B z (z v , η) = A z (z v , η) = K20 R ( η)0C z = (− K d 0) , D z = (0 E ).Применение разработанных алгоритмов иллюстрируется на примерах визуального динамического позиционирования морского судна и колесного робота.Доказана теорема, позволяющая сформировать вычислительный алгоритм синтеза динамического корректора для морского судна с частотами настройки ωi ,i = 1, N с выполнением условий астатизма и фильтрации.Шестая глава посвящена вопросам цифровой реализации многоцелевыхзаконов управления в задаче визуального динамического позиционирования.Закон управления для плоскости изображения формируется в виде22z[k + 1] = z[k ] + Tv[k ] + THε[k ], ζ = F (q )ε[k ], v[k ] = Kz[k ] + ζ[k ],(6.1)где T – шаг дискретизации, ε[k ] = e[k ] − z[k ] – вектор ошибки оценивания, q –оператор сдвига на такт вперед.
Многоцелевая структура (6.1) содержит настраиваемые параметры K , H, F( z ) . Доказана следующая теорема.Теорема 6.1. При отсутствии возмущений нулевое положение равновесиязамкнутой системы с законом управления (6.1) глобально асимптотическиустойчиво, если матрицы (E − T H ) , (E + T K ) и α – шуровские.Если передаточная матрица корректора F ( z ) удовлетворяет условиюF (1) = K ∆ , K ∆ = K − H ,то замкнутая система обладает свойством астатизма по отношению к вектору e[k ] = s[k ] − s d для любого постоянного возмущения d c [k ] = d c 0 .Для обеспечения фильтрующего свойства по выходу регулятора изображения необходимо, чтобы матрица F ( z ) удовлетворяла условиям:F (e jωi ) = −P2−1 (e jωi )P1 (e jωi ), i = 1,3 ,−1−1где P1 ( z ) = K (( z − 1)E − TK ) T H , P2 ( z ) = K (( z − 1)E − T K ) T + E , ωi , i = 1,3 –основные частоты спектра, на которых должна происходить фильтрация.Для второго этапа синтеза рассматривается случай, когда вектор скоростиν доступен измерению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
