Автореферат (1145288), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть Fyδ ( z , F ) – передаточная матрица локальной замкнутой системы(2.5) от входа y к выходу δ . Доказана следующая теорема:Теорема 2.1. Если выполняются условия−1det T21 (e jω0 ) ≠ 0, det{T12 (e jω0 ) + [R − T11 (e jω0 )]T21(e jω0 )T22 (e jω0 )} ≠ 0,то на множестве Ω матриц размера m × ρ со строго правильными дробнорациональными компонентами, имеющими шуровские знаменатели, найдётсятакая матрица F (z ) корректора, для которой справедливо равенствоFyδ (e jω0 , F ) = R ,(2.6)где R – любая матрица с постоянными комплексными компонентами.Теорема 2.1 непосредственно приводит к алгоритму решения задачи динамической коррекции в условиях регулярного волнения.

Кроме того, здесь доказывается теорема об условиях существования на множестве Ω такой матрицыF (z ) корректора, для которой справедливо равенство (2.6) и дополнительноетребование F (1) = 0 m×ρ , обеспечивающее астатизм по вектору y .В третьем параграфе разработанный подход применяется для настройкикорректора в режимах «точный» и «экономичный». Формулируется задачаJ a ( W) → min , J a ( W ) = J y ( W) + λ2a J δ ( W) ,W∈Ω 0(2.7)где λ2a – заданное число, δ = W(z )y – обратная связь, Ω 0 – множество матрицW , обеспечивающих устойчивость замкнутой системы. Пусть функция Wa 0 ( z )обеспечивает абсолютный минимум, т.е. является решением задачи (2.7) намножестве матриц W , имеющих любые дробно-рациональные компоненты.Доказана следующая теорема:Теорема 2.3.

Пусть выполняются условия−1det T21 (e jω0 ) ≠ 0, det{T12 (e jω0 ) + [R − T11 (e jω0 )]T21(e jω0 )T22 (e jω0 )} ≠ 0в случаях R = 0 и R = Wa 0 (e jω0 ) , а также равенство rank ν = ρ для матрицы ν13в уравнении управляющего сигнала. Тогда существуют решения задач (2.4) оптимальной компенсации и фильтрации для регулярного волнения. Первое из нихопределяется настройкой динамического корректора на частоту волнения ω0с обеспечением равенстваFyδ (e jω0 , F ) = R ,(2.8)где R = Wa 0 (e jω0 ) , а второе – с обеспечением (2.8) при условии R = 0 .На основе теоремы 2.3 разработан единый алгоритм решения задач (2.4) длярегулярного волнения.В четвертом параграфе исследуется усложненный вариант синтеза цифровых фильтров с учетом низкочастотных свойств замкнутой системы для задачсо скалярными переменными δ , u , y и d в модели (2.1).Закон управления с многоцелевой структурой формируется в видеz[k + 1] = Az[k ] + bδ[k ] + g( y[k ] − cz[k ]),(2.9)~u[k ] = kz[k ] + k 0 δ[k ] + νy[k ] + ξ[k ], ξ = F * (q )( y − cz ),~где векторы g , k и числа k0 , ν заданы, а функция F * фильтра подлежит поиску в процессе синтеза.

Формируются уравнения замкнутой системы в видеy1 = δ = P1 ( z )ζ + P2 ( z )ξ, y2 = y = P3 ( z )ζ + P4 ( z )ξ,где Pi ( z ) (i = 1,4) – дробно-рациональные функции. Для обеспечения астатизмапередаточная функция корректора ищется в виде F * ( z ) ≡ F ( z )( z − 1) с устойчивой функцией F . Вводится в рассмотрение функционал-свертка P1 (e jω ) + P2 (e jω ) F (e jω )(e jω − 1) 2jω 2J ( F ) = sup +qF(e),jωjωP(e)S(e)ω∈[ 0 ,π ] 1αгде q ≥ 0 – весовой множитель. Этот функционал характеризует соотношениемежду интенсивностью работы рулей и качеством динамики замкнутой системы со ступенчатым возмущением. Формулируется задача оптимизации2J ( F ) = sup Γ(e jω , F ) = Γ( z , F ) ∞ → min2F∈RH ∞ω∈[ 0 ,π ](2.10)на множестве RH ∞ правильных рациональных дробей с полюсами внутри единичного круга. Здесь функция Γ определяется равенством22P1 (e jω ) + P2 (e jω ) F (e jω )(e jω − 1)Γ (e , F ) ≡+ q F (e jω ) .jωjωP1 (e ) S α (e )jω2Доказаны утверждения, позволяющие рассмотреть эквивалентную (2.10)задачу поиска такой функции F (z ) , чтобы выполнялось соотношение14I ( F , γ ) = Z ( z , γ, F ) ∞ ≤ 1, Z ( z , γ, F ) = P ( z , γ )[L1 ( z ) + L2 ( z ) F ( z )] .(2.11)Здесь функции P( z ), L1 ( z ), L2 ( z ) однозначно определяются начальными данными, γ > 0 – заданное число.

Для обеспечения условия (2.11) может быть привлечена известная интерполяционная задача Неванлинны-Пика. Доказано утверждение о существовании ее решения в зависимости от величины γ , а такжетеорема, позволяющая построить это решение F (z ) . Разработана соответствующая вычислительная схема синтеза цифрового фильтра. Применение подхода проиллюстрировано на примере морского автопилота.В третьей главе исследуются вопросы управления с прогнозирующей моделью в контуре обратной связи.Первый параграф посвящен вопросам формирования астатических алгоритмов управления с прогнозом. Строится прогнозирующая модельp[i + 1] = Ap[i ] + B v[i ], i = k + j ,z[i ] = C p[i ].j = 0,1,2,...,(3.1)Здесь p[i ] = ( ∆x[i ] y[i ]) – расширенный вектор состояния прогнозирующеймодели, ∆x[i ] = x[i ] − x[i − 1] – изменение на i -ом такте вектора состояния xобъекта управления, v[i ] = ∆u[i ] – управление для прогнозирующей модели,∆u[i ] = u[i ] − u[i − 1] – изменение управляющих переменных на i -м такте,z[i ] = y[i ] – выходной вектор контролируемых переменных.

Матрицы A , B , Cоднозначно определяются матрицами A, B, C линейной модели объекта.С целью оптимизации управления прогнозирующей моделью (3.1) на еедвижениях задается квадратичный функционал. Задача минимизации этогофункционала при отсутствии ограничений имеет аналитическое решениеTv*[k ] = Kp[k ] + Tr ,(3.2)где K и T – постоянные матрицы, r – задающее воздействие на горизонтепрогноза, v * [k ] – вектор оптимального программного управления моделью(3.1) на горизонте прогноза.

Доказана следующая теорема.Теорема 3.1. Пусть y ∈ E r , u ∈ E m , причем r = m и матрица M , определяемая формулой0... 0  CBCABCB...0M =,......... ... P −1P −2 C A B C A B ... C B является неособой. Тогда регулятор (3.2) обеспечивает нулевую ошибку воспроизведения задающего сигнала r = r0 для любого постоянного внешнего воз15мущения ϕ = ϕ0 .При наличии ограничений задача оптимизации управления на горизонтепрогноза сводится к задаче квадратичного программированияJ k = J k ( v ) = v T Hv + 2f T v + g → min mP ,(3.3)v∈V ⊂ Eгде V – допустимое множество векторов:V = {v ∈ E mP : A v v ≤ A lim + A p p[k ] + A u u[k − 1]}.(3.4)Решение задачи (3.3), (3.4) определяет оптимальную программную после-довательность v* = {∆u*[i ]}i = k . Она используется для реализации управления ввиде нелинейной обратной связи u[k ] = f (k , ~x[k ]) .Во втором параграфе разрабатываются алгоритмы реализации управления спрогнозом в режиме реального времени и алгоритм построения терминальногомножества.

Основное внимание уделяется проблеме понижения размерностизадачи нелинейного программирования, решаемой на каждом такте формирования управления. В общем случае эта задача имеет видk + P −1J k = J k ( x( u ), u ) = J k ( u ) → minmP ,(3.5)u∈Ω⊆ Eгде Ω = { u ∈ E mP : u[k + j − 1] ∈ U, x[k + j ] ∈ X, j = 1,2,..., P} – допустимое множество конечных последовательностей m-мерных векторов, u – программноеуправление на горизонте прогноза, x(u ) – соответствующее ему движение,u ∈ E m , P – горизонт прогноза.Предложены следующие способы понижения размерности задачи (3.5), позволяющие уменьшить время счета с сохранением качества процессов:1) выбор периода Tu = sT дискретности управления кратного периоду Tфункционирования системы управления;2) использование горизонта управления C < P ;3) одновременное использование параметров Tu и C .Разработан алгоритм формирования управления на шаге пересчета, параметрами которого являются величины Tu , C , P и ∆tu = l ⋅ T , где l ≥ 1 – целоечисло.

Параметр ∆tu обозначает период пересчета управляющего воздействия.На основе данного алгоритма предложена вычислительная схема примененияуправления с прогнозом в режиме реального времени процесса.Рассмотрен вопрос о построении терминального множества и соответствующего ему терминального ограничения в частной ситуации с линейной прогнозирующей моделью, скалярным управлением и линейными ограничениями.Теорема 3.2. Множество Ω c * вида Ω c = x ∈ E n | V (x ) ≤ c при значении{}параметра c = c* = λ min ρ 2min , где V (x ) = xT Vx = const , λ min – наименьшее собст16венное значение матрицы V , ρ min – минимальное расстояние от начала координат до гиперплоскостей, определяющих ограничения, является инвариантным множеством для замкнутой системы управления с линейной прогнозирующей моделью при скалярном управлении, с квадратичным функционалом илинейными ограничениями.Применение разработанных алгоритмов проиллюстрировано в третьем ичетвертом параграфах.

Приведены примеры задач об управлении разворотомсудна, вертикальным маятником и динамическим позиционированием.В четвертой главе предложена схема управления с прогнозом, обеспечивающего желаемые модальные и робастные свойства замкнутой системы в линейном приближении. Управление прогнозирующей моделью на горизонтепрогноза формируется в виде обратной связи по измеряемому выходу y :u[k ] = W(q, h)y[k ] .(4.1)Здесь q – оператор сдвига на такт вперед, W(q, h) – передаточная матрица регулятора, h ∈ E r – вектор настраиваемых параметров.Формулируется задача оптимизации управления на горизонте прогнозаJ k = J k ({x[i]},{u[i]} ) = J k ( W(q, h)) = J k (h) → inf ,h∈ΩH(4.2)где J k – функционал, характеризующий качество управления на горизонтепрогноза, Ω H – множество настраиваемых параметров, обеспечивающих расположение корней характеристического полинома замкнутой системы в линейном приближении внутри заданной области C∆ в единичном круге.В качестве областей C∆ приняты два варианта:C∆ = C∆1 = {z ∈ C1 : z ≤ r} , где r ∈ (0,1) – заданное вещественное число;C∆ = C∆ 2 = {z ∈ C1 : z = ρ ⋅ e ± iϕ , 0 ≤ ρ ≤ r , 0 ≤ ϕ ≤ ψ (ρ)} , где r ∈ (0,1) – заданное вещественное число, ψ (ξ ) – вещественная функция переменной ξ ∈ (0, r ] , принимающая значения из отрезка [0, π] , причем ψ(r ) = 0 .Рассматриваются отображения стандартных областей, используемых прианализе и синтезе непрерывных систем, на соответствующие области для дискретной системы.

С целью построения вычислительного метода решения задачи (4.2), доказана, в частности, следующая теорема:Теорема 4.1. Для любого вектора γ ∈ E nd корни полинома ∆* ( z , γ ) , построенного по приведенным ниже формулам, находятся внутри области C∆ 2 илина ее границе. Обратно, если корни некоторого полинома ∆(z ) принадлежатобласти C∆ 2 и при этом вещественные корни положительны, то можно указать такой вектор γ ∈ E nd , что справедливо тождество ∆( z ) ≡ ∆* ( z , γ ) .

Здесь17d()∆ ( z , γ ) = ∏ z 2 + ai1 ( γ, r ) z + ai0 ( γ, r ) ,*i =1если nd – четное, d = nd / 2 ;() ()d∆ ( z , γ ) = z − ad +1 ( γ, r ) ∏ z 2 + ai1 ( γ, r ) z + ai0 ( γ, r ) ,*i =1если nd – нечетное, d = [nd / 2] ;ai1 ( γ, r ) = −r (exp(− γ i21 + vi ) + exp( − γ i21 − vi )) ,ai0 ( γ, r ) = r 2 exp(−2 γ i21 ), i = 1, d , ad +1 ( γ, r ) = r exp( − γ 2d 0 ) ,( (()))где vi = γ i41 − f (γ i 2 ) ψ 2 r exp − γ i21 + γ i41 , γ = {γ11 , γ12 , γ 21 , γ 22 ,..., γ d 1 , γ d 2 , γ d 0 } .При этом функция f (⋅) : (− ∞, + ∞ ) → (0,1) должна удовлетворять условию обратимости во всей области задания, а ψ (ξ ) – вещественная функция переменной ξ ∈ (0, r ], принимающая значения из отрезка [0, π] , причем ψ(r ) = 0 .В некоторых случаях можно упростить процедуру поиска настраиваемыхпараметров h регулятора, обеспечивающих заданное расположение корнейвнутри области C∆ . В частности, доказана следующая лемма:Лемма 4.2.

Характеристики

Список файлов диссертации