Автореферат (1145282), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Оно содержит функциональный параметрh(R(t)) (41) перед старшей производной; при t → tk функциональный параметрh(t) стремится к нулю, т.к. по мере расширения толщина жидкого слоя H(t) быстро уменьшается, а величина внешнего радиуса R̂(t) растет, при этом уравнение26(40) становится сингулярно возмущенным. В диссертации показано, что и в начале процесса, когда параметр h(t) не мал, дифференциальное уравнение (40)является жестким. Проведенные расчеты (представленные в главе 4 и в Приложении) по известным численным схемам решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (методы типа предиктор – корректор, чисто неявнаядвухстадийная схема, а также вещественные и комплексные схемы Розенброка,Ваннера, Новикова) не позволили решить это уравнение.
В работе предложенамодифицированная явная схема и доказана ее эффективность для расчета исследуемого процесса расширения. Уравнение (40) представлено в виде:R̈ + Ṙ2 f1 (R) + Ṙf2 (R) = f3 (R, t),Amh(h2 − 4h + 6), f2 (R) = 2 (h2 − 3h + 3),2RR1As (2 − h) Ap Φ(t)+, h = h(R) = 1 −f3 (R, t) = −.2hRhR(1 + RK3 )1/3f1 (R) =Оно аппроксимируется следующим разностным уравнением:Rn+1 − 2Rn + Rn−1 + (Rn+1 − Rn−1 )2 f1 (Rn+1 )/4++(Rn+1 − Rn−1 )τ f2 (Rn )/2 = τ 2 f3 (Rn , tn+1 ),τ – шаг по времени. Это квадратное уравнение относительно Rn+1 , физическийсмысл имеет только положительный корень, равный: 21/2f2 (Rn )b4b−c+ 2τ,, b = −2Rn−1 +Rn+1 = − +24f1 (Rn )f1 (Rn )f2 (Rn )f3 (Rn , tn+1 )4(Rn−1 − 2Rn )− 2τ Rn−1− 4τ 2.f1 (Rn )f1 (Rn )f1 (Rn )Переход к следующему временному слою осуществляется явно.
Эта схема имеетвторой порядок точности по τ . Для ряда управляющих функций известно точноерешение задачи Коши (40), (43). Это позволило сравнить эффективность различных численных методов решения и продемонстрировать преимущество предложенной модифицированной явной схемы. С ее помощью оказалось возможнымрассчитать процесс расширения жидкого слоя на первом этапе. По результатамисследования численного решения жестких дифференциальных уравнений созданкомплекс программ, включающий схемы типа предиктор – корректор, чисто неявную двухстадийную схему, а также вещественные и комплексные схемы Розенброка, Ваннера, Новикова и предложенную модифицированную явную схему.2c = Rn−1+В параграфе 4.4 построено асимптотическое решение уравнения динамикисферического слоя (40) в области, где толщина слоя мала.
Доказано, что приближенное дифференциальное уравнениеδ R̈(t) + δ3AmṘ(t)6As R(t)δAs3Ap Φ(t)R2 (t)=−++R2 (t)Rk3R2 (t)Rk327(44)аппроксимирует уравнение (40) с точностью до ε1 (t)ε1 (t) =δ Rk3K, где δ = 3 , δ ≪ 1.3 R3 (t)RkНайдено асимптотическое решение приближенного сингулярно возмущенного уравнения (44) на интервале [t∗ , tk ] при начальных данныхR(t∗ ) = R∗ ,Ṙ(t∗ ) = Ṙ∗ .Это решение имеет вид:R(t) = b0 (t) + tC1 + δ(C2 + b1 (t)),Ṙ(t) = ḃ0 (t) + C1 + δ ḃ1 (t),b0 (t) =2As,Ap Φ(t)b1 (t) = Rk3 b20 (t)b̈0 (t) + 3Am ḃ0 (t) − As / 6As b20 (t) ,C1 = Ṙ∗ − ḃ0 (t∗ ) − δ ḃ1 (t∗ ),C2 = (R∗ − b0 (t∗ ) − t∗ C1 ) /δ − b1 (t∗ ).(45)(46)(47)(48)Формулы (45)–(48) дают асимптотическое решение прямой задачи (40), (43) на интервале времени [t∗ , tk ]. Момент t∗ перехода к асимптотическому решению определяется равенством: t∗ = max(ta , t∗ ), в котором моменты времени ta , t∗ призаданной точности ε∗1 , ε∗2 определены следующими условиями:R(ta ) = Ra =K3ε∗11/3, η(t∗ ) =ApR(t∗ )Φ(t∗ ) − 1 = ε∗2 .2AsR(t∗ ), R(t∗ ) рассчитываются из решения задачи на первом этапе.
Таким образом,получено решение задачи Коши (40), (43) на всем интервале времени расширенияжидкого сферического слоя.В параграфе 4.5 исследованы тепловые процессы в расширяющемся жидкомслое с учетом найденных в предыдущих параграфах полей скорости и давления.В работе доказано, что модель тепловых процессов в безразмерной форме можноупростить и представить в следующем виде:∂T (r, t)∂T (r, t)ν ∂∂T (r, t)r2,(49)+ u(r, t)= 2∂t∂rr ∂r∂ru(r, t) = R2 (t)Ṙ(t)/r2 ,t = 0 : T (r) = 1,28r ∈ [R0 , R̂0 ],(50)!∂T (r, t) t ∈ (0, tk ] := a T (r, t)− T∗ ,∂r r=R(t)r=R(t)!!∂T (r, t) = b T (r, t)− T ∗ + γ T (r, t)4 −− (T ∗ )4 .∂r r=R̂(t)r=R̂(t)(51)(52)r=R̂(t)T∗ , T ∗ — безразмерные температура газа внутри и вне слоя жидкости соответственно.
Безразмерные комплексы ν, a, b, γ выражаются через параметры задачии характерные величины tx , rx , Tx . Из анализа гидродинамической части следует,что для всех допустимых режимов характерно наличие двух этапов процесса расширения: сравнительно короткого первого этапа [0, t∗ ], на котором слой нельзясчитать тонким, и второго этапа (t∗ , tk ], длящегося в несколько раз дольше первого, на котором слой с достаточной точностью можно считать тонким. Это позволило разделить решение тепловой задачи, как и гидродинамической, на две части.На интервале t ∈ [0, t∗ ] получено численное решение тепловой задачи по явнойдвухслойной схеме на подвижной сетке.
Расчет перехода от n-го слоя по временик (n + 1)-му осуществляется в два этапа. На первом этапе рассчитываются новаяконфигурация оболочки и изменение в ней температуры, которое соответствуеттолько конвективному переносу тепла с известной скоростью u(r, t). На второмэтапе по найденному профилю температуры рассчитывается массив температуры на новой равномерной сетке в изменившейся области и решается уравнениетеплопроводности без конвективного слагаемого с граничными условиями (51),(52).Выведено следующее приближенное уравнение, моделирующее поведение средней по слою температуры Tc (t) на интервале (t∗ , tk ]:m8 (t) m4 (t) + Tc (t) m1 (t) + Tc3 (t) m2 (t) + Tc4 (t) m3 (t)+Ṫc (t) = −m5 (t) + Tc3 (t) m6 (t) + Tc2 (t)m7 (t)+Tc (t) m9 (t) + m10 (t).(53)В диссертации приведены явные аналитические зависимости функций mi (t)(i = 1, .
. . , 10) от R(t), R̂(t) и параметров задачи K, a, b, ν, γ, T∗ , T ∗ . Для уравнения (53) решена задача Коши с начальными даннымиTc (t∗ ) = TH .(54)В момент времени t∗ значение средней температуры TH (54) рассчитывается помассиву Tin+1 , найденному из численного решения уравнения (49) на первом этапепри t = t∗ в соответствии с определением Tc (t):3Tc (t) =KR̂(t)ZT (r, t)r2 dr,R(t)29K = R̂(t)3 − R(t)3 .Обыкновенное дифференциальное уравнение (53) имеет достаточно громоздкий вид, решение задачи Коши (53), (54) найдено численно методом Рунге–Куттычетвертого порядка.В конце параграфа 4.5 для одного из вариантов процесса расширения жидкого слоя приведено приближенное аналитическое решение задачи о поведениисредней температуры слоя на интервале (t∗ , tk ].В заключении диссертации перечислены основные результаты работы и приведен список наиболее часто встречающихся обозначений.В приложении справочно приведено уравнение состояния Ли–Эрбара–Эдмистера и комбинационные правила для смеси газов.
Из параграфа 1.7 главы 1 перенесены наиболее громоздкие выкладки по вычислению производных. Из главы 4 перенесен в приложение ряд известных методов решения жестких системобыкновенных дифференциальных уравнений и расчет по ним начала процессарасширения жидкого сферического слоя.Список публикаций по теме диссертацииПубликации в изданиях, рекомендуемых ВАК.1. Eрмолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Математическая модель расширяющегосяжидкого слоя // Вестник Cанкт -Петербургского Университета.
Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2009. — Вып. 3. —С. 29–38.2. Eрмолаева, Н. Н., Курбатова Г. И. Тепловые процессы в расширяющемсяжидком сферическом слое // Вестник Cанкт -Петербургского Университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2010.— Вып. 3. — C. 30–37.3. Ермолаева Н.
Н., Курбатова Г. И. Анализ подходов к моделированию термодинамических процессов в газах при высоких давлениях // Вестник CанктПетербургского Университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика.Процессы управления. — 2013. — Вып. 1. — С. 35–45.4. Kurbatova G. I., Ermolaeva N. N. Modeling of inflation of liquid spherical layersunder zero gravity // Applied Mathematical Sciences. — 2013.
— Vol. 7, №137–140.— P. 6867–6876.5. Ermolaeva N. N., Kurbatova G. I. The Mathematical Models of Gas Transmissionat Hyper-Pressure // Applied Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 8, №. 124. —P. 6191–6203.6. Eрмолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Квазиодномерная нестационарная модельпроцессов в морских газопроводах // Вестник Cанкт -Петербургского Университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. —2015.
— Вып. 3. — С. 55–66.7. Ермолаева Н. Н. Исследование влияния параметров транспортировки газана характеристики потока // Вестник Cанкт -Петербургского Университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2016.— Вып. 3. — С. 53–61.308. Ермолаева Н. Н. Нестационарные модели теплообмена и транспортировкигаза по морским газопроводам // Труды Карельского научного центра РАН. Серия Математическое моделирование и информационные технологии. — 2016. —Вып. 8. — С. 3–10.9. Ермолаева Н. Н. Компьютерное моделирование оледенения морского газопровода и поведения характеристик потока в неустановившихся режимах // Вестник Cанкт -Петербургского Университета.
Серия 10: Прикладная математика.Информатика. Процессы управления. — 2016. — Вып. 4. — С. 75–86.10. Eрмолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Параметрическая идентификация модели установившегося неизотермического течения газа по морскому газопроводу //Морские интеллектуальные технологии. — 2017. — Т.1, №1 (35) — С. 8–13.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
