Автореферат (1145282), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Момент времени t̂ в каждом сечении z определен условиями начала оледенения (8). В параграфе 2.5 представлен алгоритм численного решения системы уравнений модели4, являющийся обобщением алгоритма численного решения системы уравнениймодели параграфа 2.4. Этот алгоритм вошел в программный комплекс «Лед».Исследованы два упрощенных варианта модели 4.

Первый — приближеннаянестационарная модель ЛЛ.11, в которой тепловые процессы в слоях обшивки газопровода моделируются нестационарными уравнениями теплопроводности (17),(21), (24) с соответствующими начальными (18), (22), (25) и граничными условиями (19), (20), (23), (26), а модель динамики оледенения заменяется квазистационарным вариантом. В этой модели расчет толщины слоя льда по значениюT2 (R2 , t) — температуры внешней поверхности газопровода — осуществляетсяпо обыкновенному дифференциальному уравнению, следующему из модифицированного условия Стефана (27) для квазистационарного распределения температуры в слое льда:λ4 (T∗ − T2 (R2 , t))dy=dt(γρ4 + α)(R2 + y) ln(1 +yR2 )−q3.γρ4 + αТепловые уравнения в слоях обшивок решаются также, как в модели 2, по неявным монотонным разностным схемам численно методом прогонки с фиксированным шагом по времени.

Алгоритм численного решения уравнений модели ЛЛ.1118реализован в виде программы, вошедшей в программный комплекс «Лед». Второй упрощенный вариант модели 4 — квазистационарная модель ЛЛ.1, в которойраспределения температуры в слоях обшивок и в толще льда в каждый моментвремени считаются логарифмическими по r.Расчет динамики оледенения по модели ЛЛ.1 сводится к решению следующего обыкновенного дифференциального уравнения, которое в безразмерной форме(кроме температуры) записывается в виде (штрихи у безразмерных величин опущены):a(T∗ − T0 (t))dy=− b,(28)dtR2 (1 + Ry2 )(d + ln(1 + Ry2 ))a=λ 4 tx,rx2 (γρ4 + α)b=q3 tx,(γρ4 + α)rxd=λ4λ4 R1λ4 R2+ln+lnαo R λ1Rλ2 R1с начальным условием y t̂ = y0 . Это уравнение допускает аналитическое решение,если отношение толщины слоя льда к внешнему радиусу цилиндра мало: Ry2 ≪ 1.В работе найдены аналитические решения для T0 = const и для T0 (t) = T0 − m t.Приведем, например, аналитическое решение уравнения (28) для T0 = const вприближении тонкого слоя:R 2 − m5 y 0(y − y0 ) m3 (T∗ − T0 ),+lnt − t0 = −R 2 m4m24R 2 − m5 ym5 =m4a,, m3 = 2m3 (T∗ − T0 ) − m4 DR2 (1 + d)m4 =b,R2D=d.1+dДля линейного закона (T0 (t) = T0 − m t) изменения температуры газа толщинаслоя льда тоже рассчитывается по трансцендентному уравнению, но несколькоболее громоздкому, оно приведено в параграфе 2.5.В параграфе 2.6 математические модели параграфа 2.5 адаптированы дляплоских задач оледенения в морской воде.

Сравнение расчетов по моделям параграфов 2.5 и 2.6 позволило оценить влияние геометрического фактора на динамику оледенения, а именно, показать, что скорость оледенения плоской поверхности больше, чем цилиндрической, при прочих равных условиях. В параграфе 2.6получено, в частности, аналитическое решение задачи оледенения плоской многослойной области в квазистационарном приближении, которое для пресной водыпри отсутствии слоев совпадает с известным аналитическим решением.

Рассмотрен вопрос о критериях допустимости использования квазистационарного приближения при моделировании нестационарных процессов теплообмена и оледенениямногослойных областей. Введены характерная скорость Wx нарастания льда толщиной yx , равная: Wx = ai /yx , ai = λi (T∗ − T0 )/(γρi ), и характерная скорость uiустановления в слое льда толщиной yx квазистационарного распределения температуры, равная: ui = ki /yx , где ki = λi /(ρi ci ) — коэффициент температуропроводности льда (индекс i здесь означает область льда). Показано, что числоСтефана Ste = ci (T∗ − T0 )/γ можно представить как отношение Wx к ui . Доказано, что для многослойных областей малости только числа Стефана недостаточно19для допустимости квазистационарного приближения, в этом случае необходимовыполнение неравенства:Wx ≪ u m ,um = min (u1 , u2 , ui ), u1 = k1 /δ1 , u2 = k2 /δ2 , ui = ki /yx ,где kj = λj /(ρj cj ) — коэффициент температуропроводности j-го слоя, δj — толщина j-го слоя, т.е.

необходима малость всех безразмерных комплексов B1 , B2 ,Bi , равных: Bj = Wx /uj , j = 1, 2, i.В параграфе 2.7 исследована чувствительность предложенных в параграфах2.4–2.6 моделей теплообмена и оледенения к вариациям параметров. Компьютерное моделирование осуществлялось по программному комплексу «Лед». Получены следующие результаты.

Определена величина числа Стефана, начиная с которой с заданной точностью режим оледенения в задаче для цилиндра без обшивокможно считать квазистационарным. Исследовано влияние эффективных параметров моделей, теплофизических характеристик нарастающего морского льда, параметров режима и геометрии поверхности на динамику оледенения. Исследовановлияние слоев обшивки газопровода на динамику оледенения. Подтверждена достоверность и приемлемая точность предложенных вычислительных алгоритмоврешения нестационарных задач оледенения сопоставлением результатов численных и аналитических решений уравнений моделей динамики оледенения.В главе 3 на основе моделей, созданных в первой и второй главах, разработана общая математическая модель (модель 5) транспортировки смеси газов попротяженным морским газопроводам в северных морях при сверхвысоких давлениях, включающая модель динамики оледенения.В параграфе 3.1 представлен обзор численных методов решения одномерныхнестационарных задач газовой динамики.

Обоснован выбор модифицированнойявной двухшаговой схемы Лакса–Вендроффа для численного решения системыуравнений модели 5, представленной в параграфе 3.2. На рис. 2 приведена схемарешения по модели 5.Модель 1,задание начальных играничных условийПроверка условия (8)начала оледененияданетРасчет q помодели 4Расчет q помодели 2Рис. 2 – Схема решения по модели 5.В параграфе 3.2 представлен алгоритм численного решения системы уравнений модели 5 на основе модифицированной схеме Лакса–Вендроффа. Для исследуемых задач эта схема оказалась предпочтительнее других по скорости счета20и по простоте реализации. На каждом шаге величины безразмерных плотности,расхода и внутренней энергии рассчитываются явно по найденным на предыдущем шаге величинам давления, температуры и потока тепла:I шагn+1/2nUk+1/2 − 0.5 Ukn + Uk+1F n − Fkn+ k+1= Ψnk+1/2 ,0.5τ∆II шагn+1/2n+1/2Fk+1/2 − Fk−1/2Ukn+1 − Uknn+1/2+= Ψk,τ∆гдеwρw2w+ m1 p,,F=U =ρ2ww3w ρε + m3wε + m3 2 + m4 pρρρ02w.−m+mρcosα(z)Ψ=26ρm5 q + m7 w cos α(z)Здесь w = ρu — расход газа, m1 –m7 — безразмерные комплексы, зависящие отфизических параметров модели и характерных величин, τ, n — величина и номершага по времени, ∆, k — величина и номер шага по координате z.Тепловой поток q, входящий в Ψ, в зависимости от выполнения условия (8),рассчитывается либо по модели 2, либо по модели 4.

В главе 2 доказано, чтодля большинства задач, представляющих практический интерес, скорость оледенения газопровода намного меньше, чем скорость установления квазистационарного распределения температуры в слоях обшивки. Это позволяет для такихзадач заменить расчет по модели 4 расчетом по ее квазистационарному варианту(модель ЛЛ.1 параграфа 2.5 главы 2). Расчет толщины слоя нарастающего льдана внешней поверхности газопровода в этом случае сводится к решению задачиКоши для обыкновенного дифференциального уравнения, в безразмерной формеимеющего следующий вид:a(T∗ − T (z, t))dy=dtR2 (1 + Ry2 )(d + ln(1 +a=λ 4 tx T x,rx2 (γρ4 + α)b=q3 tx,(γρ4 + α)rxyR2 ))d=− b,λ4 R1λ4 R2ln+ln.λ1Rλ2 R1y(z, tn ) = y0 (z).Алгоритм решения системы уравнений модели 5 в этом случае существенно упрощается.21В параграфе 3.3 представлен программный комплекс «SGPITM», реализующий расчет различных неустановившихся режимов транспортировки смеси газовпо морским газопроводам при наличии оледенения внешней поверхности, включающий учет рельефа трассы, состава газовой смеси, сверхвысоких давлений.Программный комплекс «SGPITM» обладает дружественным графическим пользовательским интерфейсом и может быть собран для работы в операционныхсистемах семейства MS Windows, Unix и GNU/Linux.

Время работы «SGPITM»зависит от длины рассчитываемого участка и рассматриваемого времени работыгазопровода. Например, среднее время, необходимое для расчета 5 суток работымодельного газопровода длиной 650 километров составляет 55 минут (на системеIntel Core i5-3230M, ОЗУ 8 ГБ).В параграфе 3.3 представлены результаты решения ряда модельных задач.В результате решения задачи о выходе на новый установившийся режим работыгазопровода дана оценка погрешности замены нестационарной модели теплообмена на ее квазистационарноый вариант. Показано, что наибольшую погрешностьвносит подобная замена на начальном участке. В качестве примера на рис. 3 приведено изменение температуры T (К) потока вдоль газопровода в момент t = 10часов, рассчитанное по модели 5 при нестационарной и при квазистационарноймоделях теплообмена.31513102305T, K300295290285280275050100150200250300z, кмРис. 3 – Изменение температуры T потока вдоль газопровода в момент t = 10часов: 1 — при нестационарной модели теплообмена; 2 — при квазистационарноймодели теплообмена.Решена задача о неустановившемся режиме заполнения газопровода.

Характеристики

Список файлов диссертации